４面体は４つの頂点と４つの面から構成されるので，頂点数を加えていうと，４点４面体である．５面体には４角錐（５点５面体）と３角柱（６点５面体）がある．６面体には５点６面体が１種類，６点６面体，７点６面体，８点６面体が２種類ずつの合計７種類ある．以下，７面体には３４種類，８面体には２５７種類，９面体には２６６種類ある．

　

　見方を変えて，凸多面体を頂点数で分類すると，４点多面体は１種類，５点多面体は２種類，６点多面体は７種類，７点多面体は３４種類，８点多面体は２５７種類，９点多面体は２６６種類，１０点多面体は３２３００種類ある．

　

　両者で同じ数値が出現していることに気づかれたかと思う．ここでは３次元凸多面体についてみてきたが，次に，一般のｎ次元の凸多面体（凸多胞体）として，どのようなものが存在し得るかについて考えてみることにしよう．

　

　２次元では，

　　ｖ−ｅ＝０，ｖ≧３，ｅ≧３

を満たす凸ｖ角形（凸ｅ角形）が存在する．

　

　３次元凸多面体の頂点，辺，面の数をそれぞれｖ，ｅ，ｆとすると，

　　ｖ−ｅ＋ｆ＝２　　（オイラーの多面体定理）

が成り立つ．これは３次元立体について，０次元の特性数であるｖ，１次元の特性数であるｅ，２次元の特性数であるｆの関係を述べたものと解釈され，数学の１０大定理の１つに挙げられるものである．

　

　３次元では，オイラーの多面体公式

　　ｖ−ｅ＋ｆ＝２

以外に

　　ｆ≦２ｖ−４，ｖ≦２ｆ−４

を満たせばよいことが証明されている（シュタイニッツ，１９０６年）．したがって，これらの式の頂点ｖと面ｆの対称性により，ｆ面凸多面体とｖ点凸多面体は同数になるというわけである．

　

　実は，頂点数が与えられたとき，すべてのｎ−１次元面数を計算することと，ｎ−１次元面数が与えられたとき，すべての頂点数を計算することは本質的に同値な問題であり，凸包問題として知られている．

　

　ｎ＝３の場合，ｎ−１次元面数＝ｆとなるが，３次元における実現個数の漸近公式は

　　（２（ｖ−１），ｆ＋２）（２（ｆ−１），ｖ＋２）／９７２（ｖ−１）（ｆ−１）（ｖ＋ｆ−２）

で与えられるという．

　

　それに対して，４次元では

　　ｖ−ｅ＋ｆ−ｃ＝０　　　（シュレーフリ，１８５２年）

であるが，２次元，３次元の場合と同様の問題は未解決である．

　

　なお，

　　ｖ−ｅ＋ｆ−ｃ＋ｇ−ｈ＋ｉ−・・・＝１−（−１）^n

と一般化したものがオイラー・ポアンカレの定理である．右辺はｎが奇数のとき２，偶数のとき０になる．

　

　ｆiをｎ次元多面体のｉ次元面の数とすると，

　　ｆ0＝ｖ，ｆ1＝ｅ，ｆ2＝ｆ，・・・

ここで，

　　ｆn＝１（多面体内部のｎ次元空間），ｆ-1＝１（空集合）

と定めると，オイラー・ポアンカレの定理は，

　　−ｆ-1＋ｆ0−ｆ1＋ｆ2−・・・＋（−１）^(n-1)ｆn-1＋（−１）^nｆn＝０

で表されることになる．

　

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

　

【１】輪郭線処理

　

　さて，今回のコラムでは，前回予告したｎ次元双対立方体とｎ次元正単体を２次元平面に投影した際の混雑した稜線の中から輪郭線だけを抽出する方法について解説していきたい．

　

　まず最初に，コラム「ロボットアームとｎ次元直方体（その３）」より，ｎ次元立方体の輪郭線処理の方法を復習しておこう．

　

ａ）ｎ次元立方体（正２ｎ胞体）は，

　　頂点数：　２^n，

　　稜数：　　２^(n-1)ｎ，

　　四角形数：２^(n-3)ｎ（ｎ−１）

から成っていて，各頂点のまわりにはｎ本の稜，ｎ（ｎ−１）／２個の正方形が集まっている．また，各稜のまわりにはｎ−１個の正方形が集まっている．

　

ｂ）１つの稜のまわりの正方形面上で，いま描こうとしている稜に平行なｎ−１本の線を求める．

　

ｃ）これらｎ本の平行線をそれぞれ２次元平面に投影した際の直線を含む３次元空間内の平面の，稜の始点（あるいは終点）におけるｚ値を求める．

　

ｄ）ｎ本の線のなかで，稜のｚ値が最大値，最小値の場合だけを表示するようにすれば，輪郭線だけを表示することができる．

　

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

　

