■リー群とリー代数（その２）
核物理学は中性子Ｎと陽子Ｐが結合して原子核をつくる機構を研究するものです．核の中では（重力を無視すれば）３つの力が働いていて，強い力はＮまたはＰを互いに結びつける，電磁相互作用はＰ相互間の反発力，弱い相互作用は不安定核のβ崩壊を引き起こす力となっています．
強い相互作用をする素粒子はハドロンと呼ばれますが，強い相互作用をするすべての粒子はクォークからできていると仮定するとうまく説明できる実験事実があり，重粒子（バリオン）は３つのクォークから，中間子（メソン）は２つのクォークからなるものと考えられています．
また，アイソスピン以外にも強い相互作用で保存し，弱い相互作用では保存しないような量が存在するのですが，その１つがハイパーチャージです．強い相互作用はアイソスピンとハイパーチャージの保存によって特徴づけられるのですが，横軸にアイソスピン，縦軸にハイパーチャージをとり，対応する粒子を平面上にプロットすると正六角形を描くとなるというのが八道説です．この六角形はＡ2型のルート系とまったく同じもので，ＳＵ（３）対称性を物語っています．
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【１】リー群とリー代数（復習）
転置と複素共役を組み合わせた作用を(~)で表すことにすると，実数変数行列と複素変数行列の対応は以下のようになります．
実数 複素数
対称行列（Ａ’＝Ａ ） → エルミート行列（Ａ~＝Ａ）
直交行列（Ａ’＝Ａ^(-1)）→ ユニタリー行列（Ａ~＝Ａ^(-1)）
反対称行列（Ａ’＝−Ａ ）→ 反エルミート行列（Ａ~＝−Ａ）
ｎ次実変数一般線形群ＧＬ（ｎ，Ｒ）は行列の乗法のもとで群をなすわけですが，その行列交換子で定義されるリー代数も同じ行列の集合となり，ｎ×ｎ行列なのでそのベクトル次元はｎ^2です．また，ｎ×ｎ複素行列ＧＬ（ｎ，Ｃ）において，複素数は２つの実数で定義されるので，そのリー代数は２ｎ^2次元をもつことになります．
ｎ次元直交群Ｏ（ｎ）はＡ^(-1)＝Ａ’を満たす行列の集合をなし，その行列式は±１となります．Ｏ（ｎ）のリー代数は反対称行列からなるので，次元はｎ（ｎ−１）／２であることが示されます．
Ｏ（ｎ）において行列式が＋１であるものは特殊直交群ＳＯ（ｎ）なのですが，とくに，Ａ’Ａ＝Ｅ，｜Ａ｜＝１を満たす３×３正方行列Ａは特殊直交群ＳＯ（３）をなします．これは３次元空間の回転を表す群となります．なお，球面上の運動の有限群については５つの回転群（巡回群，正２面体群，正４面体群，正８面体群，正２０面体群）＝広義の正多面体群に限られることはよく知られています．→［補］
ユニタリー群Ｕ（ｎ）は，複素共役をとって転置することを意味する（エルミート共役）~を用いて，Ａ^(-1)＝Ａ~を満たす行列の集合です．Ｕ（ｎ）のリー代数はｎ×ｎ反エルミート行列（Ａ~＝−Ａ）ですから，ｎ（ｎ−１）／２個の複素数の非対角要素とｎ個の純虚数の対角要素からなるため，全体でｎ^2実次元をもちます．
ｎ次元特殊ユニタリー群ＳＵ（ｎ）は，Ｕ（ｎ）の行列で行列式が１のものです．ＳＵ（ｎ）のリー代数はトレースが０の反エルミート行列からなるのですが，トレースが０という条件は自由度を１だけ減らすため，ＳＵ（ｎ）のリー代数の次元はｎ^2−１となります．
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【２】ルート系
（問）１つの３角形を辺に関して次々折り返していって，３角形が互いに重なることなく，平面を埋めつくすことができるか？
（答）この問題は平面を鏡映三角形で埋めるというものですが，１つの頂点に会する三角形は偶数に限る必要はありません．
頂点の角度をαとおくと，頂点を一回りしたので，
