■格子上の確率論
格子上のランダムウォークは，ブラウン運動などの拡散モデルとしてよく知られています．格子のモデルはブラウン運動の離散化とみなすことができるので，局所的にみると離散的過程であっても，大域的にみると連続空間に分布した連続的な要素のｄ次元ガウス分布とみることができます．
また，格子上のパーコレーションは連続空間での「つながり」を考える問題，たとえば，金属と絶縁体を乱雑に配置した物質中に金属がどれくらいの割合であれば電流が流れるか（金属=非金属転移）など実際の物理の問題にも利用されています．
ランダムウォークとパーコレーションの過程には，粒子が原点に戻るか否か，無限の彼方に到達するか否か，によって成否を判定するという共通点があります．今回は，格子上のランダムウォークとパーコレーションを取り上げて，確率論的解析を行った結果を示しますが，離散的な格子空間での振る舞いは，連続空間での振る舞いを理解する上で大変教育的ですし，また，低次元系・整然系での振る舞いは，高次元系・雑然系での振る舞いを予想するのに，きわめて示唆的な結果を与えてくれます．
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１）２次元格子
正多角形の中で平面をタイル張りのように隙間なく埋めつくすことができる平面充填形は３通りあり，正三角形，正方形，正六角形配置の３つだけです．このうち正方形のは碁盤，正六角形のは蜂の巣などでおなじみでしょう．それらの内部を除いた頂点と辺からなるグラフをそれぞれ「三角格子」，「正方格子」，「六角格子」と呼びます．また，三角格子と六角格子は互いに双対格子になっています．
１種類の正多角形を使った３通りのタイル張り（プラトンの平面充填形）はわかりましたが，それでは２種類以上の正多角形を使ったらどうでしょうか（アルキメデスの平面充填形）？ それを全部求めてみよといわれたらちょっと大変ですが，じつは，アルキメデスの平面充填形は全部で８種あります．
アルキメデスの平面充填形の例としては，同じ大きさの正３角形２個のうち，１個を天地逆転させ，もう１個の正３角形に重ねると，星形６角形ができます．これはダビデの星と呼ばれて，イスラエルの国旗にも使われ，ユダヤ人の象徴とされています．星形６角形では内側に正６角形ができますが，外側を６個の正３角形が取り囲んでいます．この星形６角形に対応するグラフが「カゴメ格子」です．カゴメ格子は正三角形と正六角形が互いに隣接した周期的な格子で，竹細工の篭の結び目にみられることからその名前が由来しています．カゴメ格子は，日本人が最も愛好した文様のひとつですが，ちなみにカゴメは世界でも通用する呼び名とのことです．
配位数 充填率
正方格子 ４ π／４＝．７８５４
三角格子 ６ √３π／６＝．９０６９（最密充填）
六角格子 ３ √３π／９＝．６０４６
カゴメ格子 ４ √３π／８＝．６８０２
【注】充填率とは，同じ大きさの球（２次元の場合は円板）を各格子点に配置し，最近接球同士が互いに接するようにしたとき，単位格子の体積に対して球が占める体積の比をいう．たとえば，点が正三角形配置したとき，格子の面積をｓとすれば，ｓ＝√３／４ｒ^2，また，格子には面積１／４πｒ^2の円が１／６×３＝１／２個割り当てられる関係になるから，充填率は√３π／６と計算される．充填率の値が最大値をとるのは，点が正三角形配置したときである．
また，配位数とは１個の球に何個の同じ大きさの球が接しているかを表している．どの隣接する２面も同じ色でないように，黒と白の市松模様に塗ることができるためには，配位数は偶数でなければならない．したがって，六角格子は市松模様にはならない．
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２）３次元格子
正多面体は正４・６・８・１２・２０面体の５種類あって５種類しかないことはプラトンの時代にはすでに見つけられていて，それらがプラトンの自然哲学で重要な役割を演ずるところから，正多面体はプラトンの立体（Platonic solod）とも呼ばれています．また，正多面体が１種類の正多角形（正３角形，正方形，正５角形）だけでできているのに対して，２種類以上の正多角形から構成されている立体が準正多面体で，プラトンの立体に対してアルキメデスの立体（Archimedean solid）とも呼ばれています．準正多面体は合計１６種あります．
正多面体の中では立方体だけ，準正多面体の中では切頂八面体（truncated octahedron）だけが空間を単独で埋めつくすことができます．それ以外の単独空間充填形となる多面体としては，平行六面体と菱形十二面体（rhombic dodecahedoron ），六角柱，長菱形十二面体（正６角形４枚と菱形８枚の２種類で作る１２面体）などの平行多面体があげられます．→【補】
ここで，立方格子をゆがめて，すべての辺の長さの等しい菱形体格子をつくってみましょう．平行六面体の体積は，スカラー三重積ａ↑・（ｂ↑×ｃ↑），すなわち，ベクトルａ↑と外積ｂ↑×ｃ↑の内積で与えられますから，辺ａ，ｂ，ｃが互いに６０°の角度をなすようにすると，平行六面体の体積は最小値
ｖ＝ｒ^3／√２
となります（ａ＝ｂ＝ｃ，α＝β＝γ＝６０°）．この配置を別の角度からみると，立方体の８個の頂点と６面の中心に点が配置されているところから，面心立方構造と呼ばれます．
また，ａ＝ｂ＝ｃ，α＝β＝γ＝１０９．４９°の場合，見る方向を変えれば，立方体の８個の頂点と中心に球を配置されていて，体心立方構造と呼ばれます．
面心立方構造，体心立方構造のウィグナー・ザイツセル（ボロノイ領域）をとると，それぞれ菱形十二面体，切頂八面体になり，これによって全空間を満たすことができるのです．
また，３次元空間格子（ブラーベ格子）は１４種類存在しますが，その中で立方対称性をもつものは，単純立方格子，体心立方格子，面心立方格子の３種類です．ダイヤモンド格子は格子定数を単位として(1/4,1/4,1/4)だけずれた２個の面心立方格子から成り立っています．立方対称ではなく，剛体球で満たされる体積も√３π／１６＝．３４０と小さいのですが，きわめて硬い結晶を構成します．→【補】
配位数 充填率
単純立方格子 ６ π／６＝．５２３６
対心立方格子 ８ √３π／８＝．６８０２
面心立方格子 １２ √２π／６＝．７４０５（最密充填）
ダイヤモンド格子 ４ √３π／１６＝．３４０１
【注】面心立方構造ではどの球にも１２個ずつの球が接します．体心立方構造ではどの球にも８個の球しか接しませんから，面心立方構造ほど密に詰め込んだ配置にはなっていません．
