■高次元の正多胞体（その４）
ω＝Σωi^2≦１をｎ次元超球の表現とすると，それに外接するｎ次元立方体は｜ωi｜≦１，内接する双対立方体はΣ｜ωi｜≦１で表される．
コラム「ロボットアームとｎ次元直方体（その１）」では，ｎ次元単位超球に外接するｎ次元超立方体[-1,1]^n（体積2^n）を２次元平面上に直投影した際の面積について考えてみたが，今回のコラムで取り上げるテーマは，それの双対立方体版，正単体版である．
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【１】双対立方体の体積
ｎ次元の幾何学の例をあげよう．三角形の面積は底辺かける高さ割る２であるが，三角錐になると底面積かける高さ割る３，四次元の三角錐なら底体積かける高さ割る４，五次元なら底四次元面積かける高さ割る５・・・．高次元の多面体ではこのようになることが知られている．
これは底面の形に関わらず成り立つこと，双対立方体は重角錐であることより，ｎ次元双対立方体の体積Ｖnの漸化式は
Ｖn＝Ｖn-1×２／ｎ
で表される．
したがって，
Ｖn＝２^n／ｎ！
となる．すなわち，与えられた体積は，ｎ次元立方体の体積の１／ｎ！であって，
Ｖ2＝２，Ｖ3＝４／３，・・・
ここで，指数関数的増大（ねずみ算）に較べてみても，階乗的増大は非常に速い増大の仕方であるから，ｎ→∞のとき，
Ｖn＝２^n／ｎ！→０
となることがわかる．
また，外接超球の体積
π^(n/2)/Γ(n/2+1)
と較べても
2^n/n!／π^(n/2)/(n/2)!=(4/π)^(n/2)(n/2)!/n!
≒1/√2(2e/nπ)^(n/2)→０
となることがおわかり頂けるであろう．
［補］スターリング近似
n!≒√(2πn)n^nexp(-n)
両辺の対数をとると
logn!=(n+1/2)logn-n+0.92
となるが，ｎが大きい場合には，nlognやnに較べて1/2lognや0.92は無視できるので，
logn!=nlogn-n
としている本も多い．
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【２】正単体の体積
三角形の面積は底辺かける高さ割る２であるが，三角錐になると底面積かける高さ割る３，四次元の三角錐なら底体積かける高さ割る４，五次元なら底四次元面積かける高さ割る５・・・．
正単体の体積を求めるにあたって問題となるのは，その高さである．高さを求めるために，ｎ次元正単体の頂点の座標を
（１，０，・・・，０）
（０，１，・・・，０）
・・・・・・・・・・・
（０，０，・・・，１）
（ｘ，ｘ，・・・，ｘ）
とする．稜の長さが√２の正単体であるから，
ｘ＝｛１−√（１＋ｎ）｝／ｎ
とすることができることは（その２）に記した通りである．
これらの座標が与えられたとき，底面
（１，０，・・・，０）
（０，１，・・・，０）
・・・・・・・・・・・
（０，０，・・・，１）
の重心は
（１／ｎ，１／ｎ，・・・，１／ｎ）
であるから，頂点
（ｘ，ｘ，・・・，ｘ）
との距離（高さ）Ｈnは，
Ｈn＝√（１＋１／ｎ）
で与えられることになる．
したがって，漸化式
Ｖn＝Ｖn-1×Ｈn／ｎ
より，
Ｖn＝√（１＋ｎ）／ｎ！
を得ることができる．
Ｖ2＝√３／２，Ｖ3＝１／３，・・・
となるが，Ｖ2，Ｖ3はピタゴラスの定理を使えば中高生でも簡単に確かめることができるであろう．
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【３】双対立方体の投影面積
コラム「ロボットアームとｎ次元直方体（その１）」において，ｎ次元単位超球に外接するｎ次元超立方体[-1,1]^n（体積2^n）を２次元平面上に直投影した際の面積について記した際，原点から最も遠い点は頂点までの距離√ｎであるから，半径√ｎの円に内接する正２ｎ角形を考えればよいことを述べた．
したがって，その面積は，
Ｓo＝ｎ^2ｓｉｎ（π／ｎ）
で与えられることになる．
また，そこには記さなかったが，原点から最も近い点までの距離は，ｎ−１次元面までの距離で１となる．これらの最も近い点を結んだものがｎ次元双対立方体である．
ｎ次元双対立方体の影は，ｎ次元立方体と同様に正２ｎ角形になるので，半径１の円に外接する正２ｎ角形を考えればよい→［補］．その面積は
Ｓi＝２ｎｔａｎ（π／２ｎ）
である．
実際の投影面積Ｓは，
Ｓi≦Ｓ≦Ｓo
となるが，ｎが大きくなるほどＳoに近づくことが予想され，ｎ→∞のとき，
Ｓo＝ｎ^2ｓｉｎ（π／ｎ） 〜 ｎπ
