■格子上の確率論（その８）
空間の性質は，次元が変わるごとに劇的といってよいほど変わります．前回のコラムで紹介した，多様体に関するガウス・ボンネの定理やヒルツェブルフの符号数定理，エキゾチックな球面（ミルナーの定理）はその例でしょう．これらの面白さ・不思議さ・美しさと同時に，その背後にある数学の奥深さは，知れば知るほどに神秘的です．
格子上の確率論（その１）〜（その７）では，酔歩に関連する様々な話題を取り上げてきましたが，常にその中心となっていたのが，再帰確率に関するポリアの定理（１９２１年）です．
「ｄ次元格子に対して，非再帰的となる必要十分条件はｄ≧３となることである．」
今回のコラムでは，格子上の酔歩の問題とともに「カッツの太鼓の問題」を解説します．カッツの問題では，膜の振動の情報から太鼓の形がわかるだろうかという連続の世界の問題を扱いますが，それを離散の世界に拡張するとネットワークのラプラシアン・スペクトル幾何の問題に転化します．それに関しては，格子上のランダムウォークと同様に，隣接行列や推移行列を用いて解析されるのですが，ここではその雰囲気が少しでも伝われば幸いです．
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【１】ポリアの定理
ポリアの定理の証明は，通常，ｎ→∞のときの原点にいる確率の漸近挙動を調べることによって行われます．２ｎステップのとき，原点にいる確率をｕ2n，原点への最初の復帰が２ｎ回目に起きるという確率をｆ2nとすると，求める再帰確率はΣｆ2nで表されます．
ここで母関数を使った少し込み入った議論が必要になるのですが，母関数の方法の利点は，個々の数列ごとに工夫しなくても，一般項が求まることにあり，有限グラフ上の閉路で，途中で出発点に戻ることのない閉路の数と，何度戻ってもよい閉路の数との間の関係式を求めるという問題になります．
結論だけをいうと，ｎ→∞のとき，
Σｆ2n＝（Σｕ2n−１）／Σｕ2n＝１−１／Σｕ2n
が成り立ちます．Σｕ2n＝∞のときにはΣｆ2n＝１，すなわち，ランダムウォークは再帰的，また，Σｕ2n＜∞のときにはΣｆ2n＜１で非再帰的となります．そこで，Σｕ2nの値を求めてみることにします．
１次元酔歩の場合，
ｕ2n＝2nＣn／２^(2n) 〜 （πｎ）^(-1/2)
Σｕ2n＝∞（再帰的）
２次元酔歩の場合，
ｕ2n＝１／４^(2n)（2nＣn）^2 〜 （πｎ）^(-1)
Σｕ2n＝∞（再帰的）
それに対して，３次元酔歩では
ｕ2n＝ｃｎ^(-3/2) 〜 （πｎ）^(-3/2)
Σｕ2n＜∞（非再帰的）
よって，３次元酔歩は非再帰的．同様にして，４次元以上の酔歩は
ｕ2n 〜 （πｎ）^(-d/2)
Σｕ2n＜∞（非再帰的）
より非再帰的であることが示されます．
以上をまとめると，
格子の次元 （１，２） （３，４，５，６，・・・）
酔歩 再帰的 非再帰的
２次元格子であれば，正方格子に限らず，三角格子，六角格子，カゴメ格子でも再帰的ですし，３次元格子では単純立方格子以外の体心立方格子，面心立方格子，ダイヤモンド格子でも非再帰的です．
正方格子 ｕ2n 〜 （πｎ）^(-1)
三角格子 ｕ2n 〜 √３／２（πｎ）^(-1)
六角格子 ｕ2n 〜 ３√３／２（πｎ）^(-1)
カゴメ格子 ｕ2n 〜 ２√３／３（πｎ）^(-1)
これらは，酔歩の推移確率行列から導き出されます．詳細については志賀徳造「ルベーグ積分から確率論」共立出版を参照して頂きたいのですが，ここで，非再帰的というのは，決して原点に戻れないということではなく，いつまでたっても（たとえ寿命が∞であっても）原点に戻れない確率が正であるという意味なのです．
一方，２次元酔歩は再帰的確率１で原点に戻れるが，再帰時間の期待値は∞であり，もし寿命が∞であれば原点に戻れるという意味ですが，２次元でも非ユークリッド空間で曲率が負の場合，酔歩は非再帰的になることが知られています．