α＝２π／ｐ ただし，ｐは３以上の自然数．
まったく，同様に残り２つの内角に対しても
β＝２π／ｑ，γ＝２π／ｒ
また，α＋β＋γ＝πより
１／ｐ＋１／ｑ＋１／ｒ＝１／２
が成り立ちます．
ここで，３≦ｐ≦ｑ≦ｒと仮定すると
１／２＝１／ｐ＋１／ｑ＋１／ｒ≦３／ｐ
より，３≦ｐ≦６
さらに，ｐが奇数のとき，頂点Ａからでる２辺の長さは等しくならなければなりません．そうしないと折り返しでうまく重ならないからです．したがって，
(i)ｐ＝３のとき，ｑ＝ｒなので，
ｑ（ｑ−１２）＝０
これより，（ｐ，ｑ，ｒ）＝（３，１２，１２）
(ii)ｐ＝４のとき，（ｑ−４）（ｒ−４）＝１６
これより，（ｐ，ｑ，ｒ）＝（４，５，２０），（４，６，１２），（４，８，８）ですが，（ｐ，ｑ，ｒ）＝（４，５，２０）は必要条件を満たすものの，十分条件を満たさない，すなわち，１点のまわりだけは完全に埋められても平面のタイル張りになりません．凸な多角形では七角以上になるとどんな型のものも平面充填はうまくいかないのです．
(iii)ｐ＝５のとき，ｑ＝ｒより，
ｑ（３ｑ−２０）＝０
これを満たす３以上の整数はありません．
(iv)ｐ＝６のとき，（ｑ−３）（ｒ−３）＝９
これより，（ｐ，ｑ，ｒ）＝（６，６，６）
結局，求めるタイル張りは
（６，６，６） → 正三角形
（４，８，８） → 直角二等辺三角形
（４，６，１２） → ３０°，６０°，９０°の三角形
（３，１２，１２）→ ３０°，３０°，１２０°の三角形
の４通りあることになり，実際に十分条件を満たします．
３０°，６０°，９０°のモザイクは，３０°，３０°，１２０°の三角形からなるモザイクをさらに２個の直角三角形に分解してできる模様，直角二等辺三角形モザイクは正方格子（４，４）を４分割したもの，正三角形は正三角形格子（３，６）そのものです．
３０°，３０°，１２０°の角をもつ三角形は，正三角形格子（３，６）の各面を３個の合同な三角形に分解することによってできるモザイク模様です．「麻の葉」文様と呼ばれるくり返し文様なのですが，日本では古くから装飾工芸品や寄木細工のデザインなどとして用いられていますから，ご存じの方も多いと思います．
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ここでは，平面を鏡映三角形で埋めつくすというユークリッド幾何学の問題を考えましたが，これを一般の次元に拡張して，R^nの単体に置き換えて得られるベクトルの集合が一般の階数のルート系となります．
ｎ次元空間において高度の対称性をもったベクトルの集合がルート系なのですが，ルート系ではベクトルの間の角度は３０°，４５°，６０°，９０°またはその補角に限られるので，２次元の可能なルート系は
Ａ2（正六角形：正三角形格子）
Ｂ2＝Ｃ2（正方形）
Ｇ2（星形六角形：正６角形を２個合わせたもの）
しかありません．→［補］
正三角形モザイクからは正六角形が得られるのでＡ2，直角二等辺三角形モザイクは正方形の頂点と各辺の中点を結んでできるのでＢ2＝Ｃ2，麻の葉文様はダビデの星形六角形の各頂点になっているのでＧ2に相当します．
ｓｌ（ｎ，Ｃ）の１組（２個）の正規直交基底を決め，ｎ^2−ｎ個のルートを図示すると，ｓｌ（３，Ｃ）では２次元ユークリッド空間で正６角形が得られます．このことを高次元に拡張してみましょう．
ｓｌ（４，Ｃ）の１組の正規直交基底を決め，３次元ユークリッド空間で図示すると１２個の中心対称な点を得ることができるのですが，これらを頂点とする立体は立方八面体と呼ばれる準正多面体となります．立方八面体は立方体（あるいは正八面体）の各辺の中点を結んでできる６個の正方形面と８個の正三角形面からなる１４面体です．