すなわち，超球との投影面積比は漸近的に
ｎπ：π＝ｎ：１
に近づくものと思われた．
なお，その際，外接正２ｎ角形の面積は
Ｓi＝２ｎｔａｎ（π／２ｎ）→π
であるから，単位超球の投影面積に近づくことが理解される．
［補］（その２）を書いた時点では，ｎ次元双対立方体の影の形が２ｎ角形なのか，２（ｎ−１）角形なのか，また，正多角形になるのかどうか，いまひとつはっきりしなかったのであるが，正八面体の模型を作ってみると，正六角形に投影される方向が簡単に見つかった．この方向は見取り図を描くだけでは気づきにくく，死角とでもいうべきか，ひとつの盲点であった．
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双対立方体の場合も同様に求められるはずである．最も遠いのが
（±１，０，・・・，０）
（０，±１，・・・，０）
・・・・・・・・・・・・
（０，０，・・・，±１）
までで距離１，最も近いのが
（±１／ｎ，±１／ｎ，・・・，±１／ｎ）
までの距離１／√ｎである．最も近い点を結ぶとｎ次元立方体ができあがる．
したがって，半径１の円に内接する正２ｎ角形
Ｓo＝ｎｓｉｎ（π／ｎ）
と，半径１／√ｎの円に外接する正２ｎ角形
Ｓi＝２ｔａｎ（π／２ｎ）
を考えればよいことになる．
立方体の場合と同様に，
Ｓi≦Ｓ≦Ｓo
であるが，立方体の場合とは逆に円に外接する正２ｎ角形の面積を考える．すると，
Ｓi＝２ｔａｎ（π／２ｎ） 〜 π／ｎ
このことから超球との投影面積比は
π／ｎ：π＝１：ｎ
となるものと思われる．
なお，内接正２ｎ角形では
Ｓo＝ｎｓｉｎ（π／ｎ）→π
となる．
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【４】正単体の投影面積
正単体において，底面から頂点までの高さは
Ｈ＝√（１＋１／ｎ）
であることがわかっている．
ここで，簡単な補助定理
ａ）ｎ次元球に内接および外接するすべての単体のなかで正則単体はそれぞれ最大および最小の体積をもっていること
ｂ）一様な棒の重心は両端の間の距離を１：１に，三角形の重心は中線を２：１に，四面体の重心は頂点と向かいあう面の重心との距離を３：１に内分します．すなわち，四面体の重心は１つの面の重心から対頂点に引いた直線の１／４の点にあること，・・・
を使うことにしよう．
この規則を高次元へ拡張するのであるが，４次元以上でもこの規則性が失われることはありそうもなく，同様に類推される．すなわち，ｎ次元単体では
ｃ）重心からの最大距離は頂点までの距離，
Ｈ×ｎ／（ｎ＋１）＝√（ｎ／（ｎ＋１））
ｄ）重心からの最小距離は底面までの距離，
Ｈ×１／（ｎ＋１）＝√（１／ｎ（ｎ＋１））
である．
したがって，半径√（ｎ／（ｎ＋１））の円に内接する正ｎ＋１角形
Ｓo＝ｎ／２ｓｉｎ（２π／（ｎ＋１））
と，半径√（１／ｎ（ｎ＋１））の円に外接する正ｎ＋１角形
Ｓi＝２／ｎｔａｎ（π／ｎ＋１）
より，ｎ→∞のとき，
Ｓi＝２／ｎｔａｎ（π／ｎ＋１） 〜 ２π／ｎ（ｎ＋１）
となることが理解される．
なお，内接正ｎ＋１角形では，
Ｓo＝ｎ／２ｓｉｎ（２π／（ｎ＋１））〜ｎπ／（ｎ＋１）→π
が成り立つ．
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正単体の外接球の半径は√（ｎ／（ｎ＋１））であるから，単位超球の半径より小さい．したがって，重心を原点に移動させ，√（（ｎ＋１）／ｎ）倍に引き伸ばすことによって，正単体を単位超球に内接させることができることになる．
ｎ＋１個の頂点：
Ｖ1（１，０，・・・，０）
Ｖ2（０，１，・・・，０）
・・・・・・・・・・・
Ｖn（０，０，・・・，１）
Ｖn+1（ｘ，ｘ，・・・，ｘ）
の中心座標は
（（ｘ＋１）／（ｎ＋１），・・・，（ｘ＋１）／（ｎ＋１））
ｘ＝｛１−√（１＋ｎ）｝／ｎ
であるから，単位超球に内接させるためには
ｍ＝√（（ｎ＋１）／ｎ）
一方，外接させるためには
ｍ＝√（ｎ（ｎ＋１））
として，
Ｖ1（ｍ（１−（ｘ＋１）／（ｎ＋１）），−ｍ（ｘ＋１）／（ｎ＋１），・・・，−ｍ（ｘ＋１）／（ｎ＋１））
・・・・・・・・・・・
Ｖn+1（ｍｘ−ｍ（ｘ＋１）／（ｎ＋１），ｍｘ−ｍ（ｘ＋１）／（ｎ＋１），・・・，ｍｘ−ｍ（ｘ＋１）／（ｎ＋１））
とすればよいことも理解されるところであろう．このことをプログラム化すると，以下のようになる．
5070 '
5080 ' *** 内接化 ***
5090 '
5100 *INTERNAL:
