■高次元の正多胞体
R^2の正多角形は無限個ある．それに対して，R^3のなかの正多面体は５種類，R^4では６種類，５次以上では正（ｎ＋１）胞体（正４面体の拡張），正２ｎ胞体（正６面体の拡張），正２^n胞体（正８面体の拡張）の３種類しか存在しないことが知られている．
すなわち，五次元以上のｄ次元の場合は，２ｄ個の頂点と２^d個の辺をもつ双対立方体（三次元では正八面体），２^d個の頂点と２ｄ個の辺をもつ立方体，ｄ＋１個の頂点とｄ＋１個の辺をもつ正単体（三次元では正四面体）の３つですべての正多面体をつくしているのである．
三次元の場合はこれらの他に２つの正多面体＜正十二面体と正二十面体＞があり，四次元の場合は他に３つ＜正２４胞体，正１２０胞体，正６００胞体＞あるといったほうがわかりやすいかと思われる．その意味で，３次元・４次元は特殊な次元なのである．→［補］
コラム「ロボットアームとｎ次元直方体」では，ｎ次元立方体（正２ｎ胞体）を２次元平面上へ投影する方法について紹介した．そして実際に６次元立方体（直方体）を２次元平面上に描いてみると１２角形が得られることをみたが，このことはｎ次元立方体を２次元平面上へ正２ｎ角形を外殻とするように直投影することができることを意味している．３次元立方体であれば，影の形は６角形になるというのである．
今回のコラムでは，遺された２つの正多胞体＜ｎ次元の双対立方体と正単体＞を２次元平面上へ投影する方法について考えてみたい．
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【１】双対立方体
ｎ次元立方体は，
頂点数： ２^n，
稜数： ２^(n-1)ｎ，
四角形数：２^(n-3)ｎ（ｎ−１）
からなっている．このうち，頂点は（±１，±１，・・・，±１）であるから，確かに２^n個あり，各頂点からはｎ本の稜がでるということがわかるだろう．この超立方体の稜の長さは２である．
それに対して，ｎ次元双対立方体では
頂点数： ２ｎ，
稜数： ２ｎ（ｎ−１），
三角形数：２ｎ（ｎ−１）^2／３
であり，各頂点からは２（ｎ−１）本の稜，すなわち，ｎ＝３では４本，ｎ＝６では１０本の稜がでる．
また，ｎ次元双対立方体の各頂点の座標は
（±１，０，・・・，０）
（０，±１，・・・，０）
・・・・・・・・・・・・
（０，０，・・・，±１）
で表される．
例えば，６次元双対立方体の頂点が
（＋１， ０， ０， ０， ０， ０）
の場合，１０個ある稜の対蹠点の座標は
（ ０，±１， ０， ０， ０， ０）
（ ０， ０，±１， ０， ０， ０）
（ ０， ０， ０，±１， ０， ０）
（ ０， ０， ０， ０，±１， ０）
（ ０， ０， ０， ０， ０，±１）
であり，稜の長さは√２である．
もう１個ある頂点
（−１， ０， ０， ０， ０， ０）
との距離は２であり，これとは結ばれない．すなわち，中心を通るもの以外のすべての対角線を入れればよいことがおわかり頂けるであろう．
以下に掲げる描画例は，６次元楕円に内接する双対立方体を，６次元楕円にに従って伸縮させたものである．頂点の位置は６次元楕円の極に対応している．また，これを描画するためのプログラムは超立方体の場合よりも平易になっている．
5370 '
5380 ' *** 双対立方体 ***
5390 '
5400 *DUALCUBE:
5410 T=1:' [non-stochastic]
5420 FOR IS=1 TO M:EDGE(IS)=SQR(T*AZ(IS,IS)):NEXT IS
5430 '
5440 FOR IS=1 TO M
5450 FOR KS=1 TO M:S(KS)=0:NEXT KS
5460 S(IS)=1:GOSUB *VERTEX:GXS=GX:GYS=GY
5470 '
5480 FOR JS=1 TO M
5490 IF JS=IS THEN 5560
5500 FOR KS=1 TO M:S(KS)=0:NEXT KS
5510 S(JS)=1:GOSUB *VERTEX:GXE=GX:GYE=GY
5520 LINE(GXS,-GYS)-(GXE,-GYE),7
5530 FOR KS=1 TO M:S(KS)=0:NEXT KS
5540 S(JS)=-1:GOSUB *VERTEX:GXE=GX:GYE=GY
5550 LINE(GXS,-GYS)-(GXE,-GYE),7
5560 NEXT JS
