オイラーはいろいろな工夫をして，

　　log(sinx)=-Σcos(2nx)/n-log2

であることをつきとめ，広義積分

　　∫(0,π/2)log(sinx)dx=-π/2log2

の値を求めています．

　

　また，これを代入して計算すれば

　　1/1^3+1/3^3+1/5^3+･･･=π^2/4log2+2∫(0,π/2)xlog(sinx)dx

　　ζ（3）＝2π^2/7log2+16/7∫(0,π/2)xlog(sinx)dx

が得られます（１７７２年）．

　

　　Σcos(2nx)/n=-log(sinx)-log2

というわけですが，ところで（その５）においてシュレーフリ関数について解説した際，

　　Σcos(2nx)/n^2

が出現しました．

　　｜Σcos(2nx)/n^2｜＜Σ1/n^2＝ζ（2）＝π^2／６

は容易にわかりますが，この値は如何に？

　

　実は，

　　Σcos(2nx)/n^2=(π/2-x)^2−π^2/12

となるのですが，ｘ＝０を代入すると

　　Σ1/n^2=π/2^2−π^2/12=π^2/6

となることがわかります．

　

　ところで，

　　Σcos(2nx)/n=-log(sinx)-log2

との関係はどうなっているのでしょうか？　そこで，今回のコラムでは，シュレーフリ関数の補足説明を行いたいと思います．

　

　なお，ログコサイン積分

　　Ｌ(x)＝-∫(0,x)log(cosx)dx

はロバチェフスキー関数，ジログ関数

　　Ｌ2(x)＝Σx^n/n^2＝-∫(0,x)log(1-t)/tdt＝φ(x)

はアーベル関数とも呼ばれ，ともにシュレーフリ関数と関係しています．

　　-log(1-x)=x+x^2/2+･･･＝Σx^n/n

より

　　-∫(0,x)log(1-t)/tdt＝Σx^n/n^2

となることは既におわかりでしょう．

　

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【１】シュレーフリ関数Ｓ（ｘ，ｙ，ｚ）

　

　シュレーフリ関数は

　　Ｓ（ｘ，ｙ，ｚ）＝ΣＸ^n／ｎ^2（ｃｏｓ２ｎｘ−ｃｏｓ２ｎｙ＋ｃｏｓ２ｎｚ−１）−ｘ^2＋ｙ^2−ｚ^2

　　Ｘ＝（Ｄ−ｓｉｎｘｓｉｎｚ）／（Ｄ＋ｓｉｎｘｓｉｎｚ）

　　Ｄ＝（ｃｏｓ^2ｘｃｏｓ^2ｚ−ｃｏｓ^2ｙ）^(1/2)

で定義されます．

　

　　Σｃｏｓ２ｎｘ／ｎ^2＝（π／２−ｘ）^2−π^2／１２

　　Σｙ^nｃｏｓ２ｎｘ／ｎ＝−１／２ｌｏｇ（１−２ｙｃｏｓ２ｘ＋ｙ^2）

　　Σｙ^nｓｉｎ２ｎｘ／ｎ＝ａｒｃｔａｎ（（１＋ｙ）／（１−ｙ）ｔａｎｘ）−ｘ

が基本等式となり，特殊値

　　Ｓ（π／６，π／３，π／６）＝π^2／１５

　　Ｓ（π／６，π／４，π／６）＝π^2／４８

　　Ｓ（π／６，π／４，π／６）＝π^2／１４４

　　Ｓ（３π／１０，π／３，π／６）＝π^2／１８００

などが得られます．→（その５）参照

　

　また，

　　Σｙ^nｃｏｓ２ｎｘ／ｎ＝−１／２ｌｏｇ（１−２ｙｃｏｓ２ｘ＋ｙ^2）

にｙ＝１を代入すると，オイラーが得た結果

　　Σｃｏｓ２ｎｘ／ｎ＝−ｌｏｇ（ｓｉｎｘ）−ｌｏｇ２

　

