横浜国大・今野紀雄先生より頂いた資料：

　　Peter Griffin(1990): Accelerating beyond the third dimension: Returning to the origin in simple random walk, Math. Scientist 15, 24-35

の数表をみると，小生が計算した再帰確率

　　d=3,n=200　→　p3=0.32

　　d=3,n=500　→　p3=0.33

　　d=4,n=100　→　p4=0.19

とすべて一致し，私にとっては大満足の結果となりました．また，その文献からｄ次元格子上における酔歩の再帰確率ｐdを引用すると，

　

　　　　 ｄ　　 ｐd　　　　　　　　　 ｄ　　 ｐd

　　　　 1　　 1　　　　　　　　　　　13　　.041919　

　　　　 2　　 1　　　　　　　　　　　14　　.038657　

　　　　 3　　 .340537　　　　　　　　15　　.035869　

　　　　 4　　 .193201　　　　　　　　16　　.033458　

　　　　 5　　 .135178　　　　　　　　17　　.031352　

　　　　 6　　 .104715　　　　　　　　18　　.029496　

　　　　 7　　 .085844　　　　　　　　19　　.027848　

　　　　 8　　 .072912　　　　　　　　20　　.026375　

　　　　 9　　 .063447　　　　　　　　30　　.017257　

　　　　 10　　.056197　　　　　　　　40　　.012827　

　　　　 11　　.050455　　　　　　　　100　 .005050　

　　　　 12　　.045789　　　　　　　　　　　　　　　

　

　再帰確率はｄが大きいほど小さくなりますが，ｄが十分に大きいとき，第１種０次の変形ベッセル関数を使って，

　　Σｕ2n＝∫(0,∞)exp(-x){I0(x/d)}^ddx

　〜　1＋2!/2(2d)+3!/2(2d)^2+4!/2(2d)^3+5!/2(2d)^4+5*71/2(2d)^5+･･･

より，

　　ｐd　〜　1/(2d){1+1/d+7/(4d^2)+35/(8d^3)+215/(16d^4)}

で漸近近似されることがその論文には記されています．

　

　この式では，最初の数項の近似値でも

　　p1=1,p2=1,p3=0.34,p4=0.20,p5=0.13,p6=0.10

ですから，かなり正確な値がでています．

　

　また，

　　１／２（ｄ−１）＝1/(2d){1+1/d+1/(d^2)+･･･}

ですから，式

　　ｐd　〜　１／２（ｄ−１）

は簡単な割には漸近確率をよく近似し，

　　ｐd　〜　１／（２ｄ−１）　あるいは　ｐd　〜　１／（２ｄ）

よりも外挿した際の誤差が小さいことが理解されます．

　

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

　

【１】原点からの拡散距離が√ｎの領域内に納まる確率

　

　ところで，ｄ次元格子上の酔歩の挙動は，ブラウン運動などの拡散モデルとしてよく知られていますが，格子のモデルはブラウン運動の離散化とみなすことができるので，局所的にみると離散的過程であっても，大域的にみると連続空間に分布した連続的なｄ次元ガウス分布とみることができます．

　

　したがって，ｄ次元酔歩が原点（０，０，，・・・，０）を中心として拡散し，原点からの距離がσ＝√ｎの領域内に納まる確率は，自由度ｄのχ^2分布で近似されることがわかります．このことは，多重ガウス積分が不完全ガンマ関数になることから計算されるのですが，この詳細についてはコラム「ｎ次元楕円の陰と影」を参照願います．

　

　実は，人間の直観や勘は１変量からたかだか３変量までの寡変量の世界ではよく働きますが、多変量の世界ではあまり働かないのが普通であって、われわれが３次元空間でイメージするものとは大きく異なってきます．そのため，高次元では予期せざる現象がしばしば起こるのですが，以下にその例をみてみましょう．

　

