無限次元空間の球充填問題（その２）

　ニュートンとほとんど同じ頃，和算の大家で算聖あるいは和算中興の祖とうたわれる関孝和が生れています（１６４２年）．ライプニッツが行列式の元祖ということになっているのですが，世界で最初に行列式に気がついたのは関孝和で，連立方程式の変数の消去法として行列式の展開を正しく行っています（１６８３年）．

　ヨーロッパではライプニッツがやはり連立一次方程式の解法に関連して行列式の計算を行っているのですが，それは１０年後の１６９３年のことで，孝和自身はライプニッツに先んじて行列式を導入していました．したがって，孝和を行列式の祖とする言は，手前味噌でも贔屓の引き倒しでもありませんし，また，関孝和はベルヌーイ数｛Ｂn ｝をベルヌーイが見いだす前に見つけていたのです．

　右辺は特別な形（差積）になっていますが，これを一般化した公式が「ファンデルモンドの行列式」です．

　前回のコラムで極大格子について計算した際，単純リー群の話が登場した．単純リー群には９つの型がある．それらはＡ，Ｂ，Ｃ，Ｄと名づけられた４つの古典群とＥ6，Ｅ7，Ｅ8，Ｆ4，Ｇ2と名づけられた５つの例外群であった．

　リー型の単純群は，４つの古典群，５系列の例外群，さらにそのうちで対称性をもつＡ，Ｄ，Ｅ6，Ｄ4の４系列，疑似対称性をもつＢ2，Ｇ2，Ｆ4の３系列で１６系列，素数位数の巡回群と交代群も含めて総計１８系列に細分される．

であるが，極大格子の隣接行列Ｂ＝｛ｂij｝では，要素が内積ｂi↑・ｂj↑からなるグラミアンによって定義される．その際，ｎ次元平行多面体（平行２ｎ面体）の基底となるｎ個のベクトルｂkはすべて長さ√２，ｂiとｂjが隣り合うときは２つのベクトルは角度６０°で交わり（内積＝１），隣り合わないときは直交すること（内積＝０）を意味している．角度が６０°のことを隣り合うといっているわけで，そのため，隣接行列は（０，１，２）で表されることになる（隣接行列の定義は文献によって異なる場合があるので注意を要する）．

を求め，左から・－を作用させたものがＥ6，さらに・－を作用させるとＥ7，・－を作用させるとＥ8と続く．

　行列式を既知の読者には，歯がゆかったかもしれないが，そのような読者はグラフの固有値やスペクトルについて勉強されてみては如何であろう．その応用の話がコラム「格子上の確率論（その８）」「幾何学と数論の相互転化」に収録されているので，参考になると思し，暇つぶしには最適な話題である．