（その２）では，ｎ次元双対立方体と正単体の輪郭線処理を行ったが，その際，

ａ）ｎ次元立方体（正２ｎ胞体）は，

　　頂点数：　２^n，

　　稜数：　　２^(n-1)ｎ，

　　四角形数：２^(n-3)ｎ（ｎ−１）

からなっていて，各頂点のまわりにはｎ本の稜，ｎ（ｎ−１）／２個の正方形が集まっている．また，各稜のまわりにはｎ−１個の正方形が集まっている．・・・と書いた．

　

　頂点数をｆ0，稜数をｆ1，面数をｆ2で表すことにすると，稜の両端にはそれぞれ頂点があり，四角形は四辺形であるから，頂点まわりの稜数は

　　２ｆ1／ｆ0＝ｎ

頂点まわりの四角形数は

　　４ｆ2／ｆ0＝ｎ（ｎ−１）／２

稜まわりの四角形数は

　　４ｆ2／ｆ1＝ｎ−１

と計算されるというのがその根拠である．

　

ｂ）ｎ次元双対立方体（正２^n胞体）では

　　頂点数：　２ｎ，

　　稜数：　　２ｎ（ｎ−１），

　　三角形数：２ｎ（ｎ−１）^2／３

であるから，同様に，

　　２ｆ1／ｆ0＝２（ｎ−１）

　　３ｆ2／ｆ0＝（ｎ−１）^2

　　３ｆ2／ｆ1＝ｎ−１

より，各頂点からは２（ｎ−１）本の稜がでる．各頂点のまわりには（ｎ−１）^2個の三角形，また，各稜のまわりにはｎ−１個の三角形が集まっている．

　

ｃ）ｎ次元正単体（正ｎ＋１胞体）の場合，

　　頂点数：　ｎ＋１，

　　稜数：　　（ｎ＋１）ｎ／２，

　　三角形数：ｎ（ｎ^2−１）／６

である．これも同様に，

　　２ｆ1／ｆ0＝ｎ

　　３ｆ2／ｆ0＝ｎ（ｎ−１）／２

　　３ｆ2／ｆ1＝ｎ−１

と計算される．すなわち，各頂点からはｎ本の稜がでる．各頂点のまわりにはｎ（ｎ−１）／２個の三角形，また，各稜のまわりにはｎ−１個の三角形が集まっている．

　

　　□ｆ2／ｆ1＝ｎ−１（超立方体）

　　△ｆ2／ｆ1＝ｎ−１（双対立方体・正単体）

より，いずれの場合も，各稜のまわりにはｎ−１個の面が集まっているものと思われたのだが，このことが輪郭線処理に際して問題になった．

　

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　問題点をもう一度説明しておきたい．

　

　ｎ次元立方体と正単体では１つの頂点からｎ本の稜がでる．そのうち１本の稜を定めると，その稜のまわりの（ｎ−１）面上で，いま描こうとしている稜に平行なｎ−１本の線を求めることができる．

　

　しかし，双対立方体では各頂点から

　　２ｆ1／ｆ0＝２（ｎ−１）

本の稜がでる．したがって，１本の稜を定めたとき，その稜のまわりの２（ｎ−２）面上で，いま描こうとしている稜に平行な２（ｎ−２）本の線を求めることができることになる．

　

　このことが，稜まわりの面数

　　３ｆ2／ｆ1＝ｎ−１

と矛盾するのではないか？　という点が問題となったのである．

　

　ｎ＝３では，両者は，

　　ｎ−１＝２，２（ｎ−２）＝２

と偶然一致するが，一般のｎ次元では合致しないことは明らかである．実際に数え上げていくと，双対立方体では２（ｎ−２）が正しいのであるが，なぜ一致しないのか，この原因についての理解を深めたいというのが，今回のコラムの狙いである．

　

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【１】４次元の壁

　

　上の例からして，小生はどうも多胞体の複雑さを理解していないと思われるのだが，正則胞体に限ってみても，４次元となった途端，物事はいかにも複雑になる．

　