ｏ（２ｎ＋１，Ｃ）で同様のことを行うと２ｎ^2個のルートは，ｏ（５，Ｃ）のＲ^2の８点の場合，正方形の４個の頂点と各辺の中点４個，ｏ（７，Ｃ）のＲ^2の１８点の場合，立方八面体の１２個の頂点と６個の正方形面の中心の点となります．
ｏ（２ｎ，Ｃ）には２ｎ^2−２ｎ個のルートがあるのですが，ｏ（４，Ｃ）のＲ^2の４点は正方形の４個の頂点，ｏ（６，Ｃ）Ｒ^2の１２点は立方八面体の１２個の頂点であって，ｓｌ（４，Ｃ）のルート系と同型となります．
また，ｓｐ（ｎ，Ｃ）のルート系は２ｎ^2個の元の集まりであって，ｓｐ（２，Ｃ）の８点はｏ（５，Ｃ）と同型，ｓｐ（３，Ｃ）の１８点は正八面体の６個の頂点と１２本の辺の中点となります．
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【３】ディンキン図形
前節では，平面を鏡映三角形で埋めつくすというユークリッド幾何学の問題を考えましたが，ルート系はｎ次元ユークリッド空間のベクトルの集合なので，それを平面上に図示するためには特別な工夫が必要となります．
１次独立な２つのルートα，βのなす角をθとすると，
（α，β）＝｜α｜｜β｜ｃｏｓθ
ただし，（α，β）＞０，｜α｜≦｜β｜，０＜θ≦π／２としても一般性を失いません．
また，
２（α，β）／（α，α）＝〈α，β〉
と略記すると，
〈β，α〉＝２｜β｜／｜α｜ｃｏｓθ
が成立しますから，
〈α，β〉〈β，α〉＝４ｃｏｓ^2θ
が得られます．
ここで，ルート系の定義から，〈α，β〉は整数ですから，
４ｃｏｓ^2θ＝０，１，２，３
したがって，
θ＝π／２，π／３，π／４，π／６
に限られます．
そのとき，ｎ次元単体の基底となるｎ個のベクトルの集合を
Φ＝｛α1，α2，・・・，αn｝
として，
〈αi，αj〉＝２（αi，αj）／（αj，αj）＝Ｃij
で与えられる整数をカルタン数，ｎ次正方行列Ｃ＝｛Ｃij｝をカルタン行列といいます．これはαjを長さ√２のベクトルとするとき，カルタン行列は内積（αi，αj）からなるグラミアンとして定義されることを意味しています．
θ ｜β｜／｜α｜ 〈α，β〉 〈β，α〉 〈α，β〉〈β，α〉
π／２ − ０ ０ ０
π／３ １ １ １ １
π／４ ２ １ ２ ２
π／６ ３ １ ３ ３
カルタン行列ではこの４つの場合の値のみが許されます．カタラン数はそれほど多くの値をとるわけではないので，その状況を端的に表すグラフ（ディンキン図形）を考えることができます．そして，〈α，β〉〈β，α〉，すなわち，
θ＝π／２・・・・結ばない
θ＝π／３・・・・辺−で結ぶ（・−・）
θ＝π／４・・・・辺＝で結ぶ（・＝・）
θ＝π／６・・・・辺≡で結ぶ（・≡・）
と定めます．
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ディンキン図形はカルタン行列に対応する平面グラフというわけですが，リー代数との関係をみてみましょう．
［１］ＳＵ（ｎ）
ＳＵ（ｎ）代数は古典群と呼ばれる代数のうちの一組で，ＳＵ（ｎ＋１）代数はカルタンによりＡnと呼ばれたものです（Ａn＝ＳＵ（ｎ＋１））．
行列式が１のｎ×ｎ複素ユニタリー行列の群ＳＵ（ｎ）のリー代数は，エルミートでトレース０のｎ×ｎ行列で生成され，それには線形独立なものがｎ^2−１個あります．
それらの重みはｎ−１次元空間で正単体，すなわち，ＳＵ（２）に対し正三角形，ＳＵ（３）に対し正四面体をなします．したがって，ＳＵ（ｎ）のディンキン図形は
・−・−・・・−・−・
になり，ＳＵ（２）に対するディンキン図形は・，ＳＵ（３）に対しては・−・と表されます．
−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−
［２］ＳＯ（ｎ）
