無限次元空間の球充填問題

　１６１１年，ケプラーは，物質を構成する粒子は体積を最小とするように自己を組織化するだろうという構成原理を考えました．そこで，粒子が球形だと仮定して，さまざまな配置の空間充填率を計算してみました．

　ケプラーが最初に試みたのは，それぞれの球が６個の球に囲まれるように第１層を構成し，第２層は第１層のくぼみに球を置くという積み方です．これは別の角度からみると，立方体の８個の頂点と６面の中心に球が配置されているところから，面心立方格子と呼ばれている配置ですが，この積み方は八百屋の店先でミカンなどの山を安定に積み上げるために使われている日常的な配置です．この場合の充填率は√２π／６（７４．０４％）になります．

　他の配置と比較してみましょう．たとえば，下の層を正方形配列としその真上に球をのせていく単純立方格子の充填率はたったπ／６（５３％）にすぎません．また，六方格子（第１層は面心立方格子と同じ正三角形配列だが，第２層は球の真上に球をのせる）の充填率は√３π／９（６０％）であり，立方体の８個の頂点と中心に球を配置した体心立方格子の充填率は√３π／８（６８％）です．こうして，さまざまな配置を調べてみたケプラーは，面心立方格子が最密充填構造であるという結論に達しました．

　面心立方格子が最も密な球の充填方法だろうという予想は４００年近く前のケプラーまでさかのぼります．日常の経験からしても，同じ大きさの球の最も効果的な配置問題は自明なものと考えてしまいがちで，直感的に面心立方格子をなす場合が最大に詰め込んだ配置のように思えます．しかしだからといって，無限にある可能性をすべてひっくるめて証明したわけではないので，これは定理ではなく予想にすぎません．ランダムな配置まで含めると，空間充填率が７４．０４％よりも引き上げられるかもしれないからです．

　ケプラーの問題については，大半の数学者がまず間違いないだろうと考え，すべての物理学者が当たり前だと思っていたのですが，面心立方格子が３次元空間における最密充填構造だという証明は，何世紀にもわたる研究にもかかわらず未解決でした．

　ケプラー予想は，１９９４年に解決されたフェルマーの最終定理に取って代わる数学上の未解決問題になっていたわけですが，１９９８年にトマス・ヘールによってとうとう

　今回のコラムでは，半径の等しい球をｎ次元ユークリッド空間Ｒ^nに効率的に詰め込む問題（ヒルベルトの第１８問題）の漸近挙動について触れてみることにしたいと思います．

　以下，半径が一定で互いに交わらない球の充填密度をΔ（ｎ）と書くことにしますが，Δ（ｎ）のｎ→∞における漸近挙動については，現在のところ，

　単独で空間を充填する平面充填正多角形は３種類（正三角形・正方形・正六角形），空間充填正多面体は１種類（立方体）である．

　それに対して，４次元空間を１種類の正多胞体で埋めつくす図形は，正８胞体，正１６胞体，正２４胞体の３種類であり，４次元の最密正則胞体充填構造は，正２４胞体で埋めつくされているときであることが知られている．

　正２４胞体の頂点は正８胞体と正１６胞体の頂点をなすことより，正２４胞体は３次元の菱形１２面体Ａ3に対応するものであって，（３，４，３，３）は４次元版の菱形１２面体による空間充填形に相当する．すなわち，それは４次元の面心立方格子といってよいものであって，４次元の最密正則胞体充填構造Ｄ4は正２４胞体で埋めつくされているときであることが知られているというわけである．

　なお，ｎ次元正単体とｎ次元立方体の対称群は，それぞれＡn-1，Ｂn（Ｃn）で表されるのだが，２４胞体は１つの例外型対称群Ｆ4をもつことが知られている．２４胞体は単体以外の唯一の自己双対な正則胞体であるという事実がＦ4と関係しているらしく，この点もまた注目すべきものである．

　そこで「単位格子群の２つの格子点の間の最小距離ｄminを最大にする格子群（極大格子群）を求めよ」というミニマックス問題が設定される．すなわち，正多角形，正多面体に限らない最密規則的充填構造は何かという問題である．→コラム「極大格子群とルート系」参照

　２次元では，与えられた最小距離をもつすべての格子中で，格子点密度のもっとも高いものは，正三角形格子（Ａ2）ということになる．

　３次元では，すべての辺の長さが等しい平行六面体格子（菱形体格子）をつくってみると，辺が互いの６０°の角度をなすようにしたとき，平行六面体の体積は最小値となる．これが面心立方格子状配置であって，その対称性はＣ3（立方体）ではなく，Ａ3で与えられる．

