今回のコラムでは，非ユークリッド空間における球配置，すなわち，楕円・双曲空間における球の充填と被覆の問題を考えます．ユークリッド空間（放物空間）での結果は（その３）に解説してありますので，詳細についてはそちらも併せてご覧下さい．

　

　まず，三角形Ｐ（黒塗り）とそれを裏返した三角形Ｑ（白塗り）の２つを交互に並べて，平面全体をタイル張りすることを考えます．たいていの場合は途中でタイル同士が重なってしまいますが，うまくいくと市松模様のタイル張りができあがります．

　

（問）Ｐがどのような形のとき，このようなタイル張り（平面の市松模様三角形タイル張り）が可能であろうか？

　

（答）これが可能なためには，１つの頂点で偶数個の３角形が交わらなければならないので，これを２ａとおく．また，その頂点の角度をαとおくと，頂点を一回りしたので，２ａα＝２π．ゆえに，

　　α＝π／ａ　　　ただし，ａは２以上の自然数．

　まったく，同様に残り２つの内角に対しても

　　β＝π／ｂ，γ＝π／ｃ

　また，α＋β＋γ＝πより

　　１／ａ＋１／ｂ＋１／ｃ＝１

　

　この等式を満たす（ａ，ｂ，ｃ）の組は非常に少ない．便宜上，ａ≧ｂ≧ｃとすると

　　（３，３，３）　→　正三角形

　　（４，４，２）　→　直角二等辺三角形

　　（６，３，２）　→　３０°，６０°，９０°の三角形

の３種類が得られる．

　

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

　

　以上の解は平面を鏡映三角形で埋めることをユークリッド面（放物的）で考えたものですが，リーマン面（楕円的），ロバチェフスキー面（双曲的）を問題にするならば，解は非常に異なるものになります．

　　α＋β＋γ＞π，＝π，＜π

　すなわち

　　１／ａ＋１／ｂ＋１／ｃ＞１，＝１，＜１

に応じて楕円幾何学，ユークリッド幾何学，双曲幾何学の三角形が得られます．

　

　１／ａ＋１／ｂ＋１／ｃ＞１を満たす正の整数の組（ａ，ｂ，ｃ）は高々有限個で，（ｎ，２，２）は正２面体群，（３，３，２）は正４面体群，（４，３，２）が正８（６）面体群，（５，３，２）は正２０（１２）面体群に対応しています．

　

　一方，１／ａ＋１／ｂ＋１／ｃ＜１の場合は（ｎ≧７，３，２），（ｎ≧５，４，２），（ｎ≧４，３，３），（ｎ≧３，４，３）など無限個あり，双曲幾何学における市松模様三角形タイル張りの可能性は無限にあることになります．

　

　すなわち，楕円的平面（球面）では基本領域は有限個しかなく，有限個の基本領域をならべることによって全平面を埋めつくすことができます．一方，双曲的平面（擬球面）の場合には，無限に多くの種類の基本領域があり，全平面を隙間なく埋めるには無限個必要となります．ユークリッド平面はその中間で，基本領域は有限種類しかないが，全平面を埋めつくすには無限個必要であるというわけです．

　

　　幾何学　　　　　　　Ｓ^n　　　　　　　Ｅ^n　　　　　Ｈ^n

　　α＋β＋γ　　　　　＞π　　　　　　　＝π　　　　　＜π

　（ａ，ｂ，ｃ）　　（ｎ，２，２）　　（∞，２，２）　　その他

　　　　　　　　　　（３，３，２）　　（３，３，３）

　　　　　　　　　　（４，３，２）　　（４，４，２）

　　　　　　　　　　（５，３，２）　　（６，３，２）

　

　平面充填ならば分母は２，３，４，６になるのですが，球面充填では分母は２，３，４，５となることがおわかり頂けたかと思われます．

　

　また，２次元双曲平面では正ｐ角形が頂点のまわりにｑ個ずつ集まる

　　１／ｐ＋１／ｑ＜１／２

を満たす無限個の基本領域があることがわかったわけですが，３〜５次元双曲空間では有限個（３次元：２２個，４次元：１３個，５次元：５個）しかなく，６次元以上ではこのような基本領域が存在しないことが証明されています（コクセター，１９５４年）．

　

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

　

【１】２次元空間（Ｓ^2，Ｅ^2，Ｈ^2）の最密円充填と最疎円被覆

　

　球面（楕円的平面）における最密充填と最疎被覆に関するトートの結果については，コラム「幾何学的不等式への招待（その２）」を参照頂きたいのですが，ｎ個の頂点をもつ三角形面多面体では，３ｆ＝２ｅですから，