また，ｄ≧３の斉次型ツリー（ベーテ格子）上における酔歩は，０を反射壁とする
ｐ＝（ｄ−１）／ｄ
の１次元非対称ランダムウォークに一致しているため，
ｕ2n 〜 （d（d-1）／√π（d-2）^2）（4（d-1）／d^2）^n・ｎ^(-3/2)
〜 Ｃ・Ｒ^2n・ｎ^(-3/2) Ｒ＝2√（d-1）／d
したがって，ｄ≧３に対してＲ＜１が成り立ちますから，ベーテ格子上のランダムウォークは非再帰的ということになります．
ベーテ格子上のランダムウォークの場合には，出発したサイトに戻ってくる再帰確率は１／ｄですから，どこか他のサイトに移る確率は１−１／ｄで，ｄが大きくなるほどもとのサイトから離れやすくなることがわかります．
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【２】もっと精密な積分による評価
ところで，ここまで進んできて，何か物足りない（もどかしい，しっくり来ない）と感じられた方も少なくないものと思われます．なぜなら，上に掲げた再帰性の証明は，不等式による評価をしただけであって，まだ本質をしっかりと掴んだわけではないのです．
そこでまず１次元酔歩について見直してみることにします．ｘから出発して，ｘ−１，ｘ＋１に行く推移確率はそれぞれ１／２ですから，
ｕn+1（ｘ）＝１／２｛ｕn（ｘ−１）＋ｕn（ｘ＋１）｝
これに着目して，格子空間におけるフーリエ級数展開の方法を適用してみます．θを実変数として，
Ｑn（θ）＝Σｕn（ｘ）ｅｘｐ（ｉｘθ）
を考えると，
Ｑn+1（θ）＝１／２｛ｅｘｐ（ｉθ）＋ｅｘｐ（−ｉθ）｝Ｑn（θ）
＝Ｑn（θ）ｃｏｓθ
Ｑn（θ）＝１より，母関数（特性関数）は
Ｑn（θ）＝（ｃｏｓθ）^n
と簡単な形になります．
母関数から確率ｕn（ｘ）を復元するには，フーリエ逆変換
ｕn（ｘ）＝１／２π∫(-π,π)ｅｘｐ（−ｉｘθ）Ｑn（θ）ｄθ
するのですが，とくに，ｘ＝０のときは
ｕn（０）＝１／２π∫(-π,π)（ｃｏｓθ）^nｄθ
となります．ここで，ｎ＝０，１，２，・・・について和をとれば
Σｕ2n＝１／２π∫(-π,π)（１−ｃｏｓθ）^(-1)ｄθ
が得られます．
２次元格子上の酔歩では，
ｕn+1（ｘ，ｙ）＝１／４｛ｕn（ｘ−１，ｙ）＋ｕn（ｘ＋１，ｙ）＋ｕn（ｘ，ｙ−１）＋ｕn（ｘ，ｙ＋１）｝
Ｑn+1（θ）＝１／４｛ｅｘｐ（ｉθ）＋ｅｘｐ（−ｉθ）＋ｅｘｐ（ｉφ）＋ｅｘｐ（−ｉφ）｝Ｑn（θ）＝Ｑn（θ）（ｃｏｓθ＋ｃｏｓφ）／２
これより，
ｕ2n＝（１／２π）^2∫(-π,π)∫(-π,π)｛（ｃｏｓθ＋ｃｏｓφ）／２｝^nｄθｄφ
Σｕ2n＝（１／２π）^2∫(-π,π)∫(-π,π)｛１−（ｃｏｓθ＋ｃｏｓφ）／２｝^(-1)ｄθｄφ
まったく同様に，３次元格子上の酔歩では
ｕ2n＝（１／２π）^3∫(-π,π)∫(-π,π)∫(-π,π)｛（ｃｏｓθ＋ｃｏｓφ＋ｃｏｓψ）／３｝^nｄθｄφｄψ
Σｕ2n＝（１／２π）^3∫(-π,π)∫(-π,π)∫(-π,π)｛１−（ｃｏｓθ＋ｃｏｓφ＋ｃｏｓψ）／３）｝^(-1)ｄθｄφｄψ
３次元酔歩の非再帰性を示すには，この積分が確定することがいえればよいのですが，楕円積分を使って，
Σｕ2n＝（２π）^(-3)∫(-π,π)（１−1/3Σｃｏｓt）^(-1)dt
＝（√6/32π^3）Γ(1/24)Γ(5/24)Γ(7/24)Γ(11/24)
＝１．５１・・・
と評価され，したがって，
Σｆ2n＝（Σｕ2n−１）／Σｕ2n＝１−１／Σｕ2n
＝０．３４・・・
と計算できます．
このように，母関数の方法は極めて有効ですが，一般に，ｄ次元超立方格子上のランダムウォークにおいては，
Σｕ2n＝（２π）^(-d)∫(-π,π)(1-φ(t))^(-1)dt
φ(t)＝1/dΣcos(t)
より，
Σｕ2n＝∫(0,∞)exp(-x){I0(x/d)}^ddx
が得られます．したがって，ｄ次元格子上の再帰確率ｐdは
ｐd＝Σｆ2n＝１−１／Σｕ2n