面心立方格子が最も密な球の充填方法だろうという予想は４００年近く前のケプラーまでさかのぼります．日常の経験からしても，同じ大きさの球の最も効果的な配置問題は自明なものと考えてしまいがちで，直感的に面心立方格子をなす場合が最大に詰め込んだ配置のように思えます．しかしだからといって，無限にある可能性をすべてひっくるめて証明したわけではないので，これは定理ではなく予想にすぎません．ランダムな配置まで含めると，空間充填率が７４．０４％よりも引き上げられるかもしれないからです．
現在，ケプラーの問題については大半の数学者がまず間違いないだろうと考え，すべての物理学者が当たり前だと思っているのですが，面心立方格子が３次元空間における最密充填構造だという証明にはまだ至っておらず，いまやケプラー予想はフェルマーの最終定理に取って代わる数学上の未解決問題になっているのです．
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３）非周期的格子
周期的な平面充填に対して，平行移動の周期がない非周期的平面充填についても多くの研究がなされています．現在のところ，１９７４年に，イギリスの数理物理学者ペンローズの発見した２種類の菱形を組み合わせて平面を隙間なく，かつ，非周期的に敷きつめるものが最も構成要素の少ないものです．ペンローズタイルと呼ばれるこの敷きつめかたは，局所的には正五角形のような５重の対称性がありますが，全体としては対称性をもちません．
ペンローズタイルの２種類の菱形とは，太った菱形（７２°，１０８°）とやせた菱形（３６°，１４４°）です．最小の内角は３６°であり，他の角はすべてその整数倍で，太めの菱形と細めの菱形の面積比は黄金比φになっています．また，１辺の長さを１とすると太めの菱形の対角線の長さはφ，細めの菱形の対角線の長さは１／φ，さらに，太めの菱形と細めの菱形の個数の比もφとなり，５回対称性のなかには黄金比
φ＝（√５＋１）／２
が潜んでいます．
【注】ペンローズ格子の平均配位数は４，充填率は
π（２−φ）／（φ＋１）√（３−φ）＝．３８９９
ときわめて小さいが，これは対角線の長さが１辺の長さよりも短いためである．ただし，この数値は小生が数表を用いずに手計算で求めた値であるから，信頼率は95%以下と思われる．
また，近年ではここで紹介した菱形の非周期的タイルをペンローズタイル（マッケイのタイルと呼ばれることもある）と呼ぶのが普通であるが，ガイドナーが「サイエンティフィック・アメリカン」で紹介したペンローズタイルとは，魚の尻尾みたいな凹四角形と凧形（凸四角形）の２つの構成要素からなるものを指す．この２つは星形五角形とその頂点を結んだ外側正五角形に含まれる７２°と１０８°の角の菱形を２分したものであって，２つの構成要素の面積比はφである．敷き詰めに必要なタイル比もφで，凸四角形の方を多く要する．この比が無理数であることが非周期性の基礎である．もしも周期性ならその比は明らかに有理数でなければならないからである．
ペンローズタイルと同様にして，２種類の菱面体（太った菱面体とやせた菱面体）でともに合同な菱形面をもつものを用いて，３次元を隙間なく埋める非周期的構造を作ることができます．
これら２種類の菱面体は，各面の菱形の対角線の長さの比が黄金比の黄金六面体です．黄金菱面体には２種類あり，細めで尖ったほうがacute ，太めで平たいほうがobtuse と呼ばれていますが，２つずつacute とobtuse が集まれば菱形十二面体，５つずつ集まれば菱形二十面体，１０個ずつ集まれば菱形三十面体となります．このうち，菱形二十面体と菱形三十面体は５重の対称軸をもっています．
また，やせた菱面体の辺は（７２°，１０８°），太った菱面体の辺は（３６°，１４４°）の角度で交わります．菱面体はゆがんだ立方体であり，６次元空間における超立方体の３次元空間への投影であるという説明がなされています．さらに，ペンローズのタイル貼りは，三次元空間を２種類の黄金菱面体で非周期的に埋めつくしたときの平面への投影図であり，５回対称性を２次元的に模似したものになっています．→【補】
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４）格子上のランダムウォーク（乱歩）
最初に，１次元格子の場合について知られていることをおさらいしておきましょう．粒子がｘ軸上の１次元格子
・・・，−３，−２，−１，０，１，２，３，・・・
の上を原点から出発し，時刻ｔ＝１，２，・・・ごとに確率ｐで正の方向に１，確率ｑ＝１−ｐで負の方向に１だけ移動する運動を１次元単純ランダムウォークといいます．
ｎステップにおける位置ｘnの平均と分散は，２項分布より，
Ｅ（ｘn）＝ｎε（ｐ−ｑ），Ｖ（ｘn）＝４ｎε2ｐｑ
ε（ｐ−ｑ）は１歩あたりの平均移動量と考えることができます．対称，すなわち，ｐ＝ｑ＝１／２の場合は
Ｅ（ｘn）＝０，Ｖ（ｘn）＝ｎε2
ところで，「ド・モアブル=ラプラスの定理」とは，
｛ｘn−Ｅ（ｘn）｝／√Ｖ（ｘn）
が正規分布で近似できることを示すものです．この定理は２項分布の正規近似ですが，中心極限定理の特別な場合にあたっていて，エーレンフェストのふるいという簡単な模擬実験を行うと視覚的にもそれを確認することができます．正規分布の１種の量子論的解釈と考えることもできましょう．→【補】
対称単純ランダムウォークでは両隣に等確率１／２でジグザグ移動するのですから，たとえば，コインを投げて表がでれば右へε，裏がでれば左へε進む人のモデルであって，この軌跡は酔っぱらいの彷徨（酔歩）だと比喩的にいわれています．「ド・モアブル=ラプラスの定理」から，ｎ回のステップののち，その人がｘ＝ｋεのところにいる確率は，ｎを十分大にすると平均０，分散σ2=ｎε2の正規分布Ｎ（０，ｎε2）に近づくことを示しています．
さらに，１次元対称単純ランダムウォークについては，「滞在確率の逆正弦則」がよく知られています．右，左へ進む確率はそれぞれ１／２ですから，原点の近くをウロウロし，右，左の領域に半分ずつ存在したと予測するのが常識的ですが，この常識は破られます．結論を先にいうと，実際にはどちらか片方にばかりにいる確率が大というのがこの法則なのです．
この人が原点より右にいる時間をｘ（左にいる時間を１−ｘ）とするとその確率密度は
f(x)=1/π･{x(1-x)}^(1/2)
であり，対応する累積分布関数は
F(x)=2/πarcsin(√x)
となります．その滞在確率の式中にアークサインが現れることから，「逆正弦則」という名で呼ばれます．
