球の最密パッキングの研究は，２次形式の数論，ルート系，誤り訂正符号（応用代数学），有限単純群などの理論と関係し，最大の信頼性と最小の電力で伝送できる効率的な通信システムの設計に応用されています．

　

　とくに，２４次元リーチ格子：Λ24の発見により，データ転送における誤り訂正符号の発見に大革新がもたらされましたが，通信技術への応用は球の詰め込み問題の四次元以上への一般化の結果としてなされたものであり，純粋数学の期待せざる応用の一例といってもよいでしょう．

　

　この一連のコラムでは，ｎ次元ユークリッド空間における球充填密度Δ（ｎ）のｎ→∞における漸近挙動が，

　　−１≦（ｌｏｇ2Δ（ｎ））／ｎ≦−．５９９

であること，そして

　　（ｌｏｇ2Δ（ｎ））／ｎ　→　−１　　　（ｎ→∞）

が成り立つかどうかが問題になっていることを紹介してきました．

　

　お盆休みに，宮城教育大学より

　　Conway,Sloane "Sphere packings, Lattices and Groups", Springer-Verlag

を借用することができたので調べ直してみたところ，（その１）で私が採ったランダム格子の方法とはかなり違っていることが判明しました．今回のコラムでは新たにわかったことを追加して報告したいと思います．

　

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【１】最密球充填

　

（２次元格子）　　　配位数　　　　充填率

正方格子　　　　　　　４　　　　　π／４＝．７８５４

三角格子　　　　　　　６　　　　　√３π／６＝．９０６９（最密充填）

六角格子　　　　　　　３　　　　　√３π／９＝．６０４６

カゴメ格子　　　　　　４　　　　　√３π／８＝．６８０２

ペンローズ格子　　　　４　　　　　平均０．３８９９（非周期的格子）

　

（３次元格子）　　　配位数　　　　充填率

単純立方格子　　　　　６　　　　　π／６＝．５２３６

対心立方格子(bcc) 　　８　　　　　√３π／８＝．６８０２

面心立方格子(fcc) 　１２　　　　　√２π／６＝．７４０５（最密充填）

ダイヤモンド格子　　　４　　　　　√３π／１６＝．３４０１

　

　そして，現在のところ，格子状配置の中で最密球充填となることが証明されている極大格子は，以下のｎ≦８についてのみである．

　

ｎ　　　ルート　　　格子点間距離　　　　　　　　　　　球充填密度

１　　　Ａ1（Ｚ）　　　１　　　　　　　　　　　　　　　　１

２　　　Ａ2　　　　4√（４／３） 　＝１．０７５　　　　０．９０６

３　　　Ａ3　　　　6√２　　　　 　＝１．１２２　　　　０．７４０

４　　　Ｄ4　　　　8√４　　　　 　＝１．１８９　　　　０．６１９

５　　　Ｄ5　　　　10√８　　　　　＝１．２３１　　　　０．４６５

６　　　Ｅ6　　　　12√（６４／３）＝１．２９０　　　　０．３７３

７　　　Ｅ7　　　　14√６４　　　　＝１．３４６　　　　０．２９５

８　　　Ｅ8　　　　√２　　　　　　＝１．４１４　　　　０．２５４

　

　このうち，ｎ＝１，２，３については，非格子状配置（面心立方格子と充填密度は等しいが規則的でないもの，ダイヤモンド格子のように周期的ではあるが等方的でないもの，ペンローズ格子のように周期的でないものなど）やランダム配置を含めても最密であることが証明されている．

　

　また，格子Λの双対格子をΛ~，そして層状格子をΛnで表すことにすると，

　　Λ1＝Ｚ＝Ａ1＝Ａ1~，Λ2＝Ａ2＝Ａ2~

　　Λ3＝Ａ3＝Ｄ3，Λ4＝Ｄ4＝Ｄ4~

　　Λ5＝Ｄ5，Λ6＝Ｅ6

　　Λ7＝Ｅ7，Λ8＝Ｅ8＝Ｅ8~

となる．

　

　（証明はされていないものの）９次元以上では，１０〜１３次元を除き，２９次元以下の最密球充填配置は層状格子Λnであることが知られている．また，３０〜３２次元ではＱn（Quebemann格子）がΛnを上回る．

　