＝１−［∫(0,∞)exp(-x){I0(x/d)}^ddx］^(-1)
で与えられます．
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１次元・２次元酔歩の場合，積分
Ｉd＝Σｕ2n＝（２π）^(-d)∫(-π,π)(1-φ(t))^(-1)dt
φ(t)＝1/dΣcos(t)
が発散することは次のようにして示すことができます．
（１次元酔歩）
ｃｏｓｘ≧１−ｘ^2／２
より，
２πＩ1＝∫(-π,π)（１−ｃｏｓｘ）^(-1)ｄｘ
≧∫(-π,π)２／ｘ^2ｄｘ＝∞
（２次元酔歩）
２−（ｃｏｓｘ＋ｃｏｓｙ）≦１／２（ｘ^2＋ｙ^2）
より，
（２π）^2Ｉ2＝∫(-π,π)（２−ｃｏｓｘ−ｃｏｓｙ）^(-1)ｄｘｄｙ
≧∫(-π,π)２／（ｘ^2＋ｙ^2）ｄｘｄｙ
ここで，ｘ＝ｒｃｏｓθ，ｙ＝ｒｓｉｎθと極座標変換すれば，
ｄｘｄｙ＝ｒｄｒｄθ
より，θ
（２π）^2Ｉ2≧∫(0,π)∫(-π,π)２／ｒｄｒｄθ＝∞
参考までに，１次元酔歩の再帰確率ｕ2nの母関数は
Q(t)=(1-t^2)^(-1/2)
２次元酔歩では母関数は第２種楕円積分
Q(t)=2/πK(t)
となりますが，
Σｕn＝Ｑ（１）＝∞
より，１次元酔歩も２次元酔歩も再帰的であることがわかります．また，これらとベッセル関数との間に，積分公式
Σｕ2n＝∫(0,∞)exp(-x){I0(x/d)}^ddx
が成り立つことも確認されます．
同様に，３次元空間での極座標変換のヤコビアンは
ｄｘｄｙｄｚ＝ｒ^2ｓｉｎθｄｒｄθｄφ
４次元以上では
ｄｘｄｙｄｚ・・・＝ｒ^(d-1)ｓｉｎ^(d-2)θｓｉｎ^(d-3)φ・・・ｄｒｄθｄφ・・・
と続きますから，一般のｄ次元では
Ｉd＝ｃ∫ｒ^(d-1)／ｒ^2ｄｒ＝ｃ∫ｒ^(d-3)ｄｒ
したがって，
Ｉd＝∞ （ｄ＝１，２のとき発散）
Ｉd＜∞ （ｄ≧３のとき有限確定）
であることが確かめられます．
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【３】ラプラシアンと調和関数
たとえば，２次元酔歩の推移確率
ｕn+1（ｘ，ｙ）＝１／４｛ｕn（ｘ−１，ｙ）＋ｕn（ｘ＋１，ｙ）＋ｕn（ｘ，ｙ−１）＋ｕn（ｘ，ｙ＋１）｝
のように，各点での値が隣接する点での平均であるような関数を（グラフ上の）調和関数といいます．酔歩と調和関数の関係は，第２次大戦中に角谷静夫先生により発見されたものだそうです．
また，これまで酔歩の足跡を追って格子空間の話を扱ってきたのですが，フーリエ級数展開によって母関数Ｑn（θ）はθの連続関数となっていることがわかりました．ここから話は連続的な世界に移るのですが，たとえば，それぞれ３変数の関数
ｆ（ｘ，ｙ，ｚ）＝０，
ｇ（ｘ，ｙ，ｚ）＝０，
ｈ（ｘ，ｙ，ｚ）＝０
があって，１階偏微分の関数行列（式）
［ｆx ｆy ｆz］
Ｊ＝［ｇx ｇy ｇz］
［ｈx ｈy ｈz］
をヤコビアンといいます．
例をあげると，３次元空間での極座標は
ｘ＝ｒｓｉｎθｃｏｓφ
ｙ＝ｒｓｉｎθｓｉｎφ
ｚ＝ｒｃｏｓθ
ですから，そのヤコビアンを計算すれば，
ｄｘｄｙｄｚ＝ｒ^2ｓｉｎθｄｒｄθｄφ
となります．
ヤコビアンはヤコビの名をとどめる行列（式）ですが，ヘッセにもヘシアンという彼の名前をとどめる２階偏微分の関数行列（式）があって，３変数の場合は，Ｈ＝▽^2Ｆとして
［Ｆxx Ｆxy Ｆxz］
Ｈ＝［Ｆyx Ｆyy Ｆyz］
［Ｆzx Ｆzy Ｆzz］
になります．
ヘシアンのトレース（対角線の項の和）を
△Ｆ＝Ｆxx＋Ｆyy＋Ｆzz
あるいは，
△ｆ＝−（ｆxx＋ｆyy）
のように負号をつける場合もあるわけですが，微分作用素
Δ＝d^2/dx^2+d^2/dy^2+d^2/dz^2，
Δ＝-(d^2/dx^2+d^2/dy^2)
をラプラシアンと呼びます．また，
△ｆ＝０
であるとき，ｆは調和関数であるといいます．