この分布の平均は１／２ですが，そこはＵ字型分布の谷底であり，一番確率が小さいところになっています．つまり，右，左の領域に半分ずついるのは，もっとも起こりそうにない事象なのです．この分布はｘが０または１に近いほど確率が高く０，１で発散する，ということは常にどちらか片側の領域にいることを意味しています．
このことより，この法則は，技量伯仲の２人が何回も勝負をするとき，勝ち負けの回数はほぼ同じであっても，勝負の累積点数は一方的なリードが続き，極端にかたよる場合が多いこと，すなわち，「運」なり「つき」なりの確率論的基礎にあたると考えているひともいます．いずれにせよ，常識とはかなり違った結果となるので興味深いものがあります．
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ここからはいよいよ佳境に入り，単純ランダムウォークの再帰性，すなわち，いつかは原点に戻る確率（再帰確率）について考察することにします．
非対称単純ランダムウォーク（ｐ≠ｑ）では，ｐ，ｑの大小によって右か左にずれる傾向があるはずで，非再帰的，すなわちｔ→∞のとき無限の彼方へいってしまうことが予想されます（実際そうなるのであるが，その証明は後述する）．そこで，ｐ＝ｑ＝１／２，すなわち対称単純ランダムウォークの場合を考えることにします．
原点に戻るのはｔが偶数の時に限られるので，２ｎステップのとき，左右に同じ回数ｎずつ移動する確率は
ｕ2n＝2nＣnｐ^nｑ^n
で与えられます．特に，対称（ｐ＝ｑ＝１／２）のときは，
ｕ2n＝2nＣn／２^(2n)
また，粒子が時刻２ｎではじめて原点に復帰する確率は
ｆ2n＝ｕ2(n-1)／２ｎ
で与えられます．この確率はカタラン数
Ｃn＝2nＣn／（ｎ＋１）＝１，２，５，１４，４２，・・・
を用いて，
ｆ2n＝Ｃ(n-1)／２^(2(n-1))
と表されます．（カタラン数のはじめの４項１，２，５，１４は初項１から始まって前項を３倍して１を引いたものに一致しますが，５項目以降は異なっています．）
再帰性を判定するのには，たとえば，粒子が出発した点にいる確率がｔ＝∞においても有限の値を示すときは再帰的，また，これは出発した点にいる確率をｔ＝０からｔ＝∞まで積算した量が無限大に発散するときは再帰的と定義できます．前者は強い意味の，後者は弱い意味の粒子の局在を表しています．すなわち，単純ランダムウォークが再帰的であるための必要十分条件は，
Σｕ2n＝∞
が成立することと考えられ，Σｕ2n＜∞のときは再帰しないとします．
ここで，ウォリスの公式によって，
ｕ2n＝2nＣn／２^(2n) 〜 （πｎ）^(-1/2)
が示されます．また，ゼータ関数
ζ（ｋ）＝Σ１／ｎ^k
はｋ≦１のとき発散し，ｋ＞１のとき収束しますから，１次元の対称単純ランダムウォークは再帰的であることがわかります．スターリングの公式を使っても同じ結果が得られます．→【補】
なお，１次元非対称単純ランダムウォークに対しては，まったく同じ方法で， ｕ2n＝2nＣnｐ^nｑ^n＝2nＣn／２^(2n)（４ｐｑ）^n
Σｕ2n＝（１−４ｐｑ）^(-1/2)＝１／｜ｐ−ｑ｜＜∞
すなわち，非再帰的という結果が得られます．
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引き続いて，１次元格子の代わりに多次元直交格子上の対称単純ランダムウォークを考えてみましょう．時刻０で平面上の原点から出発し，単位時刻ごとに正方格子の上下左右の４つの隣接点に等確率１／４で移動していくのが２次元対称単純ランダムウォーク，立方格子の６つの隣接点に等確率１／６で移動していく粒子の運動が３次元対称単純ランダムウォークです．
２次元対称単純ランダムウォークで，粒子が時刻２ｎに原点にいると確率は，４項分布において，それまで上下にそれぞれｋ回，左右にそれぞれｎ−ｋ回移動した確率ですから，ｉ＋ｊ＝ｎとして
ｕ2n＝１／４^(2n)Σ（２ｎ）！／（ｉ！）^2（ｊ！）^2
＝１／４^(2n)（2nＣn）^2 →【補】
〜 （πｎ）^(-1)
同様に，３次元対称単純ランダムウォークでは，６項分布において，ｉ＋ｊ＋ｋ＝ｎとして
ｕ2n＝１／６^(2n)Σ（２ｎ）！／（ｉ！）^2（ｊ！）^2（ｋ！）^2
＝2nＣn／２^(2n)Σ（ｎ！／３^nｉ！ｊ！ｋ！）^2
〜 Ｃ／ｎ^(3/2)
すなわち，２次元の対称単純ランダムウォークは再帰的であるのに対し，３次元対称単純ランダムウォークは非再帰的であるという結果が得られます．
一般に，ｄ次元対称単純ランダムウォークでは，最近接の２ｄ個の点に等確率１／２ｄで移動し，ｎ→∞のとき
Σｕ2n 〜 ２^(1-d)ｄ^(d/2)（πｎ）^(-d/2)
したがって，ｄ次元対称単純ランダムウォークは，確率１で出発点に戻れるだろうか？ という問いに対しては
ａ）ｄ≧３のときは非再帰的であって無限の彼方へいってしまう
ｂ）ｄ＝１，２のときは再帰的である（すべての道はローマに通ず）
ということを意味しています．しかし，再帰的とはいっても，いつかは原点に帰るということであって，その戻るまでの時間の期待値は∞です．これを零再帰的と呼び，戻れるとはいっても戻りづらいことがわかります．
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正方格子のとき，再帰的であることが示されましたが，その他の２次元格子ではどうでしょうか？ 結論だけをいうと
正方格子 ｕ2n 〜 （πｎ）^(-1)
三角格子 ｕ2n 〜 √３／２（πｎ）^(-1)
六角格子 ｕ2n 〜 ３√３／２（πｎ）^(-1)
カゴメ格子 ｕ2n 〜 ２√３／３（πｎ）^(-1)
すなわち，再帰的ということになります．これらの結果は，斜交座標を導入すると直交座標と同一視できることから得られますが，詳細については，志賀徳造「ルベーグ積分から確率論」共立出版を参照されたい．
ここで，正方格子の
ｕ2n 〜 （πｎ）^(-1)
の１という係数は，配置の仕方に関係するものですが，いかなる２次元格子の点であっても，一般的に
ｕ2n 〜 ｑ（πｎ）^(-1)
の形で書くことができそうです．
ｑ値が大きいほど再帰しやすいと考えられますが，最後に，ｑ値と配位数の関係をまとめておきます．移れる点の数が多いほど再帰しにくくなることが直感的にも理解されます．
ｑ値 配位数 充填率
正方格子 １ ４ π／４
三角格子 √３／２＝０．８６ ６ √３π／６
六角格子 ３√３／２＝２．５９ ３ √３π／９
カゴメ格子 ２√３／３＝１．１５ ４ √３π／８
配位数６の三角格子は再帰的，配位数６の立方格子は非再帰的であることはわかりましたが，それでは配位数４のダイヤモンド格子の場合はどうなるでしょうか？ ダイヤモンド格子の次元は三次元であっても，配位数は４であり，三角格子の６よりも少ないのですが，・・・