　もっとも稠密な格子状球配置を求める問題はより高次元の空間においても考えることができるが，高次元空間においては，平面における正三角形格子や３次元空間における面心立方格子はもはや最密球配置を与えてはくれない．すなわち，４次元，５次元においては面心立方格子の類似品Ｄ4，Ｄ5となるのであるが，６次元についてはそのようなことも成立しなくなり，Ｅ6となる．

　これは次元の上昇とともに，超球の間の隙間が大きくなっていくからであるが，８次元になると面心立方格子に十分な隙間ができるので，１１２個の面心立方格子状配置の接触点

　この詰め込みの断面が６次元と７次元のもっとも効率のいい格子状詰め込みＥ6，Ｅ7を与えてくれるというわけである．

　なお，一般に，ｎ次元ユークリッド空間において，１つの単位球に同時に接触することのできる単位球の最大個数τn は接吻数（kissing number）あるいは接触数（contact number）と呼ばれていて，最密充填構造「同じ半径の球をできるだけ稠密詰めるにはどうしたらよいか」という空間の球による充填問題と深い関連がある．

　８次元の球の最大接触数τ8については，τ8の２４０個の点はＥ8型の単純リー代数の２４０個のルート格子で実現されるのだが，τnの正確な値を決定する問題は大変難しく，４次元以上の高次元については，高度に対称的な格子状配置になっている８次元（２４０個）と２４次元（１９６５６０個）の場合を除いて未解決であり，現在，正確な値が知られているのは，τ1＝２，τ2＝６，τ3＝１２，τ8＝２４０，τ24＝１９６５６０の５つだけである．

　つまり，８次元と２４次元は，接吻数が計算できる特殊な次元なのであり，都合のいい格子（８次元の場合，格子にはＥ8，２４次元の場合，リーチ格子という名前が付いている）がひとつに決まるので，格子上に球を配置することによって，すぐに接吻数を数えることができる．したがって，２４次元における効率的な詰め込みについての同様の結果はすでに求められていると思われるのだが，その結果を私は知らない・・・．

　そこで，ランダム配置の平均格子点間距離と平均充填密度を求めてみよう．コラム「ポアソン配置とワイブル分布（雑然か整然か）」は，配置が完全に規則的である結晶と，もう一方の極みにあるランダムな配置を扱ったものであるが，平面上または空間中に無作為に配置（ポアソン配置）した点の集団があるとして，ある点からその最も近い点（最近接点：nearest neighbor）に至るまでの距離ｒの分布を考える．

　詳細についてはコラムを参照していただきたいのだが，距離ｒの分布はｎ次元単位超球{x1^2+x2^2+･･･+xn^2≦1}の体積を

　なお，コラム「ポアソン配置とワイブル分布（雑然か整然か）」から得た教訓は「結晶と完全にランダムな点の配置は対極的ではあるが，どちらも数学的な扱いが容易な構造である．」ということであった．数学的にみると完全な「ランダムネス」は意外に扱いやすいのである．

　ランダム格子の場合，（ｌｏｇ2Δ（ｎ））／ｎの値は－１となることがわかった．この値は，ミンコフスキーによって得られた下界

　既にお気づきのように，同じ大きさの球ではないし，互いに交わらないという条件にも抵触しているが，Δ（ｎ）の近似値を，平均半径を有する球による空間充填密度

　ランダム配置の平均距離は，極大配置の格子点間距離の半分よりは大きい．逆にいうと，極大配置距離はランダム配置の平均距離の２倍よりも小さいという傾向が窺えるが，この傾向は９次元以上でも続くのであろうか？

となり，球充填密度は１を超えてしまう．したがって，９次元以上でも極大配置距離はランダム配置の平均距離の２倍よりも小さいことは確かである．

は定数ｃ＝１となることを主張するものであり，無限次元においては効率的格子≒ランダム格子とみなせるというものである．

　一方，（ｌｏｇ2Δ（ｎ））／ｎの上界≦－．５９９については，どのようにして得られたものなのか見当がつかない．おそらく組合せ論的に求められたものと思われるが，もう一度調べ直してみて，後日報告したいと考えている．

　低次元の場合，規則的充填はランダム充填よりも高密度であることをみてきたが，次元の上昇とともに，超球の間の隙間が大きくなっていくので，いずれランダム格子のほうが球充填密度が高くなることが想像されるところである．

　平面上に配置した格子点の最近接点間距離が最大値をとるときは，点の配置が正三角形の頂点に等間隔に配置するときであり，空間中の点については，点の配置が立方格子の格子線の交角を６０°になるようにゆがめたときであった．