ＳＯ（ｎ）はｎ×ｎ直交行列の群，すなわちｎ次元実ベクトル空間における回転群です．ｎが偶数のとき（ｎ＝２ｍ），ｍ個の２次元部分空間に分解でき，そのディンキン図形は
・
／
・−・−・・・−・
＼
・
となります．この代数ｓｏ（２ｍ）はカルタンがＤnと呼んだものです．
それに対して，ｎ＝２ｍ＋１のときのディンキン図形は
・−・−・・・＝・
となり，この代数ｓｏ（２ｍ＋１）はＢnと呼ばれます．
−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−
［３］Ｓｐ（２ｎ）
Ａを任意の反対称ｎ×ｎ行列，Ｓを対称ｎ×ｎ行列，σをパウリ行列として
Ｅ（×）Ａ，σi（×）Ｓ
の形をした２×２およびｎ×ｎエルミート行列のテンソル積（×）の形で与えられる２ｎ×２ｎ行列のなす群は，Ｓｐ（２ｎ）のリー代数をなします．
Ｓｐ（２ｎ）リー代数はカルタンがＣnと呼んだもので，そのディンキン図形は
・−・−・・・＝・
となります．
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行列の場合，ＸとＴ^(-1)ＸＴを同型といいますが，リー代数の同型とは交換子積の保存（交換子の行き先が行き先の交換子となっているもの）
ｆ（［Ｘ，Ｙ］）＝［ｆ（Ｘ），ｆ（Ｙ）］なる条件を満たすとき，同型であることをいいます．
たとえば，
Ｊ1＝1/2［０，ｉ］ Ｊ2＝1/2［０，−１］ Ｊ3＝1/2［ｉ， ０］
［ｉ，０］ ［１， ０］ ［０，−ｉ］
とすると，Ｊ1，Ｊ2，Ｊ3はｓｕ（２）の基底をなし，
［Ｊ1，Ｊ2］＝Ｊ3
［Ｊ2，Ｊ3］＝Ｊ1
［Ｊ3，Ｊ1］＝Ｊ2
という交換関係を満たします．
一方，
Ｌ1 ＝［０，０，０］ Ｌ2 ＝［０，０，１］ Ｌ3 ＝［０，−１，０］
［０，０，−１］ ［０，０，０］ ［１，０，０］
［０，１，０］ ［−１，０，０］ ［０，０，０］
はｏ（３）の基底で，
［Ｌ1，Ｌ2］＝Ｌ3
［Ｌ2，Ｌ3］＝Ｌ1
［Ｌ3，Ｌ1］＝Ｌ2
ですから同じ交換関係をみたします．
このことからｓｕ（２）とｏ（３）は同型であることがわかります．（ＳＵ（２）とＯ（３）は集合としては同型ではありません．念のため・・・）
同型を考慮してまとめあげると，
ｓｌ（ｎ＋１）・・・Ａn型単純リー代数（ｎ≧１）
ｏ（２ｎ＋１）・・・Ｂn型単純リー代数（ｎ≧２）
ｓｐ（２ｎ）・・・・Ｃn型単純リー代数（ｎ≧３）
ｏ（２ｎ）・・・・・Ｄn型単純リー代数（ｎ≧４）
となります．これらの代数が５つの特殊な代数Ｅ6，Ｅ7，Ｅ8，Ｆ4，Ｇ2を合わせてすべての単純リー群を構成しているのです．
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【４】既約ルート系の分類
ルート系の分類は，それ自体大変面白いものらしいのですが，既約ルート系の同型類には，Ａ型からＧ型までのアルファベットに，添字として階数をつけた名前が付いていて，Ｅ8型ルート系などと呼ぶ習慣になっています．
基本単体を鏡映も許しながら自分自身に重ねていく操作がルート系であり，それは，アメリカのキリングやフランスのカルタンによって成し遂げられた単純リー群の分類と関係しています．
それによれば，階数ｎの既約ルート系は，Ａk（ｋ≧１），Ｂk（ｋ≧２），Ｃk（ｋ≧３），Ｄk（ｋ≧４），Ｅ6，Ｅ7，Ｅ8，Ｆ4，Ｇ2の型のいずれかであり，既約ルート系の分類の基づいて，単純リー群を分類すると９つの型があり，それらはＡ，Ｂ，Ｃ，Ｄと名づけられた４つの古典型とＥ6，Ｅ7，Ｅ8，Ｆ4，Ｇ2と名づけられた５つの例外型でした（カルタンの分類定理）．
ルート系（リー型の単純群）はＡ型からＧ型まで７種類あるとしてよく，４つの古典群，５系列の例外群，さらにそのうちで対称性をもつＡ，Ｄ，Ｅ6，Ｄ4の４系列，疑似対称性をもつＢ2，Ｇ2，Ｆ4の３系列で１６系列に細分することもできるでしょう．