　　Σｙ^nｓｉｎ２ｎｘ／ｎ＝ａｒｃｔａｎ（（１＋ｙ）／（１−ｙ）ｔａｎｘ）−ｘ

にｙ＝−１を代入すると，ロバチェフスキー関数，アーベル関数との関係

　　１／２Σｓｉｎ２ｎｘ／ｎ＝−∫(0,x)ｌｏｇ（２ｃｏｓｘ）ｄｘ

−ｌｏｇ２

　　１／４ｉ｛φ(-exp(2ix))＋φ(-exp(-2ix))｝＝Ｌ(x)−ｘｌｏｇ２

が得られ，

　　Ｌ（π／２）＝π／２ｌｏｇ２

の値が求められます．

　

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【２】シュレーフリ関数Ｆn(θ)

　

　シュレーフリ関数Ｆn(θ)は

　　Ｆn+1(θ)＝2/π∫(1/2arcsec(n),θ)Ｆn-1(φ)dθ

　　ｓｅｃ２φ＝ｓｅｃ２θ−２

　　Ｆ0(θ)＝1，Ｆ1(θ)＝1

で再帰的に定義される関数です．

　

　二面角２θのｎ次元正単体を，その中心から（ｎ−１）次元単位超球面上に射影したとき，１つの胞が占める面積は，

　　ｓn＝ｎｖn＝２πｖn-2

として，

　　２^(-n)ｎ！ｓnＦn(θ)

で表されます．

　

　とくに，ｎ＝２の場合，円周上には２θの円弧が射影され，ｓ2＝２πですから，

　　Ｆ2(θ)＝２θ／π

ｎ＝３の場合，内角が２θ，２θ，２θの球面正三角形に射影され，その面積は６θ−π，また，ｓ3＝４πですから，

　　Ｆ3(θ)＝２θ／π−１／３

となります．

　

　シュレーフリ関数は二面角が直角の場合を基準としています．二面角が直角の１次元基本単体を外接円に射影すると，外接円は４等分（＝２^2）されます．二面角が直角の２次元単体を外接球に射影すると，外接球は８等分（＝２^3）されますから，

　　２^(-n)ｎ！ｓnＦn(π／４)＝２^(-n)ｓn

したがって，

　　Ｆn(π／４)＝１／ｎ！

　

　正単体の場合，θ＝π／３で，超球面は（ｎ＋１）胞により分割されますから

　　２^(-n)ｎ！ｓnＦn(π／３)＝ｓn／（ｎ＋１）

より，

　　Ｆn(π／３)＝２^n／（ｎ＋１）！

となります．

　

　また，相補性を考慮すると

　　２^(-n)ｎ！ｓnＦn(θ)＋２^(-n)ｎ！ｓnＦn(π−θ)＝ｓn

すなわち

　　Ｆn(θ)＋Ｆn(π−θ)＝２^n／ｎ！

ですから，θ＝π／２を代入して

　　Ｆn(π／２)＝２^(n-1)／ｎ！

であることがわかります．

　

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　　Ｆ3（1/2arccos(1/3)）＝arccos(1/3)／π−１／３

それに対して，Ｆ4(θ)を解析的に求めることは難しいのですが，Ｆ4（1/2arccos(1/4)）の場合，公式

　　Ｆn+1（1/2arccos(1/n)）＝０

を用いて，

　　Ｆ5（1/2arccos(1/4)）＝０

　

　また，

　　Ｆ5(θ)＝Ｆ4(θ)-1/3Ｆ2(θ)+2/15

より，

　　Ｆ4（1/2arccos(1/4)）＝1/3(arccos(1/4)／π-2/5)

と計算されます．

　

　Ｆ4では，特殊値

　　Ｆ4（1/2arccos(1/3)）＝０

　　Ｆ4（π-1/2arccos(1/3)）＝2/3

　　Ｆ4（1/2arccos(1/4)）＝1/3(arccos(1/4)／π-2/5)

　　Ｆ4（π-1/2arccos(1/4)）＝1/3(12/5-arccos(1/4)／π)

の他にも，

　　Ｆ4（π/5）＝1/900，Ｆ4（2π/5）＝191/900，Ｆ4（3π/5）＝409/900，Ｆ4（4π/5）＝599/900

　　Ｆ4（π/4）＝1/24，Ｆ4（π/2）＝1/3，Ｆ4（3π/4）＝5/8

　　Ｆ4（π/3）＝2/15，Ｆ4（2π/3）＝8/15

が知られています．

　