離散の世界では，積分は級数の和に，微分は差分に対応しますから，実際に２階偏差分を計算すると，△ｆ＝０に対応する２次元格子上の対応物（グラフ上の調和関数）は，
△ｆ（ｍ，ｎ）＝４ｆ（ｍ，ｎ）−｛ｆ（ｍ＋１，ｎ）＋ｆ（ｍ−１，ｎ）＋ｆ（ｍ，ｎ＋１）＋ｆ（ｍ，ｎ−１）｝＝０
であることがわかります．すなわち，（ｍ，ｎ）におけるｆの値とこれに隣り合う４点での平均値が一致する関数が（グラフ上の）調和関数というわけです．
また，ユークリッド空間以外の空間，たとえば双曲幾何空間を考えることも可能ですが，その場合，複素上半平面に対するラプラシアンは
Δ＝-1/y^2(d^2/dx^2+d^2/dy^2)
であり，具体的に固有値・固有関数を求めることは格段に難しくなります．
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【４】ラプラシアンのスペクトル
太鼓の形を与えて太鼓の音を求める問題を順問題と呼びますが，これに対して，「太鼓の音を聞いて太鼓の形を推定する」問題は，逆問題の一例としてよく取り上げられるものです．
実際，１次元（弦）ならば，その音を聞いて弦の形，すなわち，弦の長さを推定することができます．もっとも材質が違えば音色は異なるわけですが，この場合は音色ではなく，音の周波数（スペクトル）だけを問題とすることにします．それならば２次元の外周が固定された膜ではどうでしょうか？（ディリクレ問題）
この物理問題は，ある図形に対してそのラプラシアンの固有値を考えるという数学的問題となります．ラプラシアンの固有値とは，ある関数ｆについて，
Δｆ＝λｆ
となるようなλのことであって，逆にいうと，ラプラシアンの固有値が図形を知るための手がかりとなるのです．
線形代数では，対称行列の固有値問題
Ａｘ＝λｘ
においては，対称行列は対角化可能で実数の固有値をもつことを学びますが，ラプラシアンの固有値問題において，スペクトルとは固有値（とその一般化したもの）のことであり，対称行列の固有値・固有ベクトルに対応するものは，ラプラシアンのスペクトル分解と呼ばれます．
固有値全体の集合をスペクトルというわけですが，スペクトルとは固有値と連続スペクトルの全体を指します．連続スペクトルとは，固有値と同じ式を満たすものでありながら，固有関数が必要条件（２乗可積分性）を満たさないため，固有値とは認められないものです．非コンパクト面（曲面の中に無限に伸びている部分がある場合）では，連続スペクトルが存在することが知られています．
また，関数ｆを固有関数と呼びますが，ｆを基本領域上の関数に限定することにより，固有値の分布に面白い性質が現れます．たとえば，一辺の長さがそれぞれａ，ｂの長方形を基本領域とするディリクレ問題（外周が固定された膜）では，
固有値： π2（ｍ2／ａ2＋ｎ2／ｂ2）
固有関数：ｓｉｎ（ｍπｘ／ａ）ｓｉｎ（ｎπｘ／ｂ）
で与えられます．
（証明）
スケール・パラメータａ，ｂを取り払って，単位正方形内で考えることにするが，この基本領域はトーラス面と同一視される．トーラス上の関数はｘ，ｙを整数だけ動かしても値が変わらないという性質をもつから，固有関数は
ｆ＝ｅｘｐ｛２πｉ（ｍｘ＋ｎｙ）｝ （ｍ，ｎは整数）
という形になり，
Δｆ＝４π2（ｍ2＋ｎ2）ｆ
したがって，固有値は
λ＝４π2×（平方数の和）
という形をしており，固有値分布は平方数の和の分布と同じになる．
すなわち，固有値がとびとびの値をとるという離散性が示されましたが，この辺の事情はボーアの原子模型の話に通じるものがあります．→【補】自然の不連続性
なお，弦の振動では
λ＝ｃ×ｎ2／ａ2
直方体の振動系では
λ＝ｃ×（ｌ2／ａ2＋ｍ2／ｂ2＋ｎ2／ｃ2）
となり，すべて同じような特徴をもっていることに気付かれます．また，矩形領域（弦の場合を含む）では固有関数は三角関数で表されましたが，円板や球の場合は，ベッセル関数を用いれば具体的に解を求めることができます．
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【５】固有値の漸近分布
