わが闘争・西暦２０００年

　今月のコラム（閑話休題）を書き始めてから数年が経った．当初，このコーナーは科学記事の紹介欄という色合いが強かったのだが，最近では研究日誌風の装いとなり，自らが日々考えたことを発信するために利用している．そうなると，新着記事をアップロードしないでいることは，思考をさぼっているか，あるいは，失敗ばかりで研究成果（アウトプット）を出せないでいることと同義語となるので，過去の問題を紹介するという消極的姿勢から，あれこれ考えて問題を自分で見つけるという積極的姿勢に転ずるようになった．

　これが熱意を長続きさせる上での秘訣（の１つ）と思われる．そして，自分で問題を発掘できるようになればしめたものである．少なくとも，原動力だけはその道の達人の域に達しているといえるかもしれない．とはいえ，思考することとそれをコラム化する作業はまったく別世界のことであって，手紙１枚書くのにも腕組みにねじり鉢巻きでうならなければならない私にとっては，１つの作品に仕上げるまでには驚くほどのエネルギーが必要である．

　したがって，優れた学者は，私がしているような論文以外の雑文を書くなどという堕落は決してしないものなのだろうが，私にとっては自分のイマジネーションとインスピレーションを作品化し記念碑化することで，科学者としてのアイデンティティーを確かめ，挫折からの自立再生を果たしてきたといえそうである．また，このコラムの執筆は，よくわからないままに見過ごすことがおおい抽象的な知識を，具体的にかつ系統的に把握する自分自身の訓練にはずいぶん役だったと思う．このコラムは科学を通して自分自身を見つめ直す上でも欠かすことのできないものであって，小生などは思考していないとどうも物足りない．クリープを入れないコーヒーなんて・・・（古い！）というわけである．

　さて，今年も（今世紀も）いよいよ大詰めである．そろそろ，奮戦記というか，自分史というか・・・自分にとってのミレニアムイヤー・西暦２０００年を総括してみるのもいい機会だろう．しかし，一流の研究者ならばともかくとしても，小生ごとき三流研究者の奮戦記・闘争史が他人の共感を呼べるとは思えない．また，前々回に掲げた後藤博士についてのコラムでは，発想の転換が必要とされ，私も楽しみながら書くことができたし，それなりに鑑賞に堪えうるものになったと思う．

　それに対して，現在の私には研究上なんのアイディアもなく無為な日々を過ごしていて，自分の人生が薄っぺらく感じられもの悲しいものがある．がしかし，私のことを客観的に書いてくれそうな酔狂な人がいるとは思えないし，変人の戯れ言をちゃんと理解してくれる人もいそうにはない．やはり自分のことは自分で書くしかないだろう．したがって，これからお読み下さる方々には寛大な叱正を賜りたくお願い申し上げる次第である．

　後藤博士の分子動力学的研究は，世の中全体がＤＮＡ配列を読みとることに躍起になっていた時代に，それに流されることなく一歩先を見据えて，立体構造のもつ意味を解読するというさらに高次の狙いがあって，形態のもつ機能を探る道に先鞭をつけた記念碑的な研究になりうるであろうと私は思う．

　氏のように，広義の意味で，形や構造についての関心を掘り下げていき，形態と機能の関係について考察し，本質的な生成原理を見いだすことを課題にしている人を，フィロモルフ（愛形者）と呼ぶ．腫瘍組織の分類学に携わっている私もその一人であって，あらゆる学問は分類（似通ったものを寄せ集め，ひとつのまとまりとして把握し，似ていないのもから区別する）に始まるといっても過言ではないだろう．

　天然に存在する最も幾何学的な物体に結晶がある．結晶の考え方の応用の１つに，２種類の異なる性質をもつ物質を格子状に配置する場合が考えられる．この問題は，たとえば，金属と絶縁体を格子状に配置した物質中に金属がどれくらいの割合であれば電流が流れるか（金属=非金属転移）など実際の物理の問題にも利用されていて，その詳細は「格子上の確率論」の中の「パーコレーション」の項で取り上げている．　また，２種類の物体が電荷をもつ場合，たとえば，陽イオンと陰イオンの規則的な配置からなる食塩のようなモデルでは，体積を小さくしようとすれば密度が高まり，斥力が大きくなるから，その折り合いをどこでつけるかは興味深い問題である．これについては「食塩の結晶とマーデルング定数」，「続・マーデルング定数」，「続々・マーデルング定数」，「アリ地獄と化した計算」で取り上げた．　さらにまた，コラム「高次元における最密充填構造」では次数を大きくした場合について取り上げたが，その研究成果は高速デジタル通信システムの設計などに応用されていることを解説した．