で与えられること，平行２ｎ面体の体積はｎ次元単体のｎ！倍になることと関係しているのだが，これにより，球充填密度は

　菱形格子の格子点間距離は立方格子のそれよりも大きくなり，また，格子点間距離が大きいほど球充填密度は高くなるから，菱形格子のほうが高密度である．

　計算によると密度の逆転はｎ＝２６で起こる．規則的充填構造であれば，このようなことは避けられそうにないから，無限次元における効率的格子≒ランダム格子という問題が発想されるのであろう．

　固有多項式の根と係数の関係より，トレース（対角線の項の和）＝固有値の総和が成り立つ．トレースは全固有値の和であり，行列式は全固有値の積ある．

　ところで，固有値は幾何学的に何に対応しているのであろうか？　→単位キューブを線型写像で変換したときの各辺の長さと思えばよい．なぜなら，写像：ｙ＝Ａｘによって，単位直方体は平行２ｎ面体に写像されるものとすると，この写像のヤコビアンはＪ＝｜Ａ｜となる．

で与えられる．すなわち，行列式＝体積＝固有値の積であって，行列式はｎ本のベクトルで張られる平行２ｎ面体の体積となることが分かる．

　基本単体を鏡映も許しながら自分自身に重ねていく操作がルート系であり，それは，アメリカのキリングやフランスのカルタンによって成し遂げられた単純リー群の分類と関係しています．

　ｎ次元空間において高度の対称性をもったベクトルの集合がルート系なのですが，ｎ次元正単体とｎ次元立方体の対称群は，それぞれＡn-1，Ｂn（Ｃn）で表されます．

　ルート系では，ベクトルの間の角度は３０°，４５°，６０°，９０°またはその補角に限られるので，２次元の可能なルート系は

　また，このようにルート系のベクトルの末端を結んでできるｎ次元図形が正多胞体になるのは比較的少数です．他には

　正２４胞体は，すべての次元を通じて，単体以外の唯一の自己双対な正則胞体です．この２４胞体の対称性を，鏡映で生成される既約な有限群（ルート系）との関係でみても興味深いものがあります．たとえば，正２４胞体に含まれる正１６胞体は互いに６０°をなしますから，Ｄ4の３対性をもっているというわけです．

　また，正２４胞体は１つの例外型対称群Ｆ4をもつことが知られています．２個の正２４胞体を中心を一致させて重ねて回転させます．これはちょうど平面上でダビデの星が２つの正六角形を３０°ずらして重ねたものと似ているわけですが，この対称性がＦ4に相当します．正２４胞体は単体以外の唯一の自己双対な正則胞体であるという事実がＦ4と関係しているのですが，この点もまた注目すべきものでしょう．

　既約ルート系の分類の基づいて，複素単純リー代数の分類を行ったものがカルタンの分類定理であり，それは『いかなる複素単純リー代数もＡk（ｋ≧１），Ｂk（ｋ≧２），Ｃk（ｋ≧３），Ｄk（ｋ≧４），Ｅ6，Ｅ7，Ｅ8，Ｆ4，Ｇ2の型のものに限られる．』というもので，Ａk，Ｂk，Ｃk，Ｄk型の複素単純リー代数は古典型，Ｅ6，Ｅ7，Ｅ8，Ｆ4，Ｇ2の型のものは例外型と呼ばれます．すなわち，単純リー群には９つの型があり，それらはＡ，Ｂ，Ｃ，Ｄと名づけられた４つの無限系列とＥ6，Ｅ7，Ｅ8，Ｆ4，Ｇ2と名づけられた５つの例外群であったのです．

　キリングやカルタンの研究は面白い幾何学がどれだけできるかという設問に対する解答でもあり，大ざっぱにいえば，Ａ型が複素ユニタリ幾何，Ｂ型とＤ型がそれぞれ奇数次元と偶数次元の実ユークリッド幾何，Ｃ型が４元数上の幾何学，５つの例外型は８元数上の幾何学に対応しています．→コラム「群と月光」「エルランゲン・プログラムと変換群」参照

　線形代数はＡkという特定のルート系の理論であり，ユークリッド空間やシンプレクティック空間の幾何に対応するのはＢk，Ｃk，Ｄkの理論です．実数版→複素数版→４元数版ときましたが，そこでの理論の多くは，例外型の結晶群（Ｅ6，Ｅ7，Ｅ8，Ｆ4，Ｇ2）に対してだけでなく，結晶群でないユークリッド鏡映群（Ｉ2(p)，Ｈ3，Ｈ4）に対しても成り立ちます．