　　（ｖ，ｅ，ｆ）＝（ｎ，３ｎ−６，２ｎ−４）

すなわち，球面上にｎ個の点を配置した場合，２ｎ−４はｎ個の頂点をもつ三角形面正多面体の面数となります．

　

　一方，ｎ個の面をもつ３稜頂点多面体では，３ｖ＝２ｅであり，

　　（ｖ，ｅ，ｆ）＝（２ｎ−４，３ｎ−６，ｎ）

となります．これらは互いにもとの多面体と面と頂点の関係が逆向きの正多面体であり，表と裏の関係にある双対多面体となっています．

　

　ωn＝ｎ／（ｎ−２）・π／６　　　ｎ≧３

とおくと，球面上にｎ個の大きさの等しい球帽を埋め込むときの充填密度は，

　　ｄ≦ｎ／２（１−１／２ｃｏｓｅｃωn）

球面がｎ個の等大球帽で被覆されるときの被覆密度は

　　Ｄ≧ｎ／２（１−１／√３ｃｏｔωn）

なる不等式を満たすことが証明されています．

　

　等号はｎ＝３，４，６，１２の場合のみ成立し，それぞれ円の中心が正三角形，正４面体，正８面体，正２０面体の頂点にくる場合に対応します．これらはすべて三角形面多面体（単体的正多面体）です．

　

　また，これらの不等式の上界・下界は，ｎの増加とともにそれぞれユークリッド平面における極限値

　　ｄE＝π／√１２，

　　ＤE＝２π／√２７

に近づくことが示されます．

　

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

　

　一般に，２次元空間を合同なディリクレ領域（ボロノイ領域）の頂点に球を配置して充填する際の図形をシュレーフリ記号（ｐ，ｑ）で表すことにすると，

　　１／ｐ＋１／ｑ−１／２＞０，＝０，＜０

はそれぞれＳ^2，Ｅ^2，Ｈ^2における必要条件になります．

　

　そして，（ｐ，３）型平面充填（被覆）密度は，それぞれ

　　ｄ（ｐ）＝３／（ｐ−６）｛ｃｏｓｅｃ（π／ｐ）−２｝

　　Ｄ（ｐ）＝２√３／（ｐ−６）｛ｃｏｔａｎ（π／ｐ）−√３｝

で与えられます．

　

　楕円的平面（球面）においてはｐ＜６，双曲的平面（擬球面）においてはｐ＞６なのですが，ｐ＝６とすると

　　ｄ（６）＝π／２√３＝０．９０６９・・・（Ａ2）

　　Ｄ（６）＝２π／３√３＝１．２０９２・・・（Ａ2~）

となり，ユークリッド平面における最密充填密度ｄE，最疎被覆密度ＤEに一致します．このときの配置が（６，３）すなわち蜂の巣状配置となることは，すでにご存知でしょう．

　

　ｄ（ｐ）は増加関数，Ｄ（ｐ）は減少関数であって，ｐ→∞とすると（∞，３）配置となり，双曲的空間における円充填密度の最大値，円被覆密度の最小値

　　ｄ（∞）＝３／π＝０．９５４９・・・

　　Ｄ（∞）＝２√３／π＝１．１０２６・・・

に近づくのです．

　

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

　

【２】３次元空間（Ｓ^3，Ｅ^3，Ｈ^3）の最密球充填と最疎球被覆

　

　引き続いて，３次元空間をシュレーフリ記号（ｐ，ｑ，ｒ）の図形状に充填（被覆）するときの密度について考えます．３次元空間Ｓ^3，Ｅ^3，Ｈ^3の空間充填形の必要条件は，それぞれ

　　ｓｉｎ（π／ｐ）ｓｉｎ（π／ｒ）−ｃｏｓ（π／ｑ）＞０，＝０，＜０

となります．

　

　３次元双曲空間の空間充填形としては

　　（３，３，６），（３，４，４），（４，３，６），・・・

などがあげられますが，最密球充填と最疎球被覆では，

　　（ｐ，３，・・・，３），θ＝π／ｐ

なる三角形面正多面体（単体的正多面体：ｎ−１次元面が単体）の頂点に球を配置するほうが有利です．

　

　しかし，３次元ユークリッド空間では，（ｐ，３，３）型：

　　ｓｉｎ（π／ｐ）ｓｉｎ（π／３）−ｃｏｓ（π／３）＝０

を満たす整数ｐは存在せず，３次元ユークリッド空間の空間充填形は（４，３，４）しかありません．すなわち，立方体（４，３）が１つの辺のまわりに４個集まった単純立方格子状の空間充填形です．

　

　それに対して，楕円的３次元空間では（５，３，３），双曲的３次元空間では（６，３，３）が，それぞれ

　　ｓｉｎ（π／ｐ）ｓｉｎ（π／３）−ｃｏｓ（π／３）＞０，＜０

を満たします．

　