　１次元正規分布ならば，区間

　　［μ−１σ，μ＋１σ］に６８．３％，

　　［μ−２σ，μ＋２σ］に９５．４％，

　　［μ−３σ，μ＋３σ］に９９．７％

の観測値が入ります．ほとんどの観測値が［μ−３σ，μ＋３σ］に入ることを利用して，工場では品質管理を行っていますが，それが３σ法であって，有用なＱＣテクノロジーの１つになっています．

　

　一方，ｄ次元正規分布は，

　　p(x1,x2,x3,･･･,xd)=1/(2πσ^2)^(d/2)exp{-(x1^2+x^2+･･･+xd^2)/2σ^2}

で与えられますが，多次元正規分布の場合，低次元の場合とは対照的に密度の裾にあたる領域に大部分のデータが存在することになります．

　

　すなわち，高次元になるほど原点の近傍にある確率は小さくなるのですが，そのこととｄ次元酔歩の再帰確率との間に何らかの関係が成り立つように思われます．もちろん，原点の近傍に存在する確率が少なくなるほど再帰確率が小さくなることが直観されますが，そこでまずｄ次元酔歩の原点からの拡散距離がσ，２σ，３σまでに含まれる確率を計算してみることにしましょう．

　

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

　

　χ^2分布は不完全ガンマ関数と密接に関係していて，その分布関数は，超幾何関数を使って

　　F(x)=(x/2)^(d/2)1F1(d/2,1+d/2,-x/2)/Γ(1+d/2)

　　　　=(x/2)^(d/2)exp(-x/2)1F1(1,1+d/2,x/2)/Γ(1+d/2)

のように表現されます．

　

　以下に確率計算に使用したプログラムと計算結果を掲げますが，たとえば，２次元酔歩の場合，自由度２のχ^2分布は指数分布ですから，全体のｐ％がその内側に入るような超球の半径ｃは

　　（ｃ／σ）^2＝−２ｌｎ（１−ｐ）

によって与えられます．

　　ｃ＝σのときｐ＝０．３９４，

　　ｃ＝２σのときｐ＝０．８６５

となり，半径が２σの円を描くとその内側には８６．５％が含まれることになります．

　

　これらは１次元酔歩の場合の確率，

　　ｃ＝σのときのｐ＝０．６８３，

　　ｃ＝２σのときのｐ＝０．９５４

より小さくなるのですが，さらに，それぞれ１辺が２σ，４σの正方形の内側に入る確率，

　　ｐ＝（０．６８３）^2＝０．４６６＞０．３９４

　　ｐ＝（０．９５４）^2＝０．９１０＞０．８６５

よりも小さくなることが容易におわかり頂けるでしょう．

　

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

　

1000 DEFDBL A-H,J-Z

1010 FOR I=1 TO 20

1020 DF=I

1030 PRINT:PRINT DF

1040 C=1:UUX=C*C:GOSUB *CHI2.PROB.HGF:PRINT P0

1050 C=2:UUX=C*C:GOSUB *CHI2.PROB.HGF:PRINT P0

1060 C=3:UUX=C*C:GOSUB *CHI2.PROB.HGF:PRINT P0

1070 '

1080 Z=(1+DF)/2:GOSUB *LOG.GAMMA:G1#=G#

1090 Z=DF/2　　:GOSUB *LOG.GAMMA:G2#=G#

1100 C=EXP(G1#-G2#)*SQR(2):UUX=C*C:GOSUB *CHI2.PROB.HGF:PRINT P0

1110 NEXT I

1120 END

1130 '

1140 ' ** CHI-SQUARE DISTRIBUTION **

1150 '

1160 *CHI2.PROB.HGF:

1170 A0=1:C0=1+DF/2

1180 A=A0:C=C0

1190　Z=UUX/2:GOSUB *CONFLUENT.HGF :G1#=G#:' [polynomial expansion]

1200 'Z=UUX/2:GOSUB *CONFLUENT.HGF1:G1#=G#:' [ continued fraction ]