　４次元多胞体では，頂点，辺，面，胞の個数の間に，シュレーフリの公式：

　　ｖ−ｅ＋ｆ−ｃ＝０

が成立する．これを高次元へ一般化したものがオイラー・ポアンカレの定理

　　ｆ0＝ｖ，ｆ1＝ｅ，ｆ2＝ｆ，ｆ3＝ｃ，・・・

であるが，４次元空間においては，点ｖは空間ｃと直線ｅは平面ｆと双対的に対応する．正多胞体の頂点数，辺数，面数，胞数を掲げる．

　

　　　　　　　頂点数　　　辺数　　　面数　　　　胞数

５胞体　　　　　　５　　　１０　　　１０　　　　　５

８胞体　　　　　１６　　　３２　　　　２４　　　１６

１６胞体　　　　　８　　　２４　　　　３２　　　　８

２４胞体　　　　２４　　　９６　　　　９６　　　２４

１２０胞体　　６００　１２００　　　７２０　　１２０

６００胞体　　１２０　　７２０　　１２００　　６００

　

　次の表で（ｐ，ｑ）の組合せを調べると，それぞれ５個の４面体がｆ3，８個の立方体がｆ3１６個の４面体がｆ3，２４個の８面体がｆ3，１２０個の１２面体がｆ3，６００個の４面体がｆ3である正多胞体であることを示している．

　

　　　　　　境界多面体　境界面ｐ　頂点に集まる面ｑ　辺に集まる胞ｒ

５胞体　　　正４面体　　　　３　　　　　　　　３　　　　　　　３

８胞体　　　立方体　　　　　４　　　　　　　　３　　　　　　　３

１６胞体　　正４面体　　　　３　　　　　　　　３　　　　　　　４

２４胞体　　正８面体　　　　３　　　　　　　　４　　　　　　　３

１２０胞体　正１２面体　　　５　　　　　　　　３　　　　　　　３

６００胞体　正４面体　　　　３　　　　　　　　３　　　　　　　５

　

　また，この２つの表では，それぞれの詳細について，たとえば，正６００胞体（４次元正２０面体）は頂点数１２０，稜数７２０，正三角形数１２００で，６００個の正４面体状胞体が各辺のまわりにｒ＝５個ずつ集まっているという状況にあることがわかる．

　

　このことをすべての正多胞体について記すのはやめておくが，言葉で説明する（あるいはこれを描く）のは易しいが，これを理解するのがいかに難しいかわかるだろう．

　

　端的にいって，人間の直観や勘が働くのはたがだか３次元空間までで，次元が大きくなるに従い，格子点の配位は非常に複雑となり，われわれが３次元空間でイメージするものとは大きく異なってくる．すなわち，高次元では幾何学的直観が効かないので，多胞体は理解するのが難しい対象ということなのである．

　

　また，高次元では用語の問題も出てくるので注意が必要である．例えば，以下のような表現はどうなっているのだろう．

　「五次元以上のｄ次元の場合は，２ｄ個の頂点と２^d個の辺をもつ双対立方体（三次元では正八面体），２^d個の頂点と２ｄ個の辺をもつ立方体，ｄ＋１個の頂点とｄ＋１個の辺をもつ正単体（三次元では正四面体）の３つですべての正多面体をつくしています．」

　

　この場合，頂点は０次元面ｆ0のことを指す用語であるから問題はないのであるが，辺というのは１次元面ｆ1のことではなく，ｄ−１次元面ｆd-1のことを指していることがおわかり頂けるであろうか？

　

　また，２次元面ｆ2ではなく，ｄ−１次元面ｆd-1のことを面と表現しているものもあるし，辺と稜を区別して，辺（edge）を１次元面ｆ1，稜（ridge）をｄ−２次元面ｆd-2と定義しているものもあるのでますます注意が必要である．

　

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【２】双対性とルート系

　

　３次元には５つの正多面体（プラトン立体）がある．リストアップすると，正４面体，立方体，正８面体，正１２面体，正２０面体である．正４面体はそれ自身と双対であり，立方体は正８面体と，正１２面体は正２０面体と双対である．

　

４次元空間の正多胞体

　