　楕円的空間は（５，３）すなわち正１２面体６０個による空間充填が可能で，その際，各々の球は１２個の球に接します．そして，充填密度は，半径φ＝π／１０の球が体積π^2／６０の正１２面体を分割するわけですから

　　ｄS＝６０／π（２φ−ｓｉｎ２φ）

　　　 ＝１２（１−５／πｓｉｎπ／５）＝０．７７４・・・

　

　一方，被覆密度は，

　　η＝1/2ａｒｃｃｏｓ(1/4)，χ＝π／３−η，τ＝（√５＋１）／２

として，

　　ＤS＝６０／π（２χ−ｓｉｎ２χ）

　　 　＝４０−１５／π（８η＋√３τ）＝１．４３９・・・

となります．

　

　それぞれ，３次元ユークリッド空間における

　　ｄE＝π／√１８＝０．７４０４８・・・（面心立方格子状配置：Ａ3）

　　ＤE＝５√５π／２４＝１．４６３・・・（体心立方格子状配置：Ａ3~）

に近い値をとります．Ａ3~型被覆において，１つの球は他の１４個の球と重なり合います．

　

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

　

　３次元双曲線空間の（ｐ，３，３）型充填では，

　　（６，３，３）

による空間充填が可能ですが，その場合の基本単体（π／３，π／２，π／６）に対応するシュレーフリ関数Ｓは

　　ｉ／４Ｓ（π／３，π／３，π／６）

　＝ｉ／１６Ｓ（π／６，π／６，π／６）

　＝ｉ／２４Ｓ（π／３，π／３，π／３）

　＝√３／３２（１−１／２^2＋１／４^2−１／５^2＋１／７^2−１／８^2＋・・・）

　＝１／１６√３（１＋１／２^2−１／４^2−１／５^2＋１／７^2＋１／８^2−・・・）

と計算されます．

　

　これより，

　　ｄH＝１／（１＋１／２^2−１／４^2−１／５^2＋１／７^2＋１／８^2−・・・）

　　　 ＝０．８５３・・・

　　ＤH＝１／（１−１／２^2＋１／４^2−１／５^2＋１／７^2−１／８^2＋・・・）

　　　 ＝１．２８０・・・

が得られます．

　

　なお，ここで

　　ｆ（ｓ）＝１−１／２^s＋１／４^s−１／５^s＋１／７^s−１／８^s＋・・・

　　ｇ（ｓ）＝１＋１／２^s−１／４^s−１／５^s＋１／７^s＋１／８^s−・・・

とおくと

　　ｇ（ｓ）−ｆ（ｓ）＝２｛１／２^s−１／４^s＋１／８^s−１／１０^s＋１／１４^s−１／１６^s＋・・・｝＝２^(1-s)ｆ（ｓ）

より

　　ｇ（ｓ）＝（１＋２^(1-s)）ｆ（ｓ）

　

　とくに，

　　ｇ（２）＝３／２ｆ（２）

より，

　　ＤH＝３／２ｄH

であることが理解されます．

　

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

　

【３】４次元空間（Ｅ^4，Ｈ^4）の最密球充填と最疎球被覆

　

　４次元空間（Ｓ^4，Ｅ^4，Ｈ^4）の空間充填形の必要条件は，それぞれ

　　ｃｏｓ^2（π／ｑ）／ｓｉｎ^2（π／ｐ）＋ｃｏｓ^2（π／ｒ）／ｓｉｎ^2（π／ｓ）＞１，＝１，＜１

です．

　

　したがって，４次元空間の（ｐ，３，３，３）型充填では，双曲空間Ｈ^4の

　　（ｐ，ｑ，ｒ，ｓ）＝（５，３，３，３）

が可能になります．（５，３，３）は１２０個の正１２面体で取り囲まれているので，各々の球は１２０個の球に隣接します．

　

　（５，３，３）の体積は４／３π^2と計算されるのですが，こうして，

　　ｄH＝√５／（２τ）＝（５−√５）／４＝０．６９０９８・・・

　　ＤH＝２（２＋３√５）／５√５＝１．５５７７７・・・

を得ることができます．

　

　４次元ユークリッド空間で知られている最良値

　　ｄE＝π^2／１６＝０．６１６８５・・・（Ｄ4＝（３，４，３，３））

　　ＤE＝２π^2／５√５＝１．７６５５３・・・（Ａ4~）

と比較して，

　　ｄH＞ｄE，ＤH＜ＤE

となることは，これまでの説明から明らかでしょう．

　

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

　

［参］Coxeter「Twelve geometric essays」Carbondale and Edwardsville,

　　　Southern Illinois university press

　

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