5110 X=(1-SQR(1+M))/M
5120 G=SQR(1+1/M)
5130 FOR GS=1 TO M
5140 S(GS)=(S(GS)-(X+1)/(M+1))*G
5150 NEXT GS
5160 RETURN
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【５】雑感
今回のコラムでは，ｎ次元超立方体，双対立方体，正単体の投影面積に関する不等式をみてきた．正単体においては，重心の位置を求めることが必要になったが，これに関連する不等式が「三角不等式」である．
［１］三角不等式
三角不等式とは，任意の三角形の外接円の半径をＲおよび内接円の半径をｒとすると，
Ｒ≧２ｒ 等号は正三角形のときに限る．
というものである．
三角不等式は３次元空間へも拡張できて，４面体では
Ｒ≧３ｒ （４面体不等式）
ｎ次元単体でも同様に
Ｒ≧ｎｒ （単体不等式）
が成り立つ．
これらのことは，上に掲げた法則ｂ）に由来しているのであるが，三角形の重心の性質は四面体，ｎ次元単体に遺伝するというわけである．
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［２］球殻不等式
三角不等式は
Ｒ／ｒ≧２
とも書けるが，Ｒとｒは対象となる図形を外と内から押さえるものであるから，Ｒ／ｒに関するこの不等式は「球殻不等式」と呼ぶこともできる．すなわち，Ｒ／ｒが最小となるもの（最小球殻）を求める問題と考えることができるのである．
ｎ次元単体については，
Ｒ／ｒ≧ｎ
が成り立つが，ここでは次元を大きくするのではなく，辺数ｎを大きくしてｎ角形へ拡張してみることにすると，任意の凸ｎ角形において，不等式
Ｒ／ｒ≧ｓｅｃ（π／ｎ）
が得られる．等号は正ｎ角形の場合にのみ成り立つ．
とくに，ｎ＝３の場合，ｓｅｃ（π／３）＝２より，
Ｒ／ｒ≧２ （三角不等式）
となる．
一般に，凸ｎ角形の面積Ｓ，周長Ｌ，内接円の半径ｒ，外接円の半径Ｒの間には，次の不等式が成り立つことがわかるだろう．
２ｎｒｔａｎ（π／ｎ）≦Ｌ≦２ｎＲｓｉｎ（π／ｎ）
ｎｒ^2ｔａｎ（π／ｎ）≦Ｓ≦１／２ｎＲ^2ｓｉｎ（２π／ｎ）
等号は正ｎ角形の場合にのみ成り立つから，定円に外接するｎ角形の中で，正ｎ角形は周長・面積が最小であり，内接するｎ角形の中で，正ｎ角形は周長・面積が最大となるが，このことは直観的にも理解されるところであろう．
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今回のコラムで取り上げた投影面積に関しては，
ｎｒ^2ｔａｎ（π／ｎ）≦Ｓ≦１／２ｎＲ^2ｓｉｎ（２π／ｎ）
が重要な役割を果たしている．コラム「幾何学的不等式への招待」には，この不等式を多角形でなく多面体の場合に拡張したものを含め，数多くの不等式を掲げている，たとえば，・・・
［３］等周不等式
Ｌ^2≧４πＳ （２次元等周不等式）
Ｓ^3≧３６πＶ^2 （３次元等周不等式）
任意のｎ次元の等周不等式は，
Ｓ^n／Ｖ^(n-1)≧ｎ^nｖn （ｖnはｎ次元単位球の体積）
＝ｎ^nπ^(n/2)/Γ(n/2+1)
で表される．
また，各種不等式から派生する問題として，たとえば，３次元版の球殻不等式からは，「同じ大きさの球に内接する正１２面体と正２０面体とでは，正１２面体の方が体積Ｖも表面積Ｓも大きい．」が導かれる．
そんなばかなと思われるかもしれないが，直感に反して，正１２面体は球の６６．５％，正２０面体は球の６０．６％を占めるのである．したがって，正多面体を球に内接させたとき最も球に近い正多面体は正１２面体で，一方，外接させれば体積も表面積も正２０面体の方が球に近くなる．
また，等周比Ｓ^3／Ｖ^2の点からいえば，５種の正多面体では正４面体が最も球に遠く，正２０面体が最も球に近いことになる．それでは，ｆ個の面をもつ多面体の中で等周比の最小値を与えるものはなんであろうか？
答えはｆ＝４，６，１２ではプラトンの正多面体，すなわち，正四面体，立方体，正十二面体が最小値をとる．しかし，ｆ＝８で等周比の最小値をあたえるものは正八面体ではなく，２個の正方形と８個の正三角形からなるアルキメデスの反プリズムである．ｆ＝２０の場合は未解決である．
コラム「幾何学的不等式への招待」ではこれらの問題も提示してある．三次元の問題は一筋縄ではいかないものが多いが，それはそれで大いに興味深いものがあるので，是非とも参照されたい．
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