　　　　　　境界多面体　　頂点数　　双対性　　　　　　　　　３次元対応

５胞体　　　正４面体　　　　　５　　自己双対（非中心対称）　正４面体

８胞体　　　立方体　　　　　１６　　１６胞体と双対　　　　　立方体

１６胞体　　正４面体　　　　　８　　　８胞体と双対　　　　　正８面体

２４胞体　　正８面体　　　　２４　　自己双対（中心対称）

１２０胞体　正１２面体　　６００　　６００胞体と双対　　　　正１２面体

６００胞体　正４面体　　　１２０　　１２０胞体と双対　　　　正２０面体

　

　４次元には６種類の正多胞体がある．正８胞体（４次元立方体）のほか，

　　正５胞体（４次元正４面体：自己双対）

　　正１６胞体（４次元正８面体）

　　正２４胞体（相当する正多面体はない：自己双対）

　　正１２０胞体（４次元正１２面体）

　　正６００胞体（４次元正２０面体）

である．正８胞体と正１６胞体，正１２０胞体と正６００胞体は互いに双対，正５胞体と正２４胞体はそれぞれ自分自身に双対である．

　

ｎ次元空間の正多胞体（ｎ≧５）

　

　　　　　　　　境界胞体　　　　頂点　　　双対性　　対応

（ｎ＋１）胞　　ｎ胞体　　　　　ｎ＋１　　自己双対　正４面体・５胞体

２ｎ胞体　　（２ｎ−２）胞体　　２^n　　　２^n胞体　立方体・８胞体

２^n胞体　　　　ｎ胞体　　　　　２ｎ　　　２ｎ胞体　正８面体・１６胞体

　

　双対性からみて，正４面体，正６面体，正８面体の多次元への拡張はわかりやすいと思われるが，３次元空間の正１２面体，正２０面体，４次元空間の２４胞体，１２０胞体，６００胞体は，より高次元においては対応するものをもたない．しかし，それよりも，三次元の場合はこれらの他に２つの正多面体＜正十二面体と正二十面体＞があり，四次元の場合は他に３つ＜正２４胞体，正１２０胞体，正６００胞体＞あるといったほうがわかりやすいだろう．

　

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　ここで最も気になるのが正２４胞体である．正２４胞体に相当する３次元正多面体はない．なぜかというと，正２４胞体は自己双対かつ中心対称であり，３次元空間でそれに対応する正多面体はないからである．

　

　すなわち，正２４胞体（２４胞，正３角形のみからなる９６面，９６辺，２４頂点）こそが，四次元特有の物体であると考えられるのであるが，正２４胞体は，四次元空間で三次元空間の立方体にあたる正八胞体（８胞，２４面，３２辺，１６頂点）と正八面体にあたる正十六胞体（１６胞，３２面，２４辺，８頂点）を重ねてできることから，その意味で４次元版の菱形十二面体に相当する．

　

　２４胞体は，すべての次元を通じて，単体以外の唯一の自己双対な正則胞体であって，例外中の例外といってもよいものであろう．この２４胞体の対称性を，鏡映で生成される既約な有限群（ルート系）との関係でみても興味深いものがある．

　

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　平面を鏡映三角形で埋めつくす問題を一般の次元に拡張して，R^nの単体に置き換えて得られるベクトルの集合が一般の階数のルート系である．ルート系の分類は，それ自体大変面白いものらしいのであるが，既約ルート系の同型類には，Ａ型からＧ型までのアルファベットに，添字として階数をつけた名前が付いていて，Ｅ8型ルート系などと呼ぶ習慣になっている．

　

　すなわち，ルートは鏡映を与えるベクトルとして理解することができるのであるが，８次元ユークリッド空間において，８次元単体（４面体の拡張）を鏡映したものからなるモザイク模様に対してベクトルの集合を考えることによって，たとえば，Ｅ8型ルート系が得られるというわけである．

　

　それによれば，階数ｎの既約ルート系は，Ａk（ｋ≧１），Ｂk（ｋ≧２），Ｃk（ｋ≧３），Ｄk（ｋ≧４），Ｅ6，Ｅ7，Ｅ8，Ｆ4，Ｇ2の型のいずれかであり，既約ルート系の分類の基づいて，単純リー群を分類すると９つの型があり，それらはＡ，Ｂ，Ｃ，Ｄと名づけられた４つの古典型とＥ6，Ｅ7，Ｅ8，Ｆ4，Ｇ2と名づけられた５つの例外型であった（カルタンの分類定理）．