　ｎ次元双対立方体では

　　頂点数：　２ｎ，

　　稜数：　　２ｎ（ｎ−１），

　　三角形数：２ｎ（ｎ−１）^2／３

であるから，各頂点からは２（ｎ−１）本の稜がでる．各頂点のまわりには（ｎ−１）^2個の三角形，また，各稜のまわりにはｎ−１個の三角形が集まっている．

　

　ｎ次元正単体の場合，

　　頂点数：　ｎ＋１，

　　稜数：　　（ｎ＋１）ｎ／２，

　　三角形数：ｎ（ｎ^2−１）／６

である．すなわち，各頂点からはｎ本の稜がでる．各頂点のまわりにはｎ（ｎ−１）／２個の三角形，また，各稜のまわりにはｎ−１個の三角形が集まっている．

　

　これらの情報のうち，輪郭線処理にとって本質的なのはどれだろうか？　いずれの場合も，各稜のまわりにはｎ−１個の面が集まっていることが共通しているので，当初は

ｂ）１つの稜のまわりの（ｎ−１）面上で，いま描こうとしている稜に平行なｎ−１本の線を求める．

に引き続き，ｃ），ｄ）を実行すれば輪郭線だけを描くことができるはずであると思われた．

　

　ところが，それではうまく輪郭線を処理することができなかった．ちょっと考えればわかることなのだが，輪郭線処理にとっては，辺の周りに何面集まっているかではなく，頂点から何本の稜がでるかという点が本質的なのである．

　

　そこで，結論を述べると，

ｂ）各頂点から出るｋ本の稜上の点を始点として，いま描こうとしている稜に平行なｋ−１本の線を求める．

と変更すればよいことがわかった．

　

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

　

【２】単純多面体と単体的多面体

　

　ｎ次元立方体は，各頂点からｎ本の稜がでる単純多面体であるのに対し，ｎ次元双対立方体は単体的多面体（ｎ−１次元面が単体で，ｎ個の頂点をもっている）であることが知られている．ｎ次元正単体は単純かつ単体的多面体である．

　

　ｎ次元立方体と正単体ではｋ＝ｎであるが，双対立方体ではｋ＝２（ｎ−１）である．したがって，ｎ次元立方体の輪郭線処理のために作成されたプログラムは，ｎ次元双対立方体の場合には使えないことになる．

　

　そのため，ｎ次元立方体の輪郭線処理のために作成されたプログラムを，ｎ次元双対立方体とｎ次元正単体の場合にも使えるように書き換えることから始めなければならない．以下に，プログラムを書き換えた部分と描画例を掲載する．

　

　なお，３次元正多面体は正則胞体なので，多面体の１つの頂点に集まる面の形と数をｐ，ｑとすると，

　　ｐｆ＝２ｅ，ｑｖ＝２ｅ　　　（握手定理）

が成り立つ．

　

　３次元の単体的多面体ではｐ＝３なので，

　　２ｆ1＝３ｆ2

を得ることができる．同様に，ｎ次元の単体的多面体における握手定理

　　２ｆn-2＝ｎｆn-1

を導くことができる．

　

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

　

［１］プログラム

　

4680 '

4690 ' *** 超立方体 ***

4700 '

4710 *HYPERCUBE:

4720 T=1:' [non-stochastic]

4730 FOR IS=1 TO M:EDGE(IS)=SQR(T*AZ(IS,IS)):NEXT IS

4740 '

4750 FOR IS=0 TO 2^M-1

4760　 FOR JS=1 TO M:S(JS)=-1:NEXT JS

4770　 FOR JS=1 TO M

4780　　 IF (IS AND 2^(JS-1))=0 THEN S(JS)=1

4790　 NEXT JS

4800　 FOR JS=1 TO M:S0(JS)=S(JS):NEXT JS

4810　'GOSUB *VERTEX:GXS=GX:GYS=GY

4820　 '

4830　 COUNT=0

4840　 FOR JS=1 TO M

4850　　 COUNT=COUNT+1

4860　　 FOR KS=1 TO M:S(KS)=S0(KS):NEXT KS

4870　　 S(JS)=-S(JS)

4880　　 FOR KS=1 TO M:SS(COUNT,KS)=S(KS):NEXT KS

4890　　'GOSUB *VERTEX:GXE=GX:GYE=GY

4900　　'LINE(GXS,-GYS)-(GXE,-GYE),7

4910　 NEXT JS

4920　 GOSUB *POLYGON

4930 NEXT IS

4940 RETURN

4950 '

4960 ' *** 頂点 ***

4970 '

4980 *VERTEX:

4990 GX=0:GY=0

5000 FOR GS=1 TO M

5010　 GX=GX+BZ(I,GS)*EDGE(GS)*S(GS)

5020　 GY=GY+BZ(J,GS)*EDGE(GS)*S(GS)

5030 NEXT GS

5040 GX=GX+VO(I):GY=GY+VO(J)

5050 RETURN

　