1210 Z=1+DF/2:GOSUB *LOG.GAMMA:G2#=G#

1220 Z=UUX/2

1230 'P0=G1#/EXP(G2#)*Z^(DF/2)*EXP(-UUX/2)

1240 P0=LOG(G1#)-G2#+DF/2*LOG(Z)-UUX/2

1250 P0=EXP(P0)

1260 RETURN

1270 '

1280 ' *** 合流型超幾何関数 ***

1290 '

1300 *CONFLUENT.HGF:' [Kummer]

1310 EPSL=1E-09

1320 G0#=0:G#=1

1330 T#=1:K=1

1340 WHILE ABS(G0#-G#)>EPSL

1350　 T#=T#*A/C*Z/K

1360　 G0#=G#

1370　 G#=G#+T#

1380　 K=K+1

1390　 A=A+1

1400　 C=C+1

1410 WEND

1420 G=G#

1430 RETURN

1440 '

1450 ' *** ガウス型超幾何関数 ***

1460 '

1470 *GAUSS.HGF:

1480 EPSL=1E-09

1490 G0#=0:G#=1

1500 T#=1:K=1

1510 WHILE ABS(G0#-G#)>EPSL

1520　 T#=T#*A*B/C*Z/K

1530　 G0#=G#

1540　 G#=G#+T#

1550　 K=K+1

1560　 A=A+1

1570　 B=B+1

1580　 C=C+1

1590 WEND

1600 G=G#

1610 RETURN

1620 '

1630 ' *** 合流型超幾何関数の連分数展開 ***

1640 '

1650 *CONFLUENT.HGF1:' 1F1(1,c,x)

1660 NZ=20

1670 G#=0

1680 'FOR ID=NZ TO 1 STEP -1

1690 ID=NZ

1700 WHILE ID>=1

1710　 EVEN#=ID/(C+2*ID-1)/(C+2*ID-2)

1720　 ODD#=-(C+ID-1)/(C+2*ID)/(C+2*ID-1)

1730　 G#=ODD#*Z/(1#+G#)

1740　 G#=EVEN#*Z/(1#+G#)

1750 ID=ID-1

1760 WEND

1770 'NEXT ID

1780 G#=-Z/C/(1#+G#)

1790 G#=1#/(1#+G#)

1800 RETURN

1810 '

1820 ' *** ガウス型超幾何関数の連分数展開 ***

1830 '

1840 *GAUSS.HGF1:' 2F1(a,1,c,x)

1850 NZ=20

1860 G#=0

1870 'FOR ID=NZ TO 1 STEP -1

1880 ID=NZ

1890 WHILE ID>=1

1900　 ODD#=-(A+ID-1)*(C+ID-2)/(C+2*ID-2)/(C+2*ID-3)

1910　 EVEN#=-ID*(C-A+ID-1)/(C+2*ID-1)/(C+2*ID-2)

1920　 G#=EVEN#*Z/(1#+G#)

1930　 G#=ODD#*Z/(1#+G#)

1940 ID=ID-1

1950 WEND

1960 'NEXT ID

1970 G#=1#/(1#+G#)

1980 RETURN

1990 '

2000 ' *** 対数ガンマ関数 (HASTINGSの多項式近似) ***

2010 '

2020 *LOG.GAMMA:

2030 A1#=-.577191652#

2040 A2#= .988205891#

2050 A3#=-.897056937#

2060 A4#= .918206857#

2070 A5#=-.756704078#

2080 A6#= .482199394#

2090 A7#=-.193527818#

2100 A8#= .035868343#

2110 X=Z:G#=0

2120 IF X<1 THEN G#=-LOG(X):GOTO 2150

2130 WHILE X>2:X=X-1:G#=G#+LOG(X):WEND

2140 X=X-1

2150 G#=G#+LOG(1+X*(A1#+X*(A2#+X*(A3#+X*(A4#+X*(A5#+X*(A6#+X*(A7#+X*A8#))))))))

2160 L.GAMMA=G#

2170 G=G#

2180 RETURN

　