　

　ルート系（リー型の単純群）はＡ型からＧ型まで７種類あるとしてよく，４つの古典群，５系列の例外群，さらにそのうちで対称性をもつＡ，Ｄ，Ｅ6，Ｄ4の４系列，疑似対称性をもつＢ2，Ｇ2，Ｆ4の３系列で１６系列に細分することができる．→コラム「モザイク模様とルート系」

　

　　・−・・・・・−・　　（Ａn：ｎ≧２のとき位数２の自己同型がある）

　

　　　　　　　　　　・

　　　　　　　　　／

　　・−・・・・・　　　　（Ｄn：ｎ≧４のとき位数２の自己同型がある）

　　　　　　　　　＼

　　　　　　　　　　・

　

　　　　　　３

　　　　　／

　　１−２　　　　（Ｄ4：位数３の自己同型がある）

　　　　　＼

　　　　　　４

　

　　　　　　４

　　　　　 ｜

　　１−２−３−５−６　　（Ｅ6：位数２の自己同型がある）

　

　　１＝２　（Ｂ2）　　１≡２　（Ｇ2）　　１−２＝３−４　（Ｆ4）

　

　ｎ次元正単体とｎ次元立方体の対称群は，それぞれＡn-1，Ｂn（Ｃn）で表されるのだが，２４胞体は１つの例外型対称群Ｆ4をもつことが知られている．２４胞体は単体以外の唯一の自己双対な正則胞体であるという事実がＦ4と関係しているらしく，この点もまた注目すべきものである．

　

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【４】最密充填構造

　

　単独で空間を充填する平面充填正多角形は３種類（正三角形・正方形・正六角形），空間充填正多面体は１種類（立方体）である．

　

　それに対して，４次元空間を１種類の正多胞体で埋めつくす図形は，正８胞体，正１６胞体，正２４胞体の３種類であり，４次元の最密正則胞体充填構造は，正２４胞体で埋めつくされているときであることが知られている．

　

　次に「単位格子群の２つの格子点の間の最小距離ｄminを最大にする格子群（極大格子群）を求めよ」というミニマックス問題が設定される．すなわち，正多角形，正多面体に限らない最密規則的充填構造は何かという問題である．→コラム「極大格子群とルート系」参照

　

　２次元では，与えられた最小距離をもつすべての格子中で，格子点密度のもっとも高いものは，正三角形格子（Ａ2）ということになる．

　

　３次元では，すべての辺の長さが等しい平行六面体格子（菱形体格子）をつくってみると，辺が互いの６０°の角度をなすようにしたとき，平行六面体の体積は最小値となる．これが面心立方格子状配置であって，その対称性はＣ3（立方体）ではなく，Ａ3で与えられる．

　

　もっとも稠密な格子状球配置を求める問題はより高次元の空間においても考えることができるが，高次元空間においては，平面における正三角形格子や３次元空間における面心立方格子はもはや最密球配置を与えてはくれない．すなわち，４次元，５次元においては面心立方格子の類似品Ｄ4，Ｄ5となるのであるが，６次元についてはそのようなことも成立しなくなり，Ｅ6となる．

　

　これは次元の上昇とともに，超球の間の隙間が大きくなっていくからであるが，極大格子については，現在のところ，ｎ≦８のみ答えが知られている．

　

ｎ　　　ルート　　　最小距離　　　　　　　　　　　　　球充填密度

１　　　　　　　　　１　　　　　　　　　　　　　　　　１

２　　　Ａ2　　　　4√（４／３） 　＝１．０７５　　　　０．９０６

３　　　Ａ3　　　　6√２　　　　 　＝１．１２２　　　　０．７４０

４　　　Ｄ4　　　　8√４　　　　 　＝１．１８９　　　　０．６１９

５　　　Ｄ5　　　　10√８　　　　　＝１．２３１　　　　０．４６５

６　　　Ｅ6　　　　12√（６４／３）＝１．２９０　　　　０．３７３

７　　　Ｅ7　　　　14√６４　　　　＝１．３４６　　　　０．２９５

８　　　Ｅ8　　　　√２　　　　　　＝１．４１４　　　　０．２５４

　

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