ここで，固有値を小さい順に並べたｎ番目の固有値λnが，ｎとともにどのように大きくなるのか，固有値の漸近分布について考えてみることにします．
Ｎ（λ）＝＃｛ｎ｜λn≦λ｝
すなわち，λ以下の固有値λnの個数の分布関数に着目すると，
π2（ｍ2／ａ2＋ｎ2／ｂ2）≦λ，ｍ≧１，ｎ≧１
したがって，λ→∞のとき，
（１／√λ）^2Ｎ（λ）→（楕円の面積）
であり，楕円に含まれる格子点の個数となることが理解されます．ここに現れたような格子点数の計算は，一般に「数の幾何学」と呼ばれ，ミンコフスキーに始まるものです．
同様にして，ｄ次元の超直方体ではその（超）体積をＶdとして，
Ｎd（λ） 〜 ｃdＶdλ^(d/2) （λ→∞）
が成り立つことが理解されます．固有値の数の増大のしかたは，次元とともに指数関数的に増大するのですが，（２次元）曲面では
Ｎ（λ） 〜 ｃλ
したがって，固有値はλのほぼ比例して存在することになります．
ここで，ｃ＝ｃdは次元ｄのみに依存する定数ですが，
ｃd＝（２π）^(-d)π^(d/2)／Γ(d/2+1)
すなわち，λ→∞のとき，
Ｎd（λ） 〜 （２π）^(-d)π^(d/2)／Γ(d/2+1)Ｖdλ^(d/2)
で表されるというのが，ワイルの公式の特別な場合です．
なお，半径１のｄ次元超球の体積は，
ｖd＝π^(d/2)/(d/2)!＝π^(d/2)／Γ(d/2+1)
で与えられますから，ワイルの公式は
Ｎd（λ） 〜 （２π）^(-d)ｖdＶdλ^(d/2) 〜 Ｃλ^(d/2)
と書くこともできます．
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【６】太鼓の形を聴きとれるか？ （等スペクトル問題）
Δｆ＝λｆ
の固有値
λ1≦λ2≦λ3≦・・・
が固有振動数を与え，対応する固有関数
φ1，φ2，φ3，・・・
がそれぞれの固有振動数で振動する膜の変位の様子を与えてくれます．
ワイルの定理とは，いわば「太鼓の音を聴けばその面積がわかる」というものですが，ここでは，歴史背景に思いを馳せてみましょう．１９１０年代，ワイルは太鼓の音からその面積を推定することが可能であることを証明しました（ワイルの法則）．
また，１９３０年代には音から周の長さも決定できることが示されました．
Ｎd（λ） 〜 ｃdＶdλ^(d/2)−ｃd-1／４Ａd-1/4λ^((d-1)/2)
ここで，Ａd-1はｄ次元多様体Ｖdの表面積を表します．
面積や周長だけから正確に定義できる図形は円だけなので，円形の太鼓ならば音からその大きさを決定できることが解ったわけですが，しかし，面積も周長も等しいが形の異なる太鼓が，同じ音をもっているなどということがあり得るだろうか？という一般的な疑問には答えることができませんでした．
１９６０年代になると，カッツは「ドラムの形は聴き分けられるか？」
M. Kac, Can one hear the shape of a drum?, Amer. Math. Monthly, 73(1966),1-23
という論文を発表しました．カッツの問題とは，漸近挙動
Ｎd（λ） 〜 ｃdＶdλ^(d/2)
をもっと詳しく調べれば，太鼓の形についての幾何学的情報がすべて得られないだろうか？という問いかけです．カッツが提出した等スペクトル問題は，数学論文としてはめずらしく魅力的なタイトルがものをいって，大きな注目を集めこの問題を解こうという研究を大きく促すきっかけとなりました．等スペクトル問題は逆問題の特殊な例になっていて，この論文のタイトルが逆問題の有名な標語（スローガン）になったというわけです．
カッツの論文により「太鼓の音から，その面積，周の長さ，穴の数が聴きとれる」ことが示されたのですが，これらの成果にもかかわらず，境界の形が円であるのか楕円であるのか，四角形か多角形かなのか，面の正確な形が推測できるかというさらに一般的な疑問には答えられませんでした．これが，マッキーンやシンガーなどの人々を触発し，その後の研究が展開する契機となりました．