　例外となるｎ＝１０，１１，１３では非格子状配置であり，ｎ＝１２は格子状配置Ｋ12（Coxeter-Todd格子），また，ｎ＝１６，２４の格子状配置は

　　Λ16＝ＢＷ16（Barnes-Wall格子），Λ24＝（Leech格子）

と呼ばれる層状格子である．Ｋ12，Λ16，Λ24，Ｑ32は最密球充填格子というわけである．

　

　　Ｋ12　→　Δ＝π^6/19440=0.04945･･･

　　Λ16　→　Δ＝π^8/16/8!=0.01471･･･

　　Λ24　→　Δ＝π^12/12!＝π^12/479001600=0.001930･･･

と計算されているが，充填密度を

　　δ＝Δ／ｖn

として規格化すると，

　　Ａ1 　→　δ＝1

　　Ａ2 　→　δ＝0.28868

　　Ａ3 　→　δ＝0.17678

　　Ｄ4 　→　δ＝0.125

　　Ｄ5 　→　δ＝0.08839

　　Ｅ6 　→　δ＝0.07217

　　Ｅ7 　→　δ＝0.0625

　　Ｅ8 　→　δ＝0.0625

　　Ｋ12　→　δ＝0.03704(δ＝1/27)

　　Λ16　→　δ＝0.0625(δ＝1/16)

　　Λ24　→　δ＝1

であるから，リーチ格子がいかに効率的配置であるかが理解されるだろう．

　

　１９６５年，リーチは群論と深く結びついた今日リーチ格子として知られるようになったものに基づいて，２４次元空間の格子状詰め込みを構成したのであるが，この詰め込みにおいては，なんと１つの超球に１９６５６０個もの超球が接触している．そして，τ24の１９６５６０個の点はリーチ格子の原点から一番近い点の集合として得られることが知られている．

　

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　なお，ｎ次元ユークリッド空間において，１つの単位球に同時に接触することのできる単位球の最大個数τnは，４次元以上の高次元では，８次元（２４０個）と２４次元（１９６５６０個）の場合を除いて未解決である．

　

　　ｎ　　　　　τn　　　　　　　ｎ　　　　　τn　　　　　

　　1 　　　　　 2　　　　　 　　13　　　 1130〜2233　　　

　　2　　　　　　6　　　　　 　　14　　　 1582〜3492　　　

　　3　　　　　 12　　　　　 　　15　　　 2564〜5431　　　

　　4　　　　 24〜25　　　　 　　16　　　 4320〜8313　　　

　　5　　　　 40〜46　　　　 　　17　　　 5346〜12215　　

　　6　　　　 72〜82　　　　 　　18　　　 7398〜17877　　

　　7　　　　126〜140　　　　　　19　　　10668〜25901　　

　　8　　　　　 240　　　　　　　20　　　17400〜37974　　

　　9　　　　306〜380　　　　　　21　　　27720〜56852　　

　　10　　　 500〜595　　　　　　22　　　49896〜86537　　

　　11　　　 582〜915　　　　　　23　　　93150〜128096　　

　　12　　　 840〜1416　　　　　 24　　　　 196560　　　　

　

　ｎ次元球のkissing numberについては，最密充填構造と深い関連があるのだが，その下界はコクセターの方法によって求められる．一方，上界は単体的密度限界ｄnで粗雑ながら押さえられる．

　

　単体的密度限界とは，稜の長さが２ｒのｎ次元正則単体の頂点に半径ｒの球を描いたときの充填密度ｄn，外接球Ｒを描いたときの単体における球の被覆密度Ｄnのことであって，平面の場合は

　　ｄ2＝π／√１２＝０．９０６８・・・

　　Ｄ2＝２π／√２７＝１．２０９・・・

空間の場合は，

　　ｄ3＝√１８（ａｒｃｃｏｓ（１／３）−π／３）＝０．７７９７・・・

　　Ｄ3＝９√３／２（ａｒｃｃｏｓ（１／３）−π／３）＝１．４３１・・・

となる．（一般のｎ次元での結果については，もう一度調べ直してみて，後日報告したいと考えている．）

　

　１９５８年，ロジャースは，四面体配置から空間充填率の上限を７７．９７％とはじき出した．四面体配置は，３次元で相互に接するように球を配置するときの最大数となる配置であるが，全空間を充たすことはできないので，空間充填率の上限と考えられるわけである．