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【３】kissing numberの上界と下界

　

　ｎ次元ユークリッド空間において，１つの単位球に同時に接触することのできる単位球の最大個数τnは，接吻数（kissing number）あるいは接触数（contact number）と呼ばれていて，最密充填構造「同じ半径の球をできるだけ稠密詰めるにはどうしたらよいか」という空間の球による充填問題と深い関連があります．

　　τ1＝２，τ2＝６，τ3＝１２

　

　また，４次元以上の高次元では，８次元（２４０個）と２４次元（１９６５６０個）の場合を除いて未解決です．

　　τ8＝２４０，τ24＝１９６５６０

　

　ｎ次元球のkissing numberの上界は，コクセターの方法によって粗雑ながら押さえられます．それは１球面上に大きさの等しい球帽（球面上の円，球面半径φ）を埋め込むときの最密充填の問題に帰着されるのですが，（その４）で解説した単体的密度限界

　　ｄn＝（２ｎ／（ｎ＋１））^(-n/2)Ｄn

　　　　＝（ｎ＋１）^(1/2)（ｎ！）^2／２^(3n/2)・ｖnＦn(1/2arcsec(n)θ)

と類似の方法になっています．

　

　ｎ次元正単体（二面角２θ）の頂点を超球の中心において，（ｎ−１）次元球面上に射影します．球面上には（ｎ−１）次元球面正三角形ができ，その面積は

　　Σ＝２^(-n)ｎ！ｓnＦn(θ)

で与えられます．これは正単体の１辺の球面距離２φの関数になります．

　

　また，σを球面正三角形の頂角の和とすると，球面上にはｎ個の点が配置され，（ｎ−２）次元球帽が（ｎ−１）次元球面を覆うことになります．そして，１つの頂角は（ｎ−１）次元正単体を（ｎ−２）次元球面上に射影したものに等しくなりますから

　　σ＝ｎ２^(-n+1)（ｎ−１）！Ｆn-1(θ)

　

　すなわち，上界は

　　（ｐ，３，・・・，３），θ＝π／ｐ

なる三角形面正多面体（単体的正多面体：ｎ−１次元面が単体）の頂点に（ｎ−２）次元球を配置する問題となるのですが，ここで，球面上にＮ(φ)個の点を配置した場合，不等式

　　Ｎ(φ)≦σｓn／Σ

が成り立ちますから，最終的に

　　Ｎ(φ)≦２Ｆn-1(θ)／Ｆn(θ)

　　ｓｅｃ２θ＝ｓｅｃ２φ＋ｎ−２

を得ることができます．

　

　kissing number（τn）に関しては，φ＝π／６の場合を考えればよいので，　　τn≦２Ｆn-1(1/2arcsecn)／Ｆn(1/2arcsecn)

となり，

　　ｎ＝２　→　２Ｆ1(π/6)／Ｆ2(π/6)＝６

　　ｎ＝３　→　２Ｆ2(1/2arcsecn3)／Ｆ3(1/2arcsecn3)＝6/(3-π/arcsec3)＝１３．３９・・・

　　ｎ＝４　→　２Ｆ3(1/2arcsecn4)／Ｆ4(1/2arcsecn4)＝5(1+1/(2-2π/arcsec4))＝２６．４４・・・

　

　５次元以上では，数値積分によらなければなりませんが，

　　ｆn(x)＝Ｆn(1/2arcsecx)

と書くことにすると，

　　ｆ2(x)＝arcsecx/x

　　ｆn(x)＝1/π∫(n-1,x)ｆn-2(x-2)/x√(x^2-1)dx

　　　　　＝ｆn(n)＋1/π∫(n,x)ｆn-2(x-2)/x√(x^2-1)dx

　　ｆn(x)＝ｆn-1(x)-1/3ｆn-3(x)+2/15ｆn-5(x)-17/315ｆn-7(x)+62/2835ｆn-9(x)-･･･(n:odd)

　　ｆn(x)＝1/3ｆn-2(x)-2/15ｆn-4(x)+17/315ｆn-6(x)-62/2835ｆn-8(x)+･･･(n:even)

　

