格子上の確率論（その６）

　Montroll EW (1956): random walks in multidimensional spaces, especially on periodic lattices, J. Soc. Indust. Appl. Math. 4, 241-260

ですから，配位数が大きいほど（すなわち移れる点の数が多いほど）再帰しにくくなることが直感的にも理解されます．

　配位数８の対心立方格子は４次元超立方格子と，配位数１２の面心立方格子は６次元超立方格子と配位数は等しいのですが，いくら配位数が同じであるとはいっても，面心立方格子の再帰確率は４次元超立方格子のそれよりも大きくなります．高次元では高層ビルのような構造になるので，同じ階に戻ることはあっても，なかなか原点までたどり着けないものと直感されます．大切なのは空間の次元であって，再帰性では次元がものをいうことが理解されます．

　さて，今回のコラムでは，この論文の前半部分を読みながら考えたことを中心にして述べていくことにします．

　まず，よく知られている１次元対称単純ランダムウォークの原点復帰の問題について考えることにしましょう．

　原点に戻るのはｔが偶数の時に限られるので，２ｎステップのとき，左右に同じ回数ｎずつ移動する確率は

で与えられます．ここでｕ0＝１，また，奇数回目には戻ることができませんからｕ2n+1＝０とします．

　２項展開からすぐにこの関数を思い浮かべることは困難と思われますが，超幾何関数であると仮定すると上のようにして導き出すことができます．この関数は円周の長さに関係していて

　また，この関数の特性関数は第１種ベッセル関数Ｊ0(x)で表されますが，このことはレイリー分布やライス分布との関連から別の機会にあらためて考察することにします．

より１次元酔歩が再帰的であることが導き出されますが，一方，１次元ランダムウォークにおいて，粒子が時刻２ｎではじめて原点に復帰する確率を求めるのは簡単ではありません．

　原点に戻って来るには，はじめてどこかで原点に戻って，その後，またｎ回目に戻ってくればよいので，ｕnとｆnの間には両者を結びつける重要な公式

　ここで，両辺にｔ^nをかけてｎを０～∞までの和をとれば，左辺からはＵ（ｔ），右辺からは１＋Ｕ（ｔ）Ｆ（ｔ）が得られますから，このことより

　次に，２次元ランダムウォークの母関数はどう表されるでしょうか？　同様に，ｕnの母関数を

　実は，小生，ある理由から２次元酔歩の母関数が第２種楕円積分になるのではないかと予想しておりました．この予想についても回をあらためて述べることにしたいと思います．

となりました．それに対して，３次元以上の酔歩の母関数は複雑で求められそうにありません．

　コラム「マーデルング定数」の計算の際にもでてきましたが，格子空間上のフーリエ解析は巧みな方法というよりは，むしろトリックをみせつけられているような気分にさせられるのですが，

　Montroll EW (1956): random walks in multidimensional spaces, especially on periodic lattices, J. Soc. Indust. Appl. Math. 4, 241-260

　「容易に・・・」というところが簡単にはいかないのですが，一般の数学の論文・教科書で「容易に」とか「明らかに」と行っている箇所が一番難しいのです．そこで，今は営業でアメリカにいるはずの畏友・阪本氏より解説してもらったことを紹介すると，・・・

　これは論文に一致しています．ｄ≧３のとき，このベッセル関数を展開して項別積分してよいのですが，ここでの議論は級数展開と項別積分の繰り返しとなっています．その際，ｄ＝∞の周りで級数展開することに注意します．

Returning to the origin in simple random walk, Math. Scientist 15, 24-35の数表から，ｄ次元格子上における酔歩の再帰確率ｐdを引用した値，

　数値積分と漸近展開式の計算結果はほぼ同じですが,ｄ≦４のとき，真の値からのずれが大きいようでした．

は解析的に求められた式なのですが，真値と食い違うのは数値計算結果が間違いなのではなく，第１種０次の変形ベッセル関数I0の性質が悪いため，小生がとった数値積分法では良い値が求められないのです．

　それではどうしたら良い値が得られるのでしょうか？　この積分は広義積分であり，Mathematicaによる積分の計算も一筋縄ではいかないようです．実際，数値積分の範囲を∞までにすると，浮動小数点オーバーフロー，アンダイフローを起こしてしまうのです．そのため，積分の範囲を明示的に指定することになりますが，例えば，600000と指定した場合，以下のような計算結果となりました．

　小生はガウス・ラゲール法で数値積分して，関数の性質が悪いため案の定失敗したわけですが，Mathematicaでは内部的にどのような計算方法をとっているのでしょうか?　疑問が残るところです．

　Mathematicaでの計算方法については，マニュアルに「インプリメンテーション・ノート」というメモがあるので，これを参照したのですが，それによれば，デフォルトではガウス・ラゲール法を使っている由．その他に初期のサンプルポイントや再帰的な処理の深さ（多分，連分数のネスト）などを指定できるし，デフォルトでは「最適」なものを選択すると書いてありました．それ以上は「企業秘密」なようですが，実に巧妙で微妙なところで商売をしているといえるでしょう．

　次に，漸近展開の計算結果を掲げます．漸近展開ですから，級数の項数を増やすより，適当な項数で打ち切った方がよいのですが，級数展開を5項程度で打ち切るのはまずいようです．いずれにせよ，ｄが小さいとき漸近展開式から正しい値を得るのはあまり容易ではないようでした．

　ｄが大きいところの計算を正確に行うために必要になるのが「漸近展開」です．ここでは最初の１０項・１５項・２０項・６項をとって計算していますが，漸近展開の性質上，この値が大きいからといって正確になるとは限らず，ｄを固定して項数ｎ→∞とすれば，この級数は発散してしまいます．しかし，ｄが十分大きいとき，漸近展開項の絶対値は最初は減少しますから，漸近展開には最適打ち切り項数が存在するはずです．

したがって，2n+1>2z^2ならば|En(z)|<|En+1(z)|，2n+1<2z^2ならば|En(z)|>|En+1(z)|であり，結局，2n+1=2z^2が誤差の上限を最小にします．すなわち，最適打ち切り項数ｎの値はｚによって決まり，ｎ＝｜ｚ｜^2のとき，その項の絶対値は最小になるのです．また，

で計算されることがわかります．たとえば，ｎ＝｜ｚ｜^2＝２０のとき，最初の２０項をとって数値計算すれば，ほぼ3.2*10^(-10)なると試算されますから，かなりよい近似値を得ることができます．

　このように，漸近展開では第ｎ項まで求めれば最適かという問題は，一般項がわかれば計算できます．ｄ＝∞の周りで級数展開することさえわかれば，手計算でも数項ならば求めることは難しいことではないと思います．しかし，学生時代に比べ計算する力が鈍っているので，手計算では{I0(x/k)}^kの展開のところで断念，残念ながら，小生には一般項を求めることはできませんでした．一般項さえ求められれば，かなりよい近似値が得られるはずなのですが，・・・．