　

　任意のｎ次元空間においても，単体は空間充填体でないという都合の悪い事情が現れるので，充填密度Δはｄnより決して大きくはなく，被覆密度ΘはＤnより小さくないので，これを使って，上側からの粗い評価をすると，

　

　　ｎ　　　　　τn　

　　1 　　　　　 2　　

　　2　　　　　　6　　

　　3　　　　　 12　　

　　4　　　　 24〜26　

　　5　　　　 40〜48　

　　6　　　　 72〜85　

　　7　　　　126〜146

　　8　　　　240〜244

　

となり，現在知られている上界よりほんの少し大きい方に偏っていることがわかる．

　

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【２】（ｌｏｇ2Δ（ｎ））／ｎの下界と上界

　

　ミンコフスキーは，数の幾何学の理論を利用して，

　　Δ≧ζ(n)／２^(n-1)

を得た．ここで，ｎ→∞とするとき，リーマンのゼータ関数

　　ζ(n)＝Σ1/k^n→１

であるから，

　　ｌｏｇ2Δ≧−ｎ＋１

したがって

　　（ｌｏｇ2Δ（ｎ））／ｎ≧−１

となる．

　

　一方，上界は単体的密度限界ｄnで粗雑ながら押さえられる．

　　Δ≦ｄn≦１

すべてのｎに対して，

　　（−ｎ≦）ｌｏｇ2Δ≦−ｎ／２＋ｌｏｇ2（ｎ／２＋１）

が成り立ち，ｎ→∞のとき，

　　ｄn　〜　（ｎ／ｅ）２^(-n/2)

であるから，これで，ｎ→∞のとき，

　　（ｌｏｇ2Δ（ｎ））／ｎ≦−０．５

が得られる．

　

　　（ｌｏｇ2Δ（ｎ））／ｎ≦−０．５９９

はそれを精緻化したものである．詳細は種本に譲ることにするが，格子状，非格子状の最密充填配置における

　　−１≦（ｌｏｇ2Δ（ｎ））／ｎ≦−０．５９９

という結果は，次元がひとつ増すごとに充填密度Δ（ｎ）がおよそ１／２〜１／１．５１になるという計算が成り立つことを示している．

　

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【３】２次元・３次元における最疎球被覆

　

　充填（パッキング）に引き続き，被覆（カバリング）の問題を紹介しよう．平面充填形には正三角形格子，正方格子，正六角形格子の３種類あるが，平面上において，円形が互いに重なり合わないように配置したり，平面を完全に覆いつくす配置問題を考えるとき，正三角格子がきわだった役割を果たす．

　

　最密な円充填密度は

　　Δ2≦π／√１２＝０．９０６８・・・

最疎な円被覆密度は

　　Θ2≧２π／√２７＝１．２０９・・・

で与えられるが，等号は，円の中心が正三角格子の頂点におかれたとき，すなわち，各々の円が正六角形の頂点で６個の他の円と接している場合および切断されている場合に成り立つ（蜂の巣型）．

　

　一方，空間における球の配置を考えると，球の中心が面心立方格子を形成したとき，球の最密充填であることが最近証明された．

　　Δ3≦π／√１８＝０．７４０４８・・・

　

　面心立方格子のボロノイ多面体は菱形１２面体であって，この意味で，菱形１２面体は正６角形を３次元空間に拡張したものと見なすことができよう．ケプラーは雪の結晶が正六角形をしているのはなぜかと考え，史上初めて菱形十二面体をみつけたのだが，４次元の雪（超正六角形）はケプラーが予想したとおり菱形十二面体なのである．

　

　ところが，球による空間の最疎被覆は面心立方格子ではない．面心立方格子型配置Ｄ3では

　　２π／３＝２．０９４・・・

それに対して，体心立方格子型配置Ｄ3~＝Ａ3~では

　　５√５π／２４＝１．４６３・・・

とかなり小さくなることがわかる．

　

　球の最密充填はケプラーやガウスによって既に知られていたのだが，最疎な球被覆問題は球の中心が体心立方格子をつくるときであることが証明されたのは，１９５４年になってからのことなのである．

　　Θ3≧５√５π／２４＝１．４６３・・・

　