いくら配位数が小さいといっても，三次元では高層ビルのような構造になるので，同じ階に戻ることはあっても，なかなか原点までたどり着けないものと直感されます．また，前節では，最も証明しやすい図形（直交格子）についての結果を示しましたが，大切なのは空間の次元であって，再帰性では次元がものをいうことが理解されます．この問題の場合も，射影によって３次元図形が２次元図形に変換できない限り，格子の形を変えたところで結果は同じはずです．そうでないと連続的なモデル（ブラウン運動）の再帰性と矛盾するからです．
しっかり検証したわけではありませんが，任意の３次元格子の場合も，２次元格子の場合と同様に，
ｕ2n 〜 ｑ（πｎ）^(-3/2)
となること，すなわち非再帰的であろうと予想されます．正否は如何に？
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５）格子上のパーコレーション（浸透）
パーコレーションとは，つながりの世界を科学するもので，つながりが問題となる最も身近なものは囲碁であろうかと思われます．そこで，碁盤の目（正方格子の格子点）に石をランダムにおき，その石のつながり方を考えてみましょう．石の置かれている割合ｐが大きいと，上下または左右方向の隣り合った石同士が繋がって，石はひとつの大きなクラスターを形成します．そして，ある値ｐcを超えると端から端まで繋がったクラスターが出現するようになります．ｐcを臨界浸透確率といいます．
また，パーコレーションでは頂点をサイト，辺をボンドといいます．上で述べたような形でクラスターを構築する過程をサイト過程，また，格子点ではなくて辺を互いに結ぶことによってクラスターを作る過程をボンド過程と呼びます．両者に本質的な違いはなく，ボンド過程は，ボンドが格子点となるような格子を考えると，容易にサイト過程に変換されます．たとえば，正方格子のボンド過程は三角格子のサイト過程と，六角格子のボンド過程はカゴメ格子のサイト過程と等価です．
１次元格子では１カ所でも切れると両端はつながらなくなるので，ｐc＝１となるのは自明のことです．しかし，２次元格子，３次元格子の臨界浸透確率ｐcの厳密解はいくつかの例外を除き求めることができません．多くの場合，コンピュータシミュレーションによって求められています．
配位数 サイト過程 ボンド過程
正方格子 ４ ．５９３ ．５
三角格子 ６ ．５ ．３４７＝2sin(π/18)
六角格子 ３ ．６９６ ．６５３＝1-2sin(π/18)
カゴメ格子 ４ ．６５３ ．４４９
ペンローズ ４ ．５８４ ．４７７
上の数表は，小田垣 孝「パーコレーションの科学」裳華房より引用しました．このように，ボンド過程のほうが臨界浸透確率ｐcは小さい値を示しますが，それはボンド過程が回路の配線数が多くなったサイト過程と考えることができるからです．
以上の結果から，ビンゴゲーム（正方格子のサイト過程）では，およそ６０％ヒットしたところでビンゴとなる人数が最大となるように振る舞うし，囲碁を面白くしているひとつの理由として，黒石と白石を交互にでたらめに並べていくと，どちらの石の割合もｐc以下だから，どちらも両端を結ぶようなつながりをつくることがないためであるとも理解されます．
さらに，格子上のパーコレーションの理論を連続系に敷衍することによって，地球上の海面の割合が６０％くらいあれば，海面がすべて繋がっていると予想することができます．１５１２年から１５２２年にかけて，マゼランは世界一周でそれを実証しましたが，地球上の海と陸の比は７：３ですから，陸路のみでの世界一周は達成できなかったでしょう．
また，３次元格子における臨界浸透確率ｐcは以下のようになります．一般的にいって，２次元より３次元の方が配位数が多くなりますから，ｐcは小さい値を示します．
配位数 サイト過程 ボンド過程
単純立方格子 ６ ．３１２ ．２４９
対心立方格子 ８ ．２４６ ．１７９
面心立方格子 １２ ．１９８ ．１１９
ダイヤモンド格子 ４ ．４２８ ．３８８
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格子空間での振る舞いは連続空間での振る舞いを理解する上で，きわめて示唆的です．臨界浸透確率は格子構造が決まれば決定される物性量ですが，格子上の過程で得られた結果から，格子の形によらない不変量（invariant）を求めてみることにします．
格子の配位数ｚが同じでも臨界浸透確率は異なっています．そこで，充填率との関係でみてみると，サイト過程の臨界浸透確率ｐcと充填率ｆの積がほぼ一定となることが実際に確かめられます．
ｆｐc＝０．４５±０．０３ （２次元サイト過程）
ｆｐc＝０．１６±０．０２ （３次元サイト過程）
つまり，２次元では大体４５％（臨界浸透面積分率），３次元では大体１６％（臨界浸透体積分率）くらい円板または球で占められていると互いに接した球がパーコレートする，すなわち球の繋がりが無限に広がることになります．この臨界浸透面積分率Ａcや体積分率Ｖcは空間の次元のみで決まる量であり，次元不変量と呼ばれています．
これらの値は格子状のサイト過程から推測されたものですが，格子の構造によらずほぼ一定であり，したがって，円板または球の幾何学的な配列にはあまり依存しないものと期待されます．
また，規則的な配置の空間充填率は，理論的に計算することができますが，球がある限られた空間内に乱雑に配置された状態では，理論的には計算できず実測にたよることになります．たとえば，乱雑配置の場合，接触数の平均は約８．５，空間充填率は約６３．６％という実測値が求められています．
０．６３６ｘ＝０．１６
したがって，球をランダムに詰めたいわゆるランダムパッキングでは充填率がおよそ０．６３６であり，球のうち２５％以上がつながりを作れば無限にパーコレートした道筋ができるはずですが，この値は，実際の金属=非金属転移が起こる割合（２２〜２７％）とよく一致しています．
一方，ボンド過程では臨界浸透確率ｐcと配位数ｚの積がほぼ一定値をとることが知られています．
ｚｐc＝２．０±０．２ （２次元ボンド過程）
ｚｐc＝１．５±０．１ （３次元ボンド過程）
つまり，２次元格子ではひとつの格子点から平均２本の配線，３次元格子では平均１．５本の配線がでていればパーコレートすることを意味しています．これらはひとまとめにして，
ｚｐc＝ｄ／（ｄ−１） （ｄ次元ボンド過程）
と書くことができます．
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【参考文献】
１）志賀徳造「ルベーグ積分から確率論」共立出版