　リーチは台形則を用いて数値積分し，

　　２ｆn-1(n)／ｆn(n)

を求めました．その結果は

　　２ｆ3(4)／ｆ4(4)=22.44･･･

　　２ｆ4(5)／ｆ5(5)=48.70･･･

　　２ｆ5(6)／ｆ6(6)=85.81･･･

　　２ｆ6(7)／ｆ7(7)=146.57･･･

　　２ｆ7(8)／ｆ8(8)=244.62･･･

以下，(9)401,(10)648,(11)1035,(12)1637,･･･と続きます．

　

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

　

　ｎ次元球のkissing numberの上界は，正四面体配置（相互に接するよう球を配置）の問題でしたが，それに対して，下界は極大格子状配置，すなわち，

　　Ａ1，Ａ2，Ａ3，Ｄ4，Ｄ5，Ｅ6，Ｅ7，Ｅ8

の問題となります．

　

　たとえば，ｎ＝３のみならず，ｎ＝４，５の場合も面心立方格子状配置

　　（±１，±１，０）

　　（±１，±１，０，０）

　　（±１，±１，０，０，０）　　　（±１の個数は２つ）

では２ｎ（ｎ−１）個の球と接することができます．

　

　ｎ＝６，７，８では面心立方格子状配置の接触点以外にも隙間ができるので，隙間の分が加わって，それぞれ

　　６０＋１２＝７２

　　８４＋４２＝１２６

　　１１２＋１２８＝２４０

個の同じ大きさの球が詰め込み可能になります．

　

　この隙間は，９個の整数に対して法３で合同となるので，

　　ｘ1＋ｘ2＋ｘ3＝ｘ4＋ｘ5＋ｘ6＝ｘ7＋ｘ8＋ｘ9＝０　　（ｎ＝６）

　　ｘ1＋ｘ2＋ｘ3＋ｘ4＋ｘ5＋ｘ6＝ｘ7＋ｘ8＋ｘ9＝０　　（ｎ＝７）

　　ｘ1＋ｘ2＋ｘ3＋ｘ4＋ｘ5＋ｘ6＋ｘ7＋ｘ8＋ｘ9＝０　　（ｎ＝８）

であって，

　　１２×３＝４２，４２×３＝１２８

という関係にあり，Ｅ8では９個の球によって完全に充填した構造となっています．

　

　そして，最終的には簡単なグラフ的算法に帰着されるのですが，１≦ｎ≦８では

　　ｎ　　１　　２　　３　　４　　５　　６　　７　　８

　　下界　２　　６　　12　　24　　40　　72　　126　 240

となり，ガウス記号を用いて

　　下界＝ｎ（［２^(n-2)／３］＋ｎ＋１）

の形にまとめられます．→（この式はｎ＞８に対しては成り立ちません．ｎ＝９のとき４６８となるのですが，コクセターの上界４０１よりも大きくなってしまうからです．）

　

　これより

　　ｎ　　　　　τn　

　　1 　　　　　 2　　

　　2　　　　　　6　　

　　3　　　　 12〜13　

　　4　　　　 24〜26　

　　5　　　　 40〜48　

　　6　　　　 72〜85　

　　7　　　　126〜146

　　8　　　　240〜244

となります．

　

　以下に，現在知られている上界・下界を記しますが，コクセターの方法は，現在知られている上界よりほんの少し大きい方に偏っていることがわかります．

　

　　ｎ　　　　　τn　　　　　　　ｎ　　　　　τn　　　　　

　　1 　　　　　 2　　　　　 　　13　　　 1130〜2233　　　

　　2　　　　　　6　　　　　 　　14　　　 1582〜3492　　　

　　3　　　　　 12　　　　　 　　15　　　 2564〜5431　　　

　　4　　　　 24〜25　　　　 　　16　　　 4320〜8313　　　

　　5　　　　 40〜46　　　　 　　17　　　 5346〜12215　　

　　6　　　　 72〜82　　　　 　　18　　　 7398〜17877　　

　　7　　　　126〜140　　　　　　19　　　10668〜25901　　

　　8　　　　　 240　　　　　　　20　　　17400〜37974　　

　　9　　　　306〜380　　　　　　21　　　27720〜56852　　

　　10　　　 500〜595　　　　　　22　　　49896〜86537　　

　　11　　　 582〜915　　　　　　23　　　93150〜128096　　

　　12　　　 840〜1416　　　　　 24　　　　 196560　　　　

　