　最密充填配置と最疎被覆配置が異なるというのは驚くべきことであろう．平面では充填配置も被覆配置も正六角形配置になっていたのだが，平面における正六角形の役割を菱形１２面体がすべて引き継いでいるわけではない．その理由は，平面では正六角形は円に内接および外接するのに対して，菱形１２面体は球に外接するが内接しない，一方，切頂８面体は球に内接するが外接しないことに起因している．そのため，ある問題では球に外接する多面体が重要になり，別の問題では内接する多面体が重要になるのだろう．

　

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　ところで，３種類ある平面充填形は，空間充填形の退化したものと見なされる．実際，空間充填形である立方体の断面には，正三角形，正方形，正六角形が現れることから，そのことを理解することができる．それと同様にして，空間への凸多面体の分割は４次元胞体の退化したものと見なさる．

　

　菱形１２面体は４次元超立方体（あるいは正２４胞体）の３次元空間への投影，切頂８面体は６次元超立方体の投影として得られるが，ここで，空間を体積が等しい凸多面体で，平均表面積ができるだけ小さくなるように分割せよという問題が生じる．

　

　この問題はかなり長い間，菱形１２面体による空間分割が解だと考えられていたのであるが，これに対して，体積１のときの表面積を求めると，菱形１２面体型分割では

　　3√１０８√２＝５．３４５・・・

切頂８面体型分割では

　　３／４3√４（１＋√１２）＝５．３１４・・・

と後者の方が約０．５％少なくなることが，１８８７年，ケルビン卿によって発見されている．

　

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【４】ｎ次元における最疎球被覆

　

　最疎球被覆であることが証明されているのは，１次元Ｚと２次元Ａ2の場合だけである．格子状球被覆に限れば，５次元まで証明されていて，Ａnの双対Ａn~が答えである．

　

　Ａn~の被覆密度は，外接球の半径が

　　Ｒ＝ｎ（ｎ＋２）／１２（ｎ＋１）

より，

　　Θ＝ｖn（ｎ＋１）^(1/2)｛ｎ（ｎ＋２）／１２（ｎ＋１）｝^(n/2)

で与えられることがわかっていて，

　　Ａ1~＝Ａ1 ＝Ｚ　　　Θ＝１　

　　Ａ2~＝Ａ2 　　　　　Θ＝１．２０９２　

　　Ａ3~＝Ｄ3~　　　　　Θ＝１．４６３５

　　Ａ4~　　　　　　　　Θ＝１．７６５５

　　Ａ5~　　　　　　　　Θ＝２．１２４３

　

　そして，２３次元以下ではＡn~が最疎球被覆配置であることが知られている．８次元では

　　Ａ8~　　　　　　　　Θ＝３．６６５５・・・

　　Ｅ8 　　　　　　　　Θ＝４．０５８７・・・(π^4/24)

であるが，２４次元では

　　Ａ24~ 　　　　　　　Θ＝６３．２６９・・・

　　Λ24　　　　　　　　Θ＝７．９０３５・・・((12π)^12/12!)

となり，Λ24のほうが疎である．

　

　Ａn~では次元が高くなると

　　（ｌｏｇ2Θn（ｎ））／ｎ〜ｌｏｇ2√（πｅ／６）＝０．２５４６

となり，最疎球被覆とはなり得ないことがわかる．

　

　Θの下界は単体的密度限界Ｄnで押さえられるから，

　　Θ≧Ｄn≧１

ここで，辺の長さが２の正単体の外接球の半径は

　　｛２ｎ／（ｎ＋１）｝^(1/2)

より，

　　Ｄn＝｛２ｎ／（ｎ＋１）｝^(n/2)ｄn

ｎ→∞のとき，

　　｛２ｎ／（ｎ＋１）｝^(n/2)→ｅ^(-1/2)２^(n/2)

より，

　　Ｄn　〜　ｎ／ｅ√ｅ

　

　したがって，下界については

　　Θ≧ｎ／ｅ√ｅ

上界については

　　Θ≦ｎｌｏｇeｎ＋ｎｌｏｇeｌｏｇeｎ＋５ｎ

が知られている．

　

　　ｎ／ｅ√ｅ≦Θ≦ｎｌｏｇeｎ＋ｎｌｏｇeｌｏｇeｎ＋５ｎ

　

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