　一方，結晶＝規則的配置の対極にあるものが，アモルファス＝完全乱雑配置（ポアソン配置）である．「ポアソン配置とワイブル分布（雑然か整然か）」，「雑然か整然か（PartⅡ）」では雑然度を測る指標について解説したが，これについてはかなり大きな反響が寄せられた．

　たとえば，半導体の歩留まりを決定づける原因はシリコンウェハ上の格子欠損であり，それはところどころに小集団（クラスタ）を形成しながら配置するような集中型分布をなす．ワイブル分布やボロノイ分割を利用するこれらの方法論は，規則型分布と完全ランダム分布の中間に位置する集中型分布を解析する上でも有用であったとのメールが寄せられたのである．

　情報化時代を迎え，より良いデータ解析の必要性がますます高まってきた．現在，主流となっている解析理論は線形・正規現象を取り扱うものであるが，線形・正規的な手法で現実のデータを解析しようとすると，理論と実際のデータが食い違いをみせることがしばしば経験される．これは旧態依然の嫌いがある旧来の解析法の欠陥ともいえるが，新しい解析法である「非線形解析」・「非正規解析」はこれらの穴を埋めてくれるものと期待されている．

　私はこのような方法論の確立と普及活動に加え，コンピュータを用いる科学計算の研究に携わってきて，ここ１０年の間に開発したプログラムは多数におよぶ．作成したプログラムは「耕太郎」，「麦」などのパッケージにまとめられ，多くの大学・企業に無償供与されているが，今年も，半導体の故障の原因となるクラスタの解析，気象データの精度保証つき解析，地滑りデータの解析と今後の予想など，実際の問題解決や学術論文の作成を通じて，科学研究の底辺を支えるものとして寄与貢献できたと思う．私の在勤する地方研究所は予算的に潤沢ではなく，小生にいたっては予算を割り当ててもらったことすらないのあるが，それでも科学者である限り何からの形で科学に寄与したいと考えているので，大変幸甚であった．

　私が今年の後半，最も力を注いだことはまぎれもなく「超幾何関数を用いた確率分布の計算」である．（その１）から（その７）まで計７作のコラムを書いたが，完成まで約４カ月の期間を要している．その履歴を振り返ってみたい．

　プログラム（の原型）はすべてＢＡＳＩＣでかかれ，計算速度より精度を重視して，実用的に必要と思われる以上の精度（10^-9）をもたせてある．確率積分はシンプソン積分ではなく，超幾何級数展開の部分和（漸化式）の形にして計算してあるので，収束条件のところを少し直すことによって，要求精度にあったプログラムにすることができるのは大きな利点である．

　プログラムを実行してみると，とくに，小さい自由度に関して精度の向上が顕著であったが，この回では，ベキ級数展開と超幾何関数の連分数展開を比較してみた．連分数展開式では項数を大きくとっても誤差が小さくなるとは限らず，どうやら，逐次近似の場合，級数の形式の方がよいらしい．連分数展開の精度はベキ級数展開に及ばず，精度がよいとする従来の見解には懐疑的にならざるを得なかった．

　また，オーバーフローを極力避けるため，自然対数をとって和・差の計算になおし，指数関数でもとに戻すようにした．とくに，１００！などの階乗計算はオーバーフローエラーを起こすので，対数ガンマ関数の計算を行っている．

　この回では，パーセント点のプログラムにおいて，初期値を計算してから正確な確率積分の値を使って，２次の微分の項まで考慮したニュートン法により，収束安定性を確保した．この方法によると，初期値が真値に対してやや離れていても発散することが少ない．

　ニュートン法の微分値は，実際に微分するのではなく，微分に関する漸化式を使って求めているが，この回では，パラメータに関する漸化式を利用して超幾何関数へのアクセス回数を１回に減らした．時間のかかる級数計算を極力回避することによって，確率分布の計算はさらに高速化されたが，そのトリックは，超幾何関数がそれぞれ