２）小田垣 孝「パーコレーションの科学」裳華房
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【補】２次元・３次元格子状配置のディリクレ領域
はじめに点の分布（母点）があって，隣り合った２点を結ぶ線分の垂直二等分線を次々に引いていくことによりできる多角形パターンは，ディリクレ領域またはボロノイ領域と呼ばれる．この概念は，はじめディリクレによって２次元で提出され（１８５０年），その後，ボロノイによって３次元に拡張された（１９０８年）．研究分野によりいろいろな呼び名が使われていて，たとえば，地理学分野ではティーセン多角形と呼ばれているし，物性物理学分野では，ウィグナー・ザイツセルという呼び名が用いられている．細胞（セル）の図と非常に似ているためであろう．
１次元格子は直線上に等間隔に並んだ点の集合であり，すべての１次元格子は点の間隔が違うだけで，本質的には同じものである．しかし，２次元格子には基本的な種類が２つある．ひとつは等間隔に並んだ横列の各点の真上に他の横列の点があるもので，もうひとつは横列の点を水平方向にずらしたものである．すなわち，２次元格子の形は平行四辺形（正方形，長方形，菱形を含む）になるが，その格子点の各点に対して垂直二等分線を引くと，すべて合同なディリクレ領域ができる．
また，どのような２次元格子であっても，そのディリクレ領域は４角形あるいは６角形になる．無限に多くの２次元格子があるが，その対称性を考えると，本質的な配置は，正方形，長方形，菱形，二等辺三角形あるいは正三角形を２つ貼り合わせた平行四辺形状配置の５つしかない．それに対応するディリクレ領域も，正方形，長方形，切頂菱形（ソロバン珠型），長６角形（亀甲型），正６角形の５種類に限られることになる．
ディリクレ領域の概念は３次元にも一般化できる．２次元格子は５種類だったが，３次元格子には１８４８年にブラーベが発見した１４種類ある．そして，これから決まる本質的なディリクレ領域は，ロシアの結晶学者フェドロフの見つけた５種類の平行多面体−−立方体，６角柱，菱形１２面体，長菱形１２面体（正６角形４枚と菱形８枚の２種類で作る１２面体），切頂８面体−−しかない．
平行多面体とは，平行移動するだけで３次元空間を埋めつくすことのできる単独の多面体であって，６角柱，菱形１２面体は４次元立方体，長菱形１２面体は５次元立方体，切頂８面体は６次元立方体を３次元空間に投影したものと一致している．平行多面体は結晶構造と深く関係していて，それぞれ，単純立方格子，六方格子，面心立方格子，底心格子（直方体の８個の頂点と上面・下面の面の中心に原子が配置されている構造），体心立方格子に対応するものであろう．これら５種類の図形は５種類の正多面体（プラトン立体）ほどよく知られていないが，少なくとも同じ程度に重要であると考えられる所以である．
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【補】結晶の対称性の群
さらに，平行移動だけでなく，点中心の回転や直線に関する鏡映も考えてみよう．平面上での等長変換は，平行移動，回転，鏡映，すべり鏡映，恒等変換の５種類あり，また，２次元結晶の回転角は，６０°・９０°・１２０°・１８０°・２４０°・２７０°・３００°しかないことを考察することにより，２次元格子で異なる対称性をもつものは１７種類存在することがわかる．この１７種類の対称性は，２次元結晶群としてとらえることができる．（フェドロフ）
また，空間での等長変換は，平行移動，回転，並進回転，鏡映，すべり鏡映，回転鏡映，恒等変換の７種類であるから，３次元結晶群は２１９種類存在し，その多くが結晶構造として自然界にも存在している．結晶をテーマとする物理の本には，たいてい３次元結晶群の数は２３０種類存在すると書かれてあるが，変換が向きを保たないものは異なるものと数えているからである．（フェドロフ）
これらの事実の証明は非常に困難であり，これ以上追求しないことにするが，とくに３次元の格子状配置は，１９世紀の初めから，結晶内の原子の配列を記述するのに使われてきたものであり，対称性の群の分類についての仕事の大半は１９世紀の結晶学者によってなされたこと，４次元のブラーベ格子は６４種類（７４種類：１０組は対掌体の関係にある）あり，４次元のフェドロフ結晶群は４７８３種類（４８９５種類）存在することを付記しておく．
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【補】拡散過程と正規分布
静かな水面にインクを一滴たらすとインクで染められた部分がどんどん拡散していきますが，この濃度分布は，正規分布
f(x)=1/√2πσexp(-(x-μ)^2/2σ^2)
においてσ^2を時間ｔに置換した式
p(t,x)=1/(2πt)^(1/2)exp(-(x-μ)^2/t)
であって，p(t,x)は熱伝導の偏微分方程式
dp/dt=1/2･d^2p/dx^2
の基本解にもなっています．
この密度関数はインク分子が一定時間内に移動する距離の確率分布として用いられますが，ここで，1/(2πt)^(1/2)は１次元ブラウン運動，1/(2πt)^(d/2)はｄ次元ブラウン運動が時刻ｔのとき原点にいる確率ですから，その定積分値
∫(1,∞)dt/(2πt)^(d/2)
は時刻１から先で原点に滞在する確率と考えられます．この定積分値はｄ＝１，２で∞，ｄ≧３のとき有限であることからも，ｄ次元ブラウン運動の再帰性が導かれます．
正規分布はガウス分布とも呼ばれ，歴史的にはド・モアブルが誤差のモデルとして導き，のちにラプラスとガウスが最小２乗法との関連で，それぞれ同じ曲線を再発見したといわれています．また，観測値の誤差が小さな多数の誤差の素から成り立っているという考え方を最初に示したのは，ヤングであるといわれていますが，ヤングのあとハーゲンらは，この考え方を基礎にして正規分布を，ハーゲンのモデル，すなわち，たくさんの微小量がランダムに組み合わさったときに現れる一般的な誤差の分布関数として導きだしました．また，
p(t,x)=1/(2πt)^(1/2)exp(-(x-μ)^2/t)
からは，ランダムな様子を目に浮かべることは不可能ですが，測定時間は連続量ですから，離散的な２項分布よりも連続的な正規分布にしておくほうが，いろいろな目的にとってはるかに適していると考えられます．
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【補】５回対称性