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数学者は１次元・２次元・３次元という一般的な空間だけにとらわれません．無限次元さえ考えるのですが，１９６４年，ミルナーは幾何学的には異なるけれども同じ音を出す１６次元のドラムのペアを発見しました．また，別の数学者は異なる次元での例を発見しましたが，長い間，２次元の世界でそのようなペアを探しだすことはできませんでした．
１９８４年，砂田利一（東北大学）は等スペクトル多様体をほとんど思うがままに作り出す画期的な方法を発見し，これによって低次元の実例を作り出すことが可能になりました．
T.Sunada, Riemannian coverings and isospectral manifolds, Ann. Math., 121(1985), 248-277
そして，１９９１年には大きな進展がありました．ゴードンとその夫ウェッブは，ウォルポートからヒントを得て，面積と周長は等しいけれども形の違う，けれども同じ音をもつ２次元・３次元のペアを探し出すことに成功したのです．
C.Gordon,D.Webb and S.Wolport, Isospectral plane domains.and surfaces via Riemannian orbits, Invent. Math., 110(1192), 1-22
また，現在知られている最も単純な２次元図形はチャップマンによる８つの角をもつ図形です．
S.J.Chapman, Drums that sound the same, Amer. Math. Monthly, 102(1995), 124-138
浦川肇「ラプラス作用素とネットワーク」，裳華房には，これらの図形が図入りで詳しく書かれています．また，これまで連続の世界の話をして参りましたが，離散の世界：ネットワークのラプラシアンやスペクトル幾何に関しては，グラフ上のランダムウォークと同様に，隣接行列や推移行列を用いて解析されるのですが，同書にはこれらの詳細についても掲載されています．
とはいえ，新たな問題も浮かび上がっています．たとえば，もっと単純な構造をもつもの，あるいは，滑らかな境界をもつドラムのペアは存在するであろうか？ 等々．スペクトル幾何学の研究はやっと始まったばかりで，まだ多くの問題が残されているのです．
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【参考文献】
浦川肇「ラプラス作用素とネットワーク」，裳華房
第６章：ラプラシアンのスペクトル幾何
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【補】自然の不連続性
１９世紀末から２０世紀初頭にかけて，物質の不連続性（原子），電気の不連続性（電気素量ｅ）に引き続き，エネルギーの不連続性（ｈν）という自然の秘密は徐々に暴かれてきました．
１９１３年，ボーアはプランクが提案した量子化の概念を原子構造に導入することによって，原子模型の難点を解決できることに気づきました．ボーアはバルマーやリュードベリのスペクトル系列の公式：
１／λ＝Ｒ（１／ｍ2 −１／ｎ2 ）
の中に，
ａ）原子の中には電子が輻射を行わない軌道があること，
ｂ）輻射は電子がある軌道から別の軌道に跳躍するときだけに生じることを見つけだし，原子自体の微細構造を明らかにしたのです．
なお，リュードベリ定数Ｒは物理学の普遍的な定数で，電子の質量ｍ，電子の電荷ｅ，光速度ｃ，プランク定数ｈと式
Ｒ＝２π2 ｍｅ4 ／ｃｈ3
で結ばれています．しかも，ｅについては４乗，ｈについては３乗しているのですからかなり複雑な関わり方をしています．
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