　一連のシリーズでは，シンプソンの方法など数値積分に拠らない精確な確率計算を追求してきたが，この回では，たった１つの中心分布：Ｆ（ｘ，ν，０）から，非心分布：Ｆ（ｘ，ν，λ）の確率計算を行うコンピュータ・プログラムを紹介した．この非心分布のプログラムは再帰的なアルゴリズムに基づいていて，キーワードは accurate, single central F, recursive である．その際，Ｆ（ｘ，ν＋２ｊ，０）を超幾何関数で表すと再帰的な関係が利用しやすくなる．

　この回ではパーセント点ｘと下側確率Ｆが与えられたときに，非心パラメータλを求めるプログラムを紹介した．前回（その５）とは攻略法が変わるが，分布関数Ｆ（ｘ，ν，λ）をλについて微分しているだけなので，大した説明は入らないだろう．

　これまでに作成したプログラムを１つに集約した．これまでの確率計算プログラムには，整数自由度でないと使えないという欠点があったが，この回では，自由度が小さいときでも，小数のときでも，精確な値を保証してくれる確率分布の計算プログラムを紹介し，このプログラムから導かれた値と真値を比較してみた．

　シリーズ「超幾何関数を用いた確率分布の計算」で述べたことは確率計算の新しいアプローチ法であり，学会発表しようかとも考えている．しかし，いまどき数値計算などは時代遅れの，誰にも見向きもされない領域だとみなされるのがオチだろう・・・．

（１）これまで，正規分布・（非心）χ2分布・（非心）ｔ分布・（非心）Ｆ分布の確率計算では，不完全ガンマ・不完全ベータ関数を用いる方法が行われてきたが，超幾何関数としてとらえ直すほうが，確率計算の統一的な理解が容易になるし，小数点自由度に対しても補間の必要がなくなるメリットは大と考えられた．

（２）最終収束値は，単精度の範囲で数値表の値とよく一致し，非常に精確な値が得られた．小数付き自由度を含む任意の自由度についての片側確率とパーセント点が簡便に求められるうえに，精度も高く，応用上十分参考になるであろう．

　確率計算プログラムが統計数値表をひく作業を肩代わりしてくれるので，検定・推定は大変身近なものになった．しかし，ソフトを利用する方法ばかりを覚え考えないで使うと，考える力は奪われ，頭脳は確実に退化する．コンピュータは魔物であるが，考えながら使えばこれほど強力なものもない．このシリーズではどのように計算するのかという原理を具体的（concrete）かつ明示的（explicit）に書いたので，ぜひとも有効に利用して欲しい．

　「前略，コラム『偉大なるサイエンティストの流出』を読みました．何が無為で何が業績なのかは哲学的問題ですね・・・．貴兄のＨＰ作りもたいしたものです．この年末年始の休暇に全部読破しようと思っています．

　本コラムでは数学に関連した記事を取り上げることが多いのだが，たとえば，「連続」と「離散」とは何か説明せよ，とあらためていわれると困ってしまう．もちろん数学者はそのような哲学的・神学的問題を真剣に考えてきたし，深遠な理論も構築されているに違いないが，私の手がけているコラムはそのような思弁を行うことを目的とするものではないし，そういった「数学の基礎」に立ち入るつもりもない．

　一方，数学書の読者の中には「定理の証明は理解できるが，鮮やかな定理が突然出てきて，あっさり証明されてしまうのは納得できない」，「なぜこんなことを思いつくのか見当もつかない」と割り切れない思いをする方もおられるだろう．そのような人こそが本コラムのターゲットとする読者層なのである．

　本コラムの記述は通常の数学書よりも饒舌である．たとえば，いくつかのコラムでは，オイラー・ポアンカレの定理の簡単かつオリジナルの証明を取り上げている．オイラー・ポアンカレの定理とは，凸多面体の頂点，辺，面の数をそれぞれｖ，ｅ，ｆとすると，