5420 '

5430 ' *** 輪郭抽出 ***

5440 '

5450 *POLYGON:

5460 EPS=.05

5470 FOR JS=1 TO COUNT

5480　 FOR LS=1 TO M:S1(LS)=SS(JS,LS):NEXT LS

5490　 FOR KS=1 TO COUNT

5500　　 FOR LS=1 TO M:S2(LS)=SS(KS,LS):NEXT LS

5510　　 '

5520　　 FOR LS=1 TO M:S(LS)=S0(LS):NEXT LS

5530　　 IF KS=JS THEN 5550

5540　　 FOR LS=1 TO M:S(LS)=S0(LS)+EPS*(S2(LS)-S0(LS)):NEXT LS

5550　　 GOSUB *VERTEX:GXS(KS)=GX:GYS(KS)=GY

5560　　 '

5570　　 FOR LS=1 TO M:S(LS)=S1(LS):NEXT LS

5580　　 IF KS=JS THEN 5600

5590　　 FOR LS=1 TO M:S(LS)=S1(LS)+EPS*(S2(LS)-S0(LS)):NEXT LS

5600　　 GOSUB *VERTEX:GXE(KS)=GX:GYE(KS)=GY

5610　 NEXT KS

5620　 GOSUB *POLYGON.LINE

5630 NEXT JS

5640 RETURN

5650 '

5660 *POLYGON.LINE:

5670 X=GXS(JS):Y=GYS(JS)

5680 FOR KS=1 TO COUNT

5690　 GZ(KS)=(GYE(KS)-GYS(KS))*(X-GXS(KS))-(GXE(KS)-GXS(KS))*(Y-GYS(KS))

5700 NEXT KS

5710 '

5720 ZMAX=GZ(JS):ZMIN=GZ(JS)

5730 FOR KS=1 TO COUNT

5740　 IF KS=JS THEN 5770

5750　 IF ZMAX<GZ(KS) THEN ZMAX=GZ(KS)

5760　 IF ZMIN>GZ(KS) THEN ZMIN=GZ(KS)

5770 NEXT KS

5780 '

5790 SW=0

5800 IF (ZMAX-GZ(JS))*(ZMIN-GZ(JS))=0 THEN SW=1

5810 GXS=GXS(JS):GYS=GYS(JS)

5820 GXE=GXE(JS):GYE=GYE(JS)

5830 IF SW=1 THEN LINE(GXS,-GYS)-(GXE,-GYE),7

5840 RETURN

　

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

　

［２］双対立方体の輪郭線処理

　

　

5850 '

5860 ' *** 双対立方体 ***

5870 '

5880 *DUALCUBE:

5890 T=1:' [non-stochastic]

5900 FOR IS=1 TO M:EDGE(IS)=SQR(T*AZ(IS,IS)):NEXT IS

5910 '

5920 FOR IS=1 TO M

5930　 FOR JS=1 TO M:S(JS)=0:NEXT JS

5940　 S(IS)=1

5950　 FOR JS=1 TO M:S0(JS)=S(JS):NEXT JS

5960　'GOSUB *VERTEX:GXS=GX:GYS=GY

5970　 '

5980　 COUNT=0

5990　 FOR JS=1 TO M

6000　　 IF JS=IS THEN 6140

6010　　 COUNT=COUNT+1

6020　　 FOR KS=1 TO M:S(KS)=0:NEXT KS

6030　　 S(JS)=1

6040　　 FOR KS=1 TO M:SS(COUNT,KS)=S(KS):NEXT KS

6050　　'GOSUB *VERTEX:GXE=GX:GYE=GY

6060　　'LINE(GXS,-GYS)-(GXE,-GYE),7

6070　　 '

6080　　 COUNT=COUNT+1

6090　　 FOR KS=1 TO M:S(KS)=0:NEXT KS

6100　　 S(JS)=-1

6110　　 FOR KS=1 TO M:SS(COUNT,KS)=S(KS):NEXT KS

6120　　'GOSUB *VERTEX:GXE=GX:GYE=GY

6130　　'LINE(GXS,-GYS)-(GXE,-GYE),7

6140　 NEXT JS

6150　 GOSUB *POLYGON

6160 NEXT IS

6170 '

6180 FOR IS=1 TO M

6190　 FOR JS=1 TO M:S(JS)=0:NEXT JS

6200　 S(IS)=-1

6210　 FOR JS=1 TO M:S0(JS)=S(JS):NEXT JS

6220　'GOSUB *VERTEX:GXS=GX:GYS=GY

6230　 '