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

　

　　ｄ　　　　　σ　　　　　　　２σ　　　　　　　３σ　　

　　1　　　　.682689　　　　　.954499　　　　　 .997300　　

　　2　　　　.393469　　　　　.864664　　　　　 .988891　　

　　3　　　　.198748　　　　　.738535　　　　　 .970709　　

　　4　　　　.090204　　　　　.593994　　　　　 .938900　　

　　5　　　　.037434　　　　　.450584　　　　　 .890935　　

　　6　　　　.014387　　　　　.323323　　　　　 .826421　　

　　7　　　 5.171463E-3　　　 .220222　　　　　 .747343　　

　　8　　　 1.751622E-3　　　 .142876　　　　　 .655770　　

　　9　　　 5.624972E-4　　　 .088587　　　　　 .562725　　

　　10　　　1.721156E-4　　　 .052653　　　　　 .467896　　

　　11　　　5.038994E-5　　　 .030082　　　　　 .378107　　

　　12　　　1.416493E-5　　　 .016563　　　　　 .297069　　

　　13　　　3.834734E-6　　　 .008808　　　　　 .227056　　

　　14　　　1.002379E-6　　　4.533805E-3　　　　.168949　　

　　15　　　2.535644E-7　　　2.262655E-3　　　　.122482　　

　　16　　　6.219690E-8　　　1.096718E-3　　　　.086586　　

　　17　　　1.481974E-8　　　5.170670E-4　　　　.059738　　

　　18　　　3.435490E-9　　　2.374473E-4　　　　.040257　　

　　19　　　7.759389E-10　　 1.063403E-4　　　　.026520　　

　　20　　　1.709670E-10　　 4.649807E-5　　　　.017092　　

　　30　　　1.461050E-17　　 3.871230E-9　　　 7.366052E-5

　　40　　　2.435465E-25　　 6.443731E-14　　　6.716488E-8

　　50　　　1.188185E-33　　 3.170786E-19　　　1.850098E-11

　　100　　 0　　　　　　　　0　　　　　　　　 1.833433E-34

　

　１次元であれば３σを外れる確率はわずか千に三つにすぎないのですが，高次元化に伴い次第に中心部は過疎化し，１０次元では半分以上が３σの郊外に移り住み，３０次元では９９％以上が裾の領域に集まるという結果になるのです．

　

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

　

【２】原点からの拡散が平均距離までに納まる確率

　

　ｄ次元正規分布において，原点からのユークリッド距離の確率分布は，χ^2分布の平方根分布であるχ分布になります．コラム「標的問題の解とχ分布」にはその導き方を紹介していますが，周辺分布がともに平均０，分散σ^2の正規分布となるｄ次元正規分布を極座標変換して，ｒとｒ＋ｄｒの間に落ちる確率を導きだします．

　

　とくに，自由度１のχ分布は，半正規分布：

　　f(x)=1/σsqr(2/π)exp(-x^2/2σ^2)

であり，この分布は期待値が０の正規分布：

　　f(x)=1/σsqr(2π)exp(-x^2/2σ^2)

をｙ軸で折り返した分布になっています．また，自由度２のχ分布はレイリー分布：

　　f(x)=x/σ^2exp(-x^2/2σ^2)

自由度３のχ分布はマクスウェル分布：

　　f(x)=2^(3/2)/σ^3x^2exp(-x^2/2σ^2)

と命名されています．また，自由度ｄのχ分布の平均値は

　　Γ（(d+1)/2)）/Γ（d/2）√(2)σ

で与えられます．

　

　この節では，原点からの拡散が平均距離までに納まる確率を求めてみることにしますが，ガンマ関数の漸近展開式（スターリングの公式）

　　Γ(t)=√(2π/t)t^texp(-t){1+1/(12t(+1/(288t^2)-139/(51840t^3)-571/(2488320t^4)+･･･}

より，

　　Γ（(d+1)/2)）/Γ（d/2）√2=√(d){1-1/(4d)+1/(32d^2)+5/(128d^3)-21/(2048d^4)-399/(8192d^5)+869/(65536d^6)+･･･}