じつは，結晶学の常識では，原子が周期的に配列した結晶物質では２重，３重，４重，６重の対称性しか許されないというのが鉄則・大前提になっていました．なぜ５重，７重，８重などの対称が結晶に存在し得ないかは正五角形は平面を埋めつくすことができないことから容易に理解されるところです．３次元では５回対称軸をもつ正五角形の役割を正１２面体や正２０面体が果たしますが，正五角形が平面充填形でないのと同様に正１２面体・正２０面体は空間充填形ではありません．
ところが，１９８４年に５重の対称性を示す物質（アルミニウムとマンガンの人工合金）がアメリカのシェヒトマンによって発見され，結晶学の根底は揺るがされ，この大前提は覆されました．それはあたかも誰かが５角形の雪の結晶を発見したような事件であったのです．この物質はペンローズのタイル貼りと密接に関係していて，ペンローズが始めた５重の対称性をもつ敷きつめを３次元空間に一般化したものであり，ある規則性をもちながら周期配列をしないことから，準周期的結晶，あるいは簡単に準結晶と呼ばれます．
最近まで，結晶とアモルファスの両方の物質の状態を共有しそのどちらでもない新しい状態があると思っている人はごく少なかったのですが，この準結晶は両方の性質をもっています．すなわち，５回対称性は＜物質の新しい状態＞を示しているのです．
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【補】ウォリスの公式とスターリングの公式
ベータ関数は，
B(a,b)=∫(0,1)t^(a-1)(1-t)^(b-1)dt
によって定義されます．この式を一般化すると，
∫(a,b)(x-a)^m(b-x)^ndx=m!n!/(m+n+1)!(b-a)^(m+n+1)
が得られます．これらは受験参考書に必ず書いてある
∫(a,b)(x-a)(x-b)dx=-1/6(b-a)^3
∫(a,b)(x-a)(x-b)^2dx=1/12(b-a)^4
という公式の一般化になっています．
Γ(1/2)＝√π
を得るにはベータ関数が用いられます．この関数において
t=sin2θ
とおくと
dt=2sinθcosθdθ
ですから
B(a,b)=∫(0,1)t^(a-1)(1-t)^(b-1)dt
=2∫(0,π/2)sin^(2a-1)θcos^(2b-1)θdθ
ここで，a=1/2,b=1/2とすると
B(1/2,1/2)=2∫(0,π/2)dθ=π
Γ2(1/2)/Γ(1)=π，Γ(1)=1ですから
Γ(1/2)＝√π
となります．
1/2B(1/2,(n+1)/2)=∫(0,π/2)(sinθ)^ndθ
この値をＳnとおくと，部分積分により漸化式
Ｓn=(n-1)/nＳn-2
が得られますから，
n=2k（偶数）なら1･3･･･(2k-1)/2･4･･･(2k)*π/2
n=2k+1（奇数）なら2･4･･･(2k)/1･3･･･(2k+1)
これより，
1･3･･･(2k-1)/2･4･･･(2k) 〜 （πｋ）^(-1)
変形するとウォリスの公式
(2n)!/(2^nn!)^2 〜 （πｎ）^(-1)
が得られます．
”〜”記号は漸近的に等しい，すなわちｎが十分大きいとき両者の比が１に近づくという意味であって，両者の差がなくなるという意味ではありません．いいかえれば，この近似式の絶対誤差はｎの増大とともに増大するが，相対誤差は減少する，つまり，左辺と右辺の比はｎを∞にすると極限が存在して０でも無限大でもなく，１に収束するということです．
また，ウォリスの公式より，次のスターリングの公式が導かれます．
n! 〜 √(2πn)n^nexp(-n)
スターリングの公式は，階乗ｎ！の近似値を与える公式として有名で，階乗の一般化であるガンマ関数の近似値としても使われています．
Γ(x+1)=∫exp(-t)t^xdt 〜 √(2πx)x^xexp(-x)
スターリングの公式は２項分布の正規分布への収束を示すド・モアブル=ラプラスの定理の証明などにも用いられますが，この定理は中心極限定理の特別な場合に相当しています．
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【補】階乗や２項係数を含む級数
ここでは，nＣkのことを(n,k)を書くことにする．階乗や２項係数などを含んだ有限和では，たとえば
Σ(n,k)=2^n
次数ｎの２項係数の和は2^nであるという有名な（古い？，由緒ある？）恒等式がある．これは，パスカルの三角形
Σ(n,k)p^kq^(n-k)=(p+q)^n
において，ｐ＝１，ｑ＝１とおくことにより簡単に導かれる．
２項係数の２乗の和も非常に簡単である．
Σ(n,k)^2=(2n,n)
（証明）文字１，２，・・・，ｎからｋ個の文字の選び方は(n,k)通り．
文字ｎ＋１，ｎ＋２，・・・，２ｎからｎ−ｋ個の文字の選び方は(n,n-k)通り．
したがって，そのような対の選び方は(n,k)(n,n-k)=(n,k)^2通り．
一方，２ｎ個の文字１，２，・・・，２ｎからｎ個の文字の選び方は(2n,n)通り．各ｋに対する上の対の選び方は１対１に対応しているから，その和Σ(n,k)^2は(2n,n)に等しい．
では，３乗の和はどうなるのであろうか？
Σ(n,k)^3=？
実は，これには単純な公式のないことが証明されている．
比較的有名な有限級数をあげておくと，
Σ(-1)^k(n,k)=0
Σk(n,k)=n2^(n-1)
Σ(2n-2k,n-k)(2k,k)=4^n
また，有名ではないが，次のようにゼータ関数に帰着する無限級数も知られている．
Σ1/(2n,n)={2π√3+9}/27
Σ1/n(2n,n)=π√3/9
3Σ1/n^2(2n,n)=ζ（2）
12Σ(2-√3)^n/n^2(2n,n)=ζ（2）
5/2Σ(-1)^(n-1)/n^3(2n,n)=ζ（3）→【補】
さらに，
36/17Σ1/n^4(2n,n)=ζ（4）
と予想されているが，この式は解析的には未証明である．
もし，ζ（4），ζ（5），・・・が，Σ1/n^k(2n,n)あるいはΣ(-1)^(k-1)/n^k(2n,n)の有理数倍になっているとしたら，そして，その明示的な公式を得ることができたら，夢のような話であろう．小生も
36/17Σ1/n^4(2n,n)=ζ（4）
に挑戦してみて，数値的には等しいこと，解析的には左辺，右辺ともに超幾何関数に還元されるところまではわかったが，等式の証明には至らなかった．→【補】
（試行錯誤過程）
(2n,n)の漸化式は
(2n,n)=(2n)!/n!n!=2(2n-1)/n(2(n-1),n-1)
であり，したがって，
n^4(2n,n)=2(2n-1)n^3(2(n-1),n-1)
=2(2n-1)n^3/(n-1)^4*(n-1)^4(2(n-1),n-1)