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［補］kissing numberの問題

　

　１つの１０円玉を机の上において，それと触れ合うようにかつお互いに重ならないようにして，６個の１０円玉を置くことができます．１次元の球は区間であり，接触数は１次元のとき２個，２次元のとき６個であることは自明であって，幼稚園児でも解くことができそうです．

　

　平面上で与えられるたいていの問題は，３次元あるいは高次元の空間で考察することができます．一般に，ｎ次元ユークリッド空間において，１つの単位球に同時に接触することのできる単位球の最大個数τn は接吻数（kissing number）あるいは接触数（contact number）と呼ばれていて，最密充填構造と深い関連があります．

　

　１０円玉の例からわかるようにτ2＝６ですが，ｎ≧３のとき，τn はどうなるでしょうか？　まず，３次元の場合，単位球のまわりに面心立方格子状に単位球を置いた場合の接触点

　　1/√2（±１，±１，０）

　　1/√2（±１，０，±１）

　　1/√2（０，±１，±１）

を考えてみると，これら１２個の相異なる２点に対応するベクトルの内積は，−１，±１／２，０のいずれかであり，したがって，その間の角度（球面距離）は６０度以上となりますから，これらの点で接するように１２個の単位球を置くことができます．したがって，τ3≧１２は直ちにわかります．

　

　実際，正２０面体の１２個の頂点に対して，そこで接するように１２個の単位球を置くことができます．この場合，頂点間の角度は約６３゜２６′になり，１２個の球は互いに接触しておりません．少しだけなら自由に動かせるという状況ですから，その隙間を一つに集めたらもう一個球が入るのではないでしょうか？　ところが，これができるかできないかはあまり自明ではありません．というより，３次元になると，とたんに問題が難しくなってしまうのです．

　

　３次元の球の最大接触数τ3については，１６９４年にニュートンとグレゴリーの間で議論され，ニュートンは１２を，グレゴリーは１３を主張したといわれています．結局，ニュートンは１２個が最大であるという証明ができず，グレゴリーも１３個並べたわけではないので，「ニュートンの１３球問題」と呼ばれるこの論争は引き和けに終わりました．

　

　１８７４年，ホッペが１２個が最大であることという証明を試みましたが，不備があり，ようやく完全な証明がなされたのは１９５３年，ファン・デル・ヴェルデンとシュッテによってです．つまり，３次元空間内で１つの球には同時に１２個の球しか接することができません．３次元のときは１２個という解が得られるまで非常に長い年月がかかったことになります．

　

　４次元の場合はどうなるでしょうか？　２４個の面心立方格子状配置の接触点

　　1/√2（±１，±１，０，０）

　　1/√2（±１，０，±１，０）

　　1/√2（±１，０，０，±１）

　　1/√2（０，±１，±１，０）

　　1/√2（０，±１，０，±１）

　　1/√2（０，０，±１，±１）

で重ならないように置けるので，τ4≧２４は明らかです．また，τ4≦２５は示されていますが，現在でもτ4が２４であるか２５であるかは未解決です．

　

　τnの正確な値を決定する問題は大変難しく，４次元以上の高次元については，高度に対称的な格子状配置になっている８次元（２４０個）と２４次元（１９６５６０個）の場合を除いて未解決であり，現在，正確な値が知られているのは，τ1＝２，τ2＝６，τ3＝１２，τ8＝２４０，τ24＝１９６５６０の５つだけなのです．

　

　少し詳細に調べていきましょう．４次元，５次元においては面心立方格子の類似品となりますが，６次元以上についてはそのようなことはもはや成立しなくなります．次元の上昇とともに，超球の間の隙間が大きくなっていくからです．８次元になると面心立方格子に十分な隙間ができるので，１１２個の接触点