と漸近展開されますから，ｄが大きい領域ではほぼ√(d)σまでに納まる確率に一致します．

　

　　　　　ｄ　　　平均距離　　　　　　ｄ　　　平均距離

　　　　　1　　　 .575062　　　　　　 13　　　.513665

　　　　　2　　　 .540061　　　　　　 14　　　.513124

　　　　　3　　　 .533050　　　　　　 15　　　.512642

　　　　　4　　　 .527316　　　　　　 16　　　.512210

　　　　　5　　　 .523730　　　　　　 17　　　.511818

　　　　　6　　　 .521238　　　　　　 18　　　.511463

　　　　　7　　　 .519383　　　　　　 19　　　.511137

　　　　　8　　　 .517937　　　　　　 20　　　.510838

　　　　　9　　　 .516769　　　　　　 30　　　.508756

　　　　　10　　　.515801　　　　　　 40　　　.507547

　　　　　11　　　.514983　　　　　　 50　　　.506730

　　　　　12　　　.514279　　　　　　 100　　 .504730

　

　いまのところ，再帰確率との間に明示的な関係は見いだせませんが，計算の結果，原点からの拡散が平均距離までに納まる確率は６０％から５０％で，この後単調に減少し，いずれ一定の値に収束するかのように見えました．

　

　　F(x)=(x/2)^(d/2)1F1(d/2,1+d/2,-x/2)/Γ(1+d/2)

　　　　=(x/2)^(d/2)exp(-x/2)1F1(1,1+d/2,x/2)/Γ(1+d/2)

において

　　x=2*{Γ((d+1)/2))/Γ(d/2)}^2　〜　d

とおいた値はｄ→∞のとき，はたして一定値に収束するのでしょうか？　　当該関数は単調減少関数で下限≧０なので，数学的には収束しますし，グラフを描くと極限値は０．５であろうと思われます．

　

　問題はその証明です．χ^2分布の分布関数は，

　　F(x)=γ(d/2,x/2)/Γ(d/2)=1-Γ(d/2,x/2)/Γ(d/2)

　　　　=(x/2)^(d/2)exp(-x/2)Σ(x/2)^k/(k+n/2)!

とも書けるのですが，スターリングの法則

　　Γ(1+d/2)=(d/2)!　〜　√(πd)(d/2)^(d/2)exp(-d/2)

あるいは，不完全ガンマ関数の漸近展開

　　Γ(a,x)=exp(-x)U(1-a,1-a,x)

　　　　　　〜　x^(1-a)exp(-x)2F0(1-a,1,-1/x)

　　　　　　=x^(a-1)exp(-x){1+(a-1)/x+(a-1)(a-2)/x^2+･･･}

　　　　　　=x^(a-1)exp(-x){1+O(1/x)}

を用いても最終収束値が０．５になることを示すことができませんでした．式の形をみる限り，何とか極限値の厳密解は求められそうな気はするのですが，・・・．

　

　酔歩が平均距離以内に滞在する確率が０．５に収束するといっても，インパクトは少ないでしょうが，これらが正方格子のパーコレーション閾値ｐc：０．５９３（サイト過程）と０．５（ボンド過程）の間に納まるといったらそうではないでしょう．これは単なる偶然なのでしょうか？　

　

　また，十分に次元の高い超立方格子のボンド過程では，

　　ｐc　〜　１／（２ｄ−１）

正方格子と単純立方格子のボンド過程の閾値は

　　ｐc　〜　１／（２ｄ−２）

で漸近近似されますが，これと再帰確率の漸近近似式

　　ｐd　〜　１／２（ｄ−１）

に何か関係があるに違いないと推測することは荒唐無稽なことなのでしょうか？

　