なる漸化式が得られる．ここで，Σ1/n^4(2n,n)が第０項から始まるようにパラメータをずらすと，
Σ1/(n+1)^4(2(n+1),n+1)
この級数の項比は
ａn+1ｘn+1/ａnｘn=(n+1)^5/2(2n+3)(n+2)^2*x/(n+1)
であるから，
Σ1/(n+1)^4(2(n+1),n+1)=ａ0*5Ｆ4(1,1,1,1,1|1/4)
(3/2,2,2,2| )
また，ａ0=1/2より
Σ1/(n+1)^4(2(n+1),n+1)=1/2*5Ｆ4(1,1,1,1,1|1/4)
(3/2,2,2,2| )
これより，級数Σ1/n^4(2n,n)は超幾何級数であると同定される．
一方，ゼータ関数は
ζ（s）＝Σ1/(n+1)^s
より
ａn+1ｘn+1/ａnｘn=(n+1)^(s+1)/(n+2)^s*x/(n+1),ａ0=1
したがって，
ζ（s）＝s+1Ｆs(1,1,･･･,1,1|1)
(2,2,･･･,2 | )
と表される．ｓ＝４とおくと，
ζ（4）＝5Ｆ4(1,1,1,1,1|1)
(2,2,2,2 | )
以上より，与式の両辺は同じ形の超幾何関数5Ｆ4になるところまではわかったものの，これから先が一向に進まない．
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【補】超幾何関数
ガウスは，１８１２年に超幾何級数
Ｆ（α，β，γ：ｘ）＝１＋αβ／γｘ＋1/2!α（α＋１）β（β＋１）／γ（γ＋１）ｘ^2＋1/3!α（α＋１）（α＋２）β（β＋１）（β＋２）／γ（γ＋１）（γ＋２）ｘ^3＋・・・
について非常に詳細な研究を行っていたことで知られています．この形の超幾何関数はガウスの超幾何関数と呼ばれ，
2Ｆ1(α，β；γ：ｘ）
で表されます．
この級数が重要なのは，多くの既知の関数がこの級数で表されるという事実で，たとえば，
ｌｏｇ（１＋ｘ）＝ｘ2Ｆ1（１，１；２：−ｘ）
（１＋ｘ）^n＝2Ｆ1（-n，β；β：ｘ）
があげられます．
また，
Ｆ（α；γ：ｘ）＝１＋α／γｘ＋1/2!α（α＋１）／γ（γ＋１）ｘ^2＋1/3!α（α＋１）（α＋２）／γ（γ＋１）（γ＋２）ｘ^3＋・・・
の場合を合流形超幾何関数（またはクンマーの超幾何関数）と呼び，
1Ｆ1(α；γ：ｘ）で表されます．
一般に，Ｆ（ｘ）＝Σａnｘnとおくと，ａ0=1で連続する２項の係数比
ａn+1／ａn
が定数となる関数を超幾何関数と呼びます．
超幾何関数はもっと一般化することが可能でp個の上部パラメータとq個の下部パラメータを有する超幾何関数は
pＦq(a1,a2,･･･,ap;b1,b2,･･･,bq;x)と表されます．
ａn+1ｘn+1/ａnｘn=(n+a1)(n+a2)･･･(n+ap)/(n+b1)(n+b2)･･･(n+bq)x/(n+1)
すなわち，超幾何関数は，項比が有理関数
ａn+1ｘn+1/ａnｘn=p(n)/q(n)x/(n+1)
であるような級数にほかなりません
なお，指数関数，対数関数，三角関数，２項関数，ベッセル関数，直交多項式列，不完全ガンマ関数，指数積分，ガウスの誤差関数なども超幾何級数であって，超幾何関数は一般に収束半径１をもちます．
ちなみに，
Σ1/(2n,n)=1/2*2Ｆ1(2,1|1/4) ガウス型超幾何関数
(3/2| )
Σ1/n(2n,n)=1/2*1Ｆ1(2 |1/4) 合流型（クンマー型）超幾何関数
(3/2| )
Σ1/n^2(2n,n)=1/2*3Ｆ2(1,1,1|1/4)
(3/2,2| )
Σ(-1)^(n-1)/n^3(2n,n)=1/2*4Ｆ3(1,1,1,1|-1/4)
(3/2,2,2 | )
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【補】ゼータ関数
オイラーの無限級数和Σ１／ｎ^s はｓの関数とみるとき，ゼータ関数ζ（ｓ）として知られており，ゼータ関数
ζ（ｓ）＝１／１S ＋１／２S ＋１／３S ＋１／４S ＋・・・
は調和級数
ζ（１）＝１／１＋１／２＋１／３＋１／４＋・・・＝∞
を一般化したものと考えることができます．
ゼータ関数を用いると
１／１2 ＋１／２2 ＋１／３2 ＋１／４2 ＋・・・＝π2 ／６＝ζ（２）
と表されます．以下，ζ（４）＝π4 ／９０，ζ（６）＝π6 ／９４５が続きますが，ｓが偶数のときのオイラー級数は一般式で表すことができ，有理数部分にはベルヌーイ数が重要な役割を果たしています．
オイラーはπに関連したいろいろな級数展開式をどっさり発見していて，＋，−が交互に出現すると
１／１2 −１／２2 ＋１／３2 −１／４2 ＋・・・＝π2 ／１２
１／１4 −１／２4 ＋１／３4 −１／４4 ＋・・・＝７π4 ／７２０
一般式は＝{1-2^(1ｰs)}ζ（ｓ）
分母を奇数の偶数ベキ乗だけにすると
１／１2 ＋１／３2 ＋１／５2 ＋１／７2 ＋・・・＝π2 ／８
１／１4 ＋１／３4 ＋１／５4 ＋１／７4 ＋・・・＝π4 ／９６
一般式は＝{1-2^(ｰs)}ζ（ｓ）
分母を奇数の奇数ベキ乗だけにし，さらに交代級数にすると
１／１3 −１／３3 ＋１／５3 −１／７3 ＋・・・＝π3 ／３２
１／１5 −１／３5 ＋１／５5 −１／７5 ＋・・・＝５π5 ／１５３６
一般式はオイラー数を含む式で表すことができる
などもオイラーによるものであり，ここで紹介したものはごく一部にすぎません．
また，ここで，
Ｌ(s,χ)＝Σχ(n)／ｎ^s
とおき，ディリクレのＬ関数と呼びます．ディリクレのＬ関数はリーマンのゼータ関数を一般化したものになっています．
たとえば，数列｛χ(n)｝を｛χ(n)｝＝｛１，１，１，１，・・・｝とすると，
１／１2 ＋１／２2 ＋１／３2 ＋１／４2 ＋・・・＝π2 ／６
１／１4 ＋１／２4 ＋１／３4 ＋１／４4 ＋・・・＝π4 ／９０
はそれぞれＬ(2,χ)＝π2 ／６，Ｌ(4,χ)＝π4 ／９０という公式ですし，また，｛χ(n)｝＝｛１，−１，１，−１，・・・｝では，Ｌ(1,χ)＝ｌｏｇ２，すなわち，
１／１−１／２＋１／３−１／４＋・・・＝ｌｏｇ２
χ(0 mod 4)=0,χ(1 mod 4)=1,χ(2 mod 4)=0,χ(3 mod 4)=-1についてのディリクレのＬ関数
１／１−１／３＋１／５−１／７＋１／９−・・・＝π／４
１／１3 −１／３3 ＋１／５3 −１／７3 ＋・・・＝π3 ／３２
はＬ(1,χ)=π／４，Ｌ(3,χ)=π3 ／３２
１／１−１／２＋１／４−１／５＋１／７−１／８＋・・・＝π／３√３
はｍｏｄ３
１／１−１／３−１／５＋１／７＋１／９−１／１１−１／１３＋１／１５＋（正負は８ごとに繰り返す）・・・＝１／√２ｌｏｇ（１＋√２）