・−・・・・・−・ （Ａn：ｎ≧２のとき位数２の自己同型がある）
・
／
・−・・・・・ （Ｄn：ｎ≧４のとき位数２の自己同型がある）
＼
・
３
／
１−２ （Ｄ4：位数３の自己同型がある）
＼
４
４
｜
１−２−３−５−６ （Ｅ6：位数２の自己同型がある）
１＝２ （Ｂ2） １≡２ （Ｇ2） １−２＝３−４ （Ｆ4）
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階数１のルート系はＡ1の１種類に限られ既約です．また，階数２のルート系はＡ1×Ａ1，Ａ2，Ｂ2，Ｇ2の４種類に限られます．Ａ2型，Ｂ2型，Ｇ2型のルート系は既約ですが，Ａ1×Ａ1型のルート系は既約ではありません．階数ｎの既約ルート系はＡk（ｋ≧１），Ｂk（ｋ≧２），Ｃk（ｋ≧３），Ｄk（ｋ≧４），Ｅ6，Ｅ7，Ｅ8，Ｆ4，Ｇ2の型のいずれかなのです．
最後に，複素単純リー代数の階数と次元との関係を表にしておきます．
(1)Ａk（ｋ≧１） 同次特殊線形群，k(k+2)次元
(2)Ｂk（ｋ≧２） 直交群，2k+1変数の２次形式，k(2k+1)次元
(3)Ｃk（ｋ≧３） 斜交群，2k変数のパッフ形式，k(2k+1)次元
(4)Ｄk（ｋ≧４） 直交群，2k変数の２次形式，k(2k-1)次元
(5)Ｅ6 ７８次元
(6)Ｅ7 １３３次元
(7)Ｅ8 ２４８次元
(8)Ｆ4 ５２次元
(9)Ｇ2 １４次元
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［補］高次元の正多面体群
まず，３次元空間の回転群の有限部分群は，コーシーが示したように
(1)巡回群Ｃn
(2)正二面体群Ｄ2n
(3)正多面体群，すなわち
a)正四面体群（４次交代群：Ａ4）
b)正八面体群（４次対称群：Ｓ4）
c)正二十面体群（５次交代群：Ａ5）
に限られる．
そしてこのことは超幾何関数が代数関数になったり，初等関数になったり，特殊関数になったりを決定する条件と関係している．なぜならば，１次分数変換は複素数球面上で考えると１つの回転に対応していて，たとえば，数ｘを
（ｘ−１）／（ｘ＋１）
に置き換えるには，北極と南極が赤道のところにくるように球を９０°回転させればよい．
そして，写像関数が１価となるためには，有限な回転群である場合を調べれはよいことになるが，球面上の運動の有限群は５つの回転群（巡回群，正２面体群，正４面体群，正８面体群，正２０面体群）＝広義の正多面体群に限ることが知られているというわけである．このように回転群の話がまったく別の方面から現れることになにか「数学の神秘」を感じないだろうか．
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正多面体は３，４，５次元以上でそれぞれ５種，６種，３種存在するが，双対正多面体や自己同型があるので，正多面体群としては３次元のときは３種，４次元のときは正５胞体群，正１６胞体群，正２４胞体群，正６００胞体群の４種，５次元以上では正単体群と超立方体群の２種である．
星形正多面体は，ｎ＝３のとき４種あり，３次元の９種の正多面体（凸型５種＋星形４種）を，
(1)三角四角型（Ｓ4，Ａ4）：３種
(2)五角型（Ａ5）：６種
と分類することもできるだろう．なお，星形正多面体はｎ＝４のとき１０種あるが，ｎ≧５では存在しない．
高次元の正多面体群について，コクセターはｎ次元ユークリッド空間の反転によって生成される群の研究を進め，コクセター群とよばれる一連の群について詳しく研究した．詳細については
一松信「高次元の正多面体」日本評論社