　以上のような数々の課題が残される結果となりましたが，これらについては引き続き検討していきたいと考えています．

　

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

　

【３】Wilson-Hilfertyの近似式

　

　「格子上の確率論」をめぐる一連のコラムでは，これまでいくつかの漸近評価式，たとえば，

　　ｕ2n　〜　２^(1-d)ｄ^(d/2)（πｎ）^(-d/2)

もっと正確には

　　ｕ2n　〜　２^(1-d)ｄ^(d/2)（πｎ）^(-d/2)[1-d/(8n)+(4d-3d^2+2d^3/(384n^2)+O(1/n^3)]

あるいは

　　ｐd　〜　1/(2d){1+1/d+7/(4d^2)+35/(8d^3)+215/(16d^4)}

などをみてきました．

　

　そこで，χ^2分布の分布関数：

　　F(x)=(x/2)^(d/2)exp(-x/2)1F1(1,1+d/2,x/2)/Γ(1+d/2)

において，ｄが十分に大きいとき，どのように漸近近似されるかを考えてみるのは自然な発想でしょう．

　

　前節でも述べましたが，式を展開すると，

　　F(x)=(x/2)^(d/2)exp(-x/2){1/Γ(1+d/2)+1/Γ(2+d/2)(x/2)+1/Γ(3+d/2)(x/2)^2+1/Γ(4+d/2)(x/2)^3+･･･}

　　　　=(x/2)^(d/2)exp(-x/2)Σ1/Γ(1+d/2+k)(x/2)^k

　ここで，スターリングの公式：

　　n!　〜　√(2πn)n^nexp(-n){1+O(1/n)}

を用いても，ｄに関するローラン級数展開のような便利な形には変形できそうにありません．不完全ガンマ関数：Γ(a,x)のｘ→∞に対する漸近展開式：

　　Γ(a,x)=x^(a-1)exp(-x)Σ(-1)^k(1-a)k/x^k

　　　　　 =x^(a-1)exp(-x){1+O(1/x)}

および，その連分数展開式はよく知られているのですが，・・・．

　

　しかし，打つ手がないわけではありません．χ^2分布では，簡便さと適当な精度をもつ近似関数がWilson-Hilfertyにより求められているのです．Wilson-Hilfertyは，自由度νのχ^2について，（χ^2/ν）^(1/3)が，平均値(1-2/9ν)，分散2/9νの正規分布で近似できることを示しました．したがって，

　　Φ(x)=1/2+1/√2πxexp(-x^2/2)1F1(1,3/2,x^2/2)

　　　　 =1/2+1/√2π{x-x^3/2･1!･3+x^5/2^2･2!･5-･･･+(-1)^(2k+1)x^(2k+1)/2^k･k!･(2k+1)+･･･}

に

　　x={(χ^2/d)^(1/3)-(1-2/9d)}/√{2/(9d)}

を代入すればｄに関するローラン級数展開が得られます．

　

　この近似関数を利用して計算するプログラムと計算結果を以下に示しますが，近似式とはいっても，相対誤差は％オーダーですから，実用的には十分な有効数字があります．

　

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

　

3000 DEFDBL A-H,J-Z

3010 FOR I=1 TO 20

3020 DF=I

3030 PRINT:PRINT DF

3040 C=1:UUX=C*C:GOSUB *CHI2.PROB:PRINT P0

3050 C=2:UUX=C*C:GOSUB *CHI2.PROB:PRINT P0

3060 C=3:UUX=C*C:GOSUB *CHI2.PROB:PRINT P0

3070 '

3080 Z=(1+DF)/2:GOSUB *LOG.GAMMA:G1#=G#

3090 Z=DF/2　　:GOSUB *LOG.GAMMA:G2#=G#

3100 C=EXP(G1#-G2#)*SQR(2):UUX=C*C:GOSUB *CHI2.PROB:PRINT P0

3110 NEXT I

3120 END

3130 '