はｍｏｄ８についてのディリクレのＬ関数と総称される一群の関数の値についての公式なのです．
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【補】有名なオイラーと無名の数学者アペリの証明
素数が無限にあることは
ζ（1）＝１／１ ＋１／２ ＋１／３ ＋１／４ ＋・・・＝∞
であることを用いて，簡単に証明することができます．
（証明）
ゼータ関数ζ（ｓ）は次のように書き換えることができます．
ζ（ｓ）＝１／１^s ＋１／２^s ＋１／３^s ＋１／４^s ＋・・・
＝（１＋１／２^s ＋１／４^s ＋１／８^s ＋・・・）（１＋１／３^s ＋１／９^s ＋・・・）（１＋１／５^s ＋・・・）・・・
＝１／（１−２^(-s)）・１／（１−３^(-s)）・１／（１−５^(-s)）・１／（１−７^(-s)）・・・
＝Π（１−ｐ^(-s)）^(-1) （但し，ｐはすべての素数を動く．）
１＋ｘ＋ｘ2 ＋ｘ3 ＋・・・＝１／（１−ｘ）
にｘ＝１／ｐ^s を代入したものを，Π（１−ｐ^(-s)）^(-1)に代入して積を展開すると，自然数の素因数分解の一意性から，ζ（ｓ）＝Σ１／ｎ^s となることがおわかりいただけるでしょうか．
この式の右辺は，すべての素数にわたる無限積であり，このような関係から，自然数全体についての和ζ（ｓ）＝Σ１／ｎ^s の話が素数全体についての積Π（１−ｐ^(-s)）^(-1)の話になります．Π（１−ｐ^(-s)）^(-1)はオイラー積と呼ばれ，ゼータ関数と素数の間をつなぐ式になっています．
調和級数１／１＋１／２＋１／３＋・・・は，オイラー積表示するとΠ（１−１／ｐ）^(-1)と書けますから，
Π（１−１／ｐ）^(-1)〜∞．
また，ｌｏｇΠ（１−１／ｐ）＝Σｌｏｇ（１−１／ｐ）．１／ｐが非常に小さいとき，マクローリン展開より，Σｌｏｇ（１−１／ｐ）〜−Σ（１／ｐ）ですから，Σ（１／ｐ）＝∞になります．したがって，すべての素数の逆数の和は発散することが示されます．
１７３７年，オイラーはこのようにして素数の逆数の和が無限大になることを見つけました．逆に，このことから，素数が無限個あることは簡単にわかります．また，調和級数Σ（１／ｎ）は発散し，また，オイラー級数Σ（１／ｎ^2 ）＝π2 ／６で収束しますから，素数は平方数ほどまばらには分布していないこともわかります．
さらに，このことを詳しく調べると，
Σ（１／ｐ）〜ｌｏｇ（ｌｏｇｘ） （ｐはｐ≦ｘの素数を動く，証明略）
すなわち，
１／２＋１／３＋１／５＋１／７＋１／１１＋・・・＋１／ｎ
〜ｌｏｇｌｏｇｎ→∞
などがわかってきます．
ζ（2）＝１／１2 ＋１／２ ＋１／３2 ＋１／４2 ＋・・・＝π2 ／６
が無理数であることを用いても，素数が無限にあることを簡単に証明することができます．
（証明）ζ（2）＝Σ１／ｎ^2＝Π（１−ｐ^(-2)）^(-1)において，素数が有限個とすれば，ζ（2）は有限個の（１−ｐ^(-2)）^(-1)の積となり，有理数となる．
同様に，ζ（3）が無理数であれば素数は無限にあることがいえます．しかし，この逆，すなわち，素数が無限にあるからといってζ（3）は無理数であるとはいえないのです．
ところで，オイラーはいろいろな工夫をして，
log(sinx)=-Σcos(2nx)/n-log2
であることをつきとめ，広義積分
∫(0,π/2)log(sinx)dx=-π/2log2
の値を求めています．また，これを代入して計算すれば
ζ（3）＝2π^2/7log2+16/7∫(0,π/2)xlog(sinx)dx
が得られます（１７７２年）．
このとき，
１＋１／３3 ＋１／５3 ＋１／７3 ＋・・・
の値が必要になりますが，この値はζ（3）＝Σ１／ｎ^3 から次のようにして求まります．
１＋１／２3 ＋１／３3 ＋１／４3 ＋・・・
＝（１＋１／２3 ＋１／４3 ＋・・・）（１＋１／３3 ＋１／５3 ＋・・・）＝１／（１−１／８）・（１＋１／３3 ＋１／５3 ＋・・・）
より，分母を奇数のベキ乗だけにすると一般式は
{1-2^(ｰs)}ζ（ｓ）
さらに，
１／１s −１／２s ＋１／３s −１／４s ＋・・・
＝２（１／１s ＋１／３s ＋１／５s ＋１／７s ＋・・・）−（１／１s ＋１／２s ＋１／３s ＋１／４s ＋・・・）
より，＋，−が交互に出現すると一般式
{1-2^(1ｰs)}ζ（ｓ）
を得ることができます．
ζ（2n）はπ^2nの有理関数になる，従って，超越数であることはオイラー以来知られていますが，奇数ベキ級数の和ζ（2n+1）についての類似の関係式は何にひとつわかっていませんでした．（有理数と円周率から四則演算によって得られる数ではないだろうと予想されているが，証明されてはいない．）
ところが，１９７８年に，フランスの無名の数学者アペリによってζ（3）の無理数性が示されました．それを補ったのがポールテンです．ζ（3）＝１．２０２０５６・・・に収束するものの，ごく最近までこの値が無理数であることすらわかっていなかったのです．
アペリはζ（3）が無理数であることを示すために，連分数展開
6/ζ（3）＝5−1^6/117-2^6/535−n^6/(34n^3+51n^2+27n+5-･･･)
を使いました．興味深いのは，アペリの証明が最先端の研究結果を使ったものではなく，オイラーが解決していたとしても不思議はないとされるような２００年前にはすでにわかっていた定理や手法のみでの証明だったことです．
ζ（3）が無理数であるという証明が発表されたとき，学会場はどよめきの渦に包まれ騒然となったそうですが，アペリは非常に話し下手であり，参加者の多くは半信半疑（というよりは懐疑的）であったと伝えられています．アペリはマイナーな数学者とされていますが，今から考えると当時主流だった秀才数学者集団，ブルバキに押しつぶされた個性豊かな人物だったようです．
ζ（3）はいまだ無理数であることしかわかっておらず，オイラーによる
ζ（3）＝2π^2/7log2+16/7∫(0,π/2)xlog(sinx)dx
という結果（log2の有理式×π2）があるばかりです．いまだζ（3）が超越数であるかどうかは知られていませんし，ζ（5），ζ（7），・・・が有理数なのか無理数なのかもわかっていません．アペリの方法はζ（5），ζ（7），・・・の場合の拡張されるに至っていないのです．
なお，ζ（3）が無理数であることの簡明な別証は，
塩川宇顕「無理数と超越数」（共立出版）
を参照してください．
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