6240　 COUNT=0

6250　 FOR JS=1 TO M

6260　　 IF JS=IS THEN 6400

6270　　 COUNT=COUNT+1

6280　　 FOR KS=1 TO M:S(KS)=0:NEXT KS

6290　　 S(JS)=1

6300　　 FOR KS=1 TO M:SS(COUNT,KS)=S(KS):NEXT KS

6310　　'GOSUB *VERTEX:GXE=GX:GYE=GY

6320　　'LINE(GXS,-GYS)-(GXE,-GYE),7

6330　　 '

6340　　 COUNT=COUNT+1

6350　　 FOR KS=1 TO M:S(KS)=0:NEXT KS

6360　　 S(JS)=-1

6370　　 FOR KS=1 TO M:SS(COUNT,KS)=S(KS):NEXT KS

6380　　'GOSUB *VERTEX:GXE=GX:GYE=GY

6390　　'LINE(GXS,-GYS)-(GXE,-GYE),7

6400　 NEXT JS

6410　 GOSUB *POLYGON

6420 NEXT IS

6430 RETURN

　

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

　

［３］正単体の輪郭線処理

　

　

6440 '

6450 ' *** 正単体 ***

6460 '

6470 *SIMPLEX:

6480 T=1:' [non-stochastic]

6490 FOR IS=1 TO M:EDGE(IS)=SQR(T*AZ(IS,IS)):NEXT IS

6500 '

6510 FOR IS=1 TO M

6520　 FOR JS=1 TO M:S(JS)=0:NEXT JS

6530　 S(IS)=1

6540　 FOR JS=1 TO M:S0(JS)=S(JS):NEXT JS

6550　'GOSUB *VERTEX:GXS=GX:GYS=GY

6560　 '

6570　 COUNT=0

6580　 FOR JS=1 TO M

6590　　 IF JS=IS THEN 6660

6600　　 COUNT=COUNT+1

6610　　 FOR KS=1 TO M:S(KS)=0:NEXT KS

6620　　 S(JS)=1

6630　　 FOR KS=1 TO M:SS(COUNT,KS)=S(KS):NEXT KS

6640　　'GOSUB *VERTEX:GXE=GX:GYE=GY

6650　　'LINE(GXS,-GYS)-(GXE,-GYE),7

6660　 NEXT JS

6670　 '

6680　　 COUNT=COUNT+1

6690　　 FOR KS=1 TO M:S(KS)=(1-SQR(1+M))/M:NEXT KS

6700　　 FOR KS=1 TO M:SS(COUNT,KS)=S(KS):NEXT KS

6710　　'GOSUB *VERTEX:GXE=GX:GYE=GY

6720　　'LINE(GXS,-GYS)-(GXE,-GYE),7

6730　 GOSUB *POLYGON

6740 NEXT IS

6750 RETURN

　

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【３】雑感

　

　ロボットの動作制御への応用のために，これまで，超球→超立方体→双対立方体と進んできたのだが，｜ω｜≦１をｎ次元球の表現とすると，それに外接するｎ次元立方体は｜ωi｜≦１，内接する双対立方体はΣ｜ωi｜≦１で表される．

　

　ｎ次元立方体の２次元へのアフィン射影は，中心対称な２ｎ角形になる．すなわち，対辺のペアは平行で同じ長さというわけである．また，これを３次元空間に投影したものが平行多面体である．

　

　平行多面体とは，平行移動するだけで３次元空間を埋めつくすことのできる単独の多面体であって，平行多面体は，立方体，６角柱，菱形１２面体，長菱形１２面体（正６角形４枚と菱形８枚の２種類で作る１２面体），切頂８面体の５種類しかない．

　

　このうち，６角柱と菱形１２面体は４次元立方体を３次元に投影したもの，長菱形１２面体は５次元立方体を，切頂８面体は６次元立方体を３次元に投影したものと一致している．これら５種類の図形は５種類の正多面体（プラトン立体）ほどよく知られていないが，少なくとも同じ程度に重要であると考えられる．

　

　なお，正多面体のような対称性をもたない空間充填凸多面体ではもっと多くの面をもつことができる．ｎ次元空間のタイリング（敷き詰め）の問題は完全には解決されたわけではないのだが，これまでのところ，正多面体のような対称性をもたない空間充填凸多面体の面数の最大値は３４面体である（エンゲル，１９８０年）．

　

　再び，２次元平面への投影に戻ろう．ｎ次元多面体の影の幾何学的性質も，まだ完全に理解されているわけではないようであるが，ｎ次元立方体の場合，平行２ｎ角形，正単体の場合ｎ＋１角形になることは確かであろう．

　

　それに対して，双対立方体では平行２（ｎ−１）角形になるものと推察される．このことは双対立方体の各頂点から２（ｎ−１）本の稜がでることから直観的にも納得のいくものであろう．また，ｎ次元立方体の影である２ｎ角形の中心を通る線がない分，その方向へ平行な２本の対辺が減ったものと考えれば辻褄が合うものと考えられる．

　

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