3140 ' ** NORMAL DISTRIBUTION **

3150 '

3160 *NORMAL.PROB:

3170 AA1=.196854

3180 AA2=.115194

3190 AA3=.000344

3200 AA4=.019527

3210 W=ABS(UUN)

3220 P0=1+W*(AA1+W*(AA2+W*(AA3+W*AA4)))

3230 P0=P0^4

3240 P0=1-.5/P0

3250 P0=.5+(P0-.5)*SGN(UUN)

3260 PP=1-P0

3270 RETURN

3280 '

3290 ' ** CHI-SQUARE DISTRIBUTION **

3300 '

3310 *CHI2.PROB:

3320 AA1=2/(9*DF)

3330 AA2=UUX/DF

3340 W=AA2^(1/3)

3350 W1=W+AA1-1

3360 UUN=W1/SQR(AA1)

3370 GOSUB *NORMAL.PROB

3380 PP=1-P0

3390 RETURN

　

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ｄ　　　　　σ　　　　　　　２σ　　　　　　　３σ　　　　　　平均距離

1　　　　.681555　　　　　.957270　　　　　 .996913　　　　　 .569273

2　　　　.387574　　　　　.866939　　　　　 .988883　　　　　 .540086

3　　　　.196530　　　　　.739686　　　　　 .971316　　　　　 .530393

4　　　　.091143　　　　　.593105　　　　　 .939849　　　　　 .525393

5　　　　.039092　　　　　.448822　　　　　 .891882　　　　　 .522250

6　　　　.015907　　　　　.320934　　　　　 .827326　　　　　 .520047

7　　　　.006332　　　　　.218627　　　　　 .748232　　　　　 .518393

8　　　 2.531766E-3　　　 .142288　　　　　 .658165　　　　　 .517093

9　　　 1.035646E-3　　　 .088539　　　　　 .562235　　　　　 .516036

10　　　4.382970E-4　　　 .052826　　　　　 .467376　　　　　 .515154

11　　　1.929900E-4　　　 .030395　　　　　 .377027　　　　　 .514403

12　　　8.858393E-5　　　 .016998　　　　　 .295805　　　　　 .513755

13　　　4.237375E-5　　　 .009322　　　　　 .226141　　　　　 .513187

14　　　2.109001E-5　　　5.057111E-3　　　　.168482　　　　　 .512685

15　　　1.089753E-5　　　2.734290E-3　　　　.122296　　　　　 .512235

16　　　5.831338E-6　　　1.482940E-3　　　　.086497　　　　　 .511831

17　　　3.223235E-6　　　8.107520E-4　　　　.059667　　　　　 .511464

18　　　1.835813E-6　　　4.484581E-4　　　　.040217　　　　　 .511130

19　　　1.074900E-6　　　2.516119E-4　　　　.026557　　　　　 .510823

20　　　6.456170E-7　　　1.434266E-4　　　　.017237　　　　　 .510540

30　　　1.120323E-8　　　1.293484E-6　　　 1.797174E-4　　　　.508562

40　　　6.421157E-10　　 4.303265E-8　　　 3.649673E-6　　　　.507396

50　　　7.172079E-11　　 3.218466E-9　　　 1.723605E-7　　　　.506605

100　　 9.396650E-14　　 1.512470E-12　　　2.388288E-11　　　 .504656

　

　ここに掲げた計算結果は，この節で解説した方法で計算したものではなく，Hastingsの近似式を使って簡便に求めたものです．正規分布の分布関数を求めるための近似式は多数提案されていますが，なかでもHastingsの近似式はよく知られています．Hastingsの近似式と呼ばれるものには，もっと精度の良い関数近似もあるのですが，ここでは，それほど高精度ではない近似式を用いています．なお，

　　3370 GOSUB *NORMAL.PROB　→　3370 GOSUB *NORMAL.PROB.HGF

と変更すれば，解説どおりの計算となります．

　

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