　　1/√2（０，・・・，±１，０，・・・，±１，０・・・）　　　（±１の個数は２つ）

と１２８個の隙間の点

　　1/√8（±１，±１，±１，±１，±１，±１，±１，±１）　　　（＋の個数は偶数）

に同じ大きさの球が詰め込み可能になります．専門的になりますが，τ8の２４０個の点はＥ8型の単純リー代数の２４０個のルート格子で実現されます．さらに，この詰め込みの断面が６次元と７次元のもっとも効率のいい格子状詰め込みを与えてくれます．

　

　また，１９６５年，リーチは群論と深く結びついた今日リーチ格子として知られるようになったものに基づいて，２４次元空間の格子状詰め込みを構成しました．この詰め込みにおいては，なんと１つの超球に１９６５６０個もの超球が接触しています．τ24の１９６５６０個の点はリーチ格子の原点から一番近い点の集合として得られることが知られています．

　

　こうして，ｎ≦２４のときのすでに知られている上界・下界がスローンらによって与えられています．

　

　　ｎ　　　　　τn

　　1 　　　　　 2

　　2　　　　　　6

　　3　　　　　 12

　　4　　　　 24〜25

　　5　　　　 40〜46

　　6　　　　 72〜82

　　7　　　　126〜140

　　8　　　　　 240

　　9　　　　306〜380

　　10　　　 500〜595

　　･･･････････････････

　　24　　　　196560

　

　つまり，８次元と２４次元は，接吻数が計算できる特殊な次元なのであり，都合のいい格子（８次元の場合，格子にはＥ8，２４次元の場合，リーチ格子という名前が付いている）がひとつに決まるので，格子上に球を配置することによって，すぐに接吻数を数えることができるというわけです．

　

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

　

［補］kissing numberの漸近評価

　

　kissing numberの漸近評価については

　　１／ｂ＝ｓｅｃ２θ−ｎ＋１

とおくと，

　　Ｆn(θ)〜√{(1+nb)/2}･1/(n!e^(1/b))･(2e/πnb)^(n/2)

したがって，

　　Ｎ(φ)〜2^(1-n/2)√(πcos2φ)n^(3/2)/(e(sinφ)^(n-1))

　

　φ＝π／６のとき

　　τn　〜　2^((n-1)/2)n^(3/2)√π/e

となります．

　

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

　

［補］トートの結果（ｎ＝３の場合）

　

　３次元球面上にＮ個の点を配置して，点間の最小球面距離が最大になるようにするとき，最短距離の上限が面積２π／（Ｎ−２）の球面正三角形の１辺の長さδ以下となることを証明しましょう．

　

（証明）

　ガウス曲率は，

　　Ｋ＝１／Ｒ1Ｒ2

で定義されますが，球面三角形ＡＢＣにこのことをあてはめると，三角形の頂点の角度をα，β，γとおいて，

　　Ｓ＝∫∫ＫｄＡ＝α＋β＋γ−π　　　（ガウス・ボンネの定理）

（球面凸ｎ角形に対しては，Ｓ＝α1＋α2＋・・・＋αn−（ｎ−２）π）

したがって，球面正三角形の１つの内角をαとすると，その面積は

　　△＝３α−π

　

　Ｎ個の頂点をもつ三角形面多面体では，３ｆ＝２ｅですから，

　　（ｖ，ｅ，ｆ）＝（Ｎ，３Ｎ−６，２Ｎ−４）

すなわち，球面上にｎ個の点を配置した場合，２Ｎ−４はＮ個の頂点をもつ三角形面正多面体（単体的正多面体）の面数となります．

　

　したがって，

　　３α−π＝４π／（２Ｎ−４）

より，

　　α＝Ｎπ／（３Ｎ−６）

　

　ここで，α＝２θより，

　　θ＝α／２＝Ｎ／（Ｎ−２）・π／６

　　Ｎ＝１２θ／（６θ−π）

すなわち，球面正三角形の場合，２θは面積が６θ−πの球面正三角形△の１つの内角を表しているのですが，この結果は

　　Ｎ(φ)≦２Ｆn-1(θ)／Ｆn(θ)

　　ｓｅｃ２θ＝ｓｅｃ２√ｋ＋ｎ−１

から得られるものと一致しています．

　

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［参］Coxeter「Twelve geometric essays」Carbondale and Edwardsville,

　　　Southern Illinois university press

　

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