を取り上げている数学書はみたことがない．ｎ角形はｎ辺形であるとはいっても，読者はオイラー・ポアンカレの定理のありがたみを実感し「なるほど立派な定理だ」と思うだろうか？　何だか当たり前のことを大袈裟にいっていると感じるであろう．実際，各辺の両端には頂点が１つずつあるから，この定理は自明なのであるが，それを３次元に拡張したとたんに自明ではなくなる．さらに，それを４次元以上に対しても敷衍していくことができるのである．

　このような点はすでに初学者の域を脱した読者には間延びして感じられるかもしれないが，あえてこのようなことを書くのも，「現在では基本的または初等的とされる定理でも，それが発見されるまでには多くの試行錯誤があり，証明をするための努力があったはずだ．」ということを云いたいがためである．よく「日本人は水と安全はタダだと思っている」といわれるが，日常当たり前のように存在しているものは普段そのありがたみをを感じることはなく，失ってみて初めてその価値がわかるのである．

　また，本コラムには，付記あるいは補足説明が頻繁に登場する．ときには，本文よりも長いことすらある．小生はたとえなりたくても老婆にはなれないが，なぜか老婆心だけは強い．しかし，補足説明が多いのは老婆心だけからではない．数学の学習にあたっては，ひたすら受け身でいるだけでは成果は上がらず，自分であれこれ考えてみることがどうしても必要となるから，さらなる興味をかき立てることを目的としてのことなのである．

　たとえば，「平行多面体とは平行移動するだけで３次元空間を埋めつくすことのできる単独の多面体であって，ロシアの結晶学者フェドロフの見つけた５種類の平行多面体－－立方体，６角柱，菱形１２面体，長菱形１２面体（正６角形４枚と菱形８枚の２種類で作る１２面体），切頂８面体－－しかない．」という記述だけではあまりにもそっけなく感じれらないだろうか？　さりとて，これらの事実の証明は非常に困難であり，これ以上追求できそうにもない．

　　１）正多面体は，正４・６・８・１２・２０面体の５種類あって５種類しかないことはプラトンの時代にはすでに見つけられていて，それらがプラトンの自然哲学で重要な役割を演ずるところから，正多面体はプラトンの立体（Platonic solod）とも呼ばれている．

　　２）平行多面体は結晶構造と深く関係していて，それぞれ単純立方格子，六方格子，面心立方格子，底心格子（直方体の８個の頂点と上面・下面の面の中心に原子が配置されている構造），体心立方格子に対応するものであろう．これら５種類の図形は５種類の正多面体（プラトン立体）ほどよく知られていないが，少なくとも同じ程度に重要であると考えられる所以である．

　　３）２次元格子は５種類だが，３次元格子には１８４８年にブラーベが発見した１４種類ある．そして，これから決まる本質的なディリクレ領域は，ロシアの結晶学者フェドロフの見つけた５種類の平行多面体しかない．

　　４）２次元格子で異なる対称性をもつものは１７種類存在する．この１７種類の対称性は，２次元結晶群としてとらえることができる．この問題は，ロシアのフェドロフとドイツのシェーンフリースによって，まったく別々に解かれた．

　　５）空間での等長変換は，平行移動，回転，並進回転，鏡映，すべり鏡映，回転鏡映，恒等変換の７種類であるから，３次元結晶群は２１９種類存在し，その多くが結晶構造として自然界にも存在している．（結晶をテーマとする物理の本には，たいてい３次元結晶群の数は２３０種類存在すると書かれてあるが，変換が向きを保たないものは異なるものと数えているからである．）

などの事項を適宜追加して，内容のグレードアップを図ることにしている．このような補足説明によってはじめて，３次元の格子状配置は１９世紀の初めから，結晶内の原子の配列を記述するのに使われてきたものであり，対称性の群の分類についての仕事の大半は，ブラーベ，フェドロフ，シェーンフリースなど１９世紀の結晶学者によってなされたことがわかるだろう．また，このように歴史的背景に触れるのは，ときには定理の背景に思いを馳せると「数学も血が通ったものだ」と納得できるようにという配慮からである．

　最後の最後となるが，これらの紙面作りの方法は，中島匠一「代数と数論の基礎」（共立出版）などから学んだ（パクった）ものであることを申し添えておきたい．読者の皆様には，ここまでお読み下さったことに衷心よりお礼を申し上げる．