をご覧頂きたいのであるが，ｎ次元ユークリッド空間の変換群で，その基本領域が単体（正多胞体の基本単体）になるものの決定である．
正多面体群とリー群との関連では，ｎ次元の正単体群はＡn，超立方体群はＢnまたはＣn，３次元の正二十面体群はＧ3，４次元の正２４胞体群はＦ4，４次元の正６００胞体群はＧ4と関連している．
１≡２−３ （Ｇ3） １≡２−３−４ （Ｇ4）
ここで，Ｇ3，Ｇ4はＧ2に１個または２個の節点をつないだグラフであり，単純リー群では許されない形である（拡張されたディンキン図形）．また，例外群はＤn，Ｅ6，Ｅ7，Ｅ8のいずれかの形になることが示されている．
ユークリッド空間の有限群（正多面体）または無限離散群（空間充填形）になるのは，４つの無限系列（Ａn，Ｂn，Ｃn，Ｄn）と６つの例外的な場合（Ｇ3，Ｆ4，Ｇ4，Ｅ6，Ｅ7，Ｅ8）に限るのである．
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［補］高次元の正多胞体とルート系
ｎ次元空間において高度の対称性をもったベクトルの集合がルート系なのですが，ｎ次元正単体とｎ次元立方体の対称群はそれぞれＡn-1，Ｂn（Ｃn）で表されます．
ルート系では，ベクトルの間の角度は３０°，４５°，６０°，９０°またはその補角に限られるので，２次元の可能なルート系は
Ａ2（正六角形：正三角形格子）
Ｂ2＝Ｃ2（正方形）
Ｇ2（星形六角形：正６角形を２個合わせたもの）
しかありません．
また，このようにルート系のベクトルの末端を結んでできるｎ次元図形が正多胞体になるのは比較的少数です．他には
Ｄ4（正２４胞体の３対性）
Ｃn（双対立方体）
Ｆ4（正２４胞体を２個合わせたもの）
があげられます．
正２４胞体は，すべての次元を通じて，単体以外の唯一の自己双対な正則胞体です．この２４胞体の対称性を，鏡映で生成される既約な有限群（ルート系）との関係でみても興味深いものがあります．たとえば，正２４胞体に含まれる正１６胞体は互いに６０°をなしますから，Ｄ4の３対性をもっているというわけです．
また，正２４胞体は１つの例外型対称群Ｆ4をもつことが知られています．２個の正２４胞体を中心を一致させて重ねて回転させます．これはちょうど平面上でダビデの星が２つの正六角形を３０°ずらして重ねたものと似ているわけですが，この対称性がＦ4に相当します．正２４胞体は単体以外の唯一の自己双対な正則胞体であるという事実がＦ4と関係しているのですが，この点もまた注目すべきものでしょう．
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［補］幾何学と単純リー群の分類
単純リー群を分類するという問題はある意味では興味深い幾何学の可能性を決定することになります．キリングやカルタンの研究は面白い幾何学がどれだけできるかという設問に対する解答でもあり，大ざっぱにいえば，Ａ型が複素ユニタリ幾何，Ｂ型とＤ型がそれぞれ奇数次元と偶数次元の実ユークリッド幾何，Ｃ型が４元数上の幾何学，５つの例外型は８元数上の幾何学に対応しています．線形代数はＡkという特定のルート系の理論であり，ユークリッド空間やシンプレクティック空間の幾何に対応するのはＢk，Ｃk，Ｄkの理論というわけです．
カルタンによりコンパクト単純リー群は，例外的なものを除き，Ａ型，Ｂ型，Ｃ型，Ｄ型の４系列をなしていることが知られていますが，そのうちの２系列
Ｂ型 ＳＯ（２ｎ−１）（ｎ≧２）
Ｄ型 ＳＯ（２ｎ） （ｎ≧３）
は回転群で，Ｂ型とＤ型はそれぞれ奇数次元と偶数次元の実ユークリッド幾何に対応しています．なお，ｎ＝４が例外であることがこのことからもみてとれるでしょう．
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