5570 '
5580 FOR KS=1 TO M:S(KS)=0:NEXT KS
5590 S(IS)=-1:GOSUB *VERTEX:GXS=GX:GYS=GY
5600 '
5610 FOR JS=1 TO M
5620 IF JS=IS THEN 5690
5630 FOR KS=1 TO M:S(KS)=0:NEXT KS
5640 S(JS)=1:GOSUB *VERTEX:GXE=GX:GYE=GY
5650 LINE(GXS,-GYS)-(GXE,-GYE),7
5660 FOR KS=1 TO M:S(KS)=0:NEXT KS
5670 S(JS)=-1:GOSUB *VERTEX:GXE=GX:GYE=GY
5680 LINE(GXS,-GYS)-(GXE,-GYE),7
5690 NEXT JS
5700 NEXT IS
5710 RETURN
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【２】正単体
線分，三角形，四面体（三角錐）はそれぞれ最も簡単な１次元図形，２次元図形，３次元図形であるが，次元数ｎより１つ多い数の頂点によって作られる高次元図形を単体（シンプレックス）と呼ぶ．線分は一次元単体，三角形は二次元単体，三角錐は三次元単体とも呼ばれる所以である．
ｎ次元正単体の場合，
頂点数： ｎ＋１，
稜数： （ｎ＋１）ｎ／２，
三角形数：ｎ（ｎ^2−１）／６
である．すなわち，各頂点からはｎ本の稜がでて，すべての頂点を結ぶと単体ができあがることになる．
ｎ次元正単体の頂点の座標を
（１，０，・・・，０）
（０，１，・・・，０）
・・・・・・・・・・・
（０，０，・・・，１）
としよう．これらの頂点間距離は√２である．
これらの座標が与えられたとき，残りの１点の座標は
（ｘ，ｘ，・・・，ｘ）
とすることができる．他の頂点との距離は√２であるから，
（ｘ−１）^2＋（ｎ−１）ｘ^2＝２
すなわち，
ｎｘ^2−２ｘ−１＝０
を満たさなければならないことより，
ｘ＝｛１±√（１＋ｎ）｝／ｎ
が得られる．
あるいは同じことであるが，頂点を原点に平行移動させ，ｎ個の頂点の座標を
Ｖ1（０，０，０，・・・，０）
Ｖ2（ａ，ｂ，ｂ，・・・，ｂ）
Ｖ3（ｂ，ａ，ｂ，・・・，ｂ）
・・・・・・・・・・・・・・・
Ｖn+1（ｂ，ｂ，ｂ，・・・，ａ）
とするｎ次元単体（ａ＞ｂ＞０）を考えることができる．ここで，各辺の長さが１であるとすれば
ａ^2＋（ｎ−１）ｂ^2＝１，２（ａ−ｂ）^2＝１
が成り立つので，これを解いて
ｂ＝｛√（１＋ｎ）−１｝／ｎ√２
ａ＝ｂ＋１／√２
を得ることもできるだろう．
以下には，
ｘ＝｛１−√（１＋ｎ）｝／ｎ
とした場合の６次元正単体を，対応する６次元楕円に従って収縮・拡張操作を加えて，オーバーラップさせて描いた図を掲載する．
5720 '
5730 ' *** 正単体 ***
5740 '
5750 *SIMPLEX:
5760 T=1:' [non-stochastic]
5770 FOR IS=1 TO M:EDGE(IS)=SQR(T*AZ(IS,IS)):NEXT IS
5780 '
5790 FOR IS=1 TO M
5800 FOR KS=1 TO M:S(KS)=0:NEXT KS
5810 S(IS)=1:GOSUB *VERTEX:GXS=GX:GYS=GY
5820 '
5830 FOR JS=1 TO M
5840 IF JS=IS THEN 5880
5850 FOR KS=1 TO M:S(KS)=0:NEXT KS
5860 S(JS)=1:GOSUB *VERTEX:GXE=GX:GYE=GY
5870 LINE(GXS,-GYS)-(GXE,-GYE),7
5880 NEXT JS
5890 '
5900 FOR KS=1 TO M:S(KS)=(1-SQR(1+M))/M:NEXT KS
5910 GOSUB *VERTEX:GXE=GX:GYE=GY
5920 LINE(GXS,-GYS)-(GXE,-GYE),7
5930 NEXT IS
5940 RETURN
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【３】雑感
３次元正多面体は６個，４次元正多胞体が６個，５次元以上では３個あることはどの本にも載っていることなのであるが，２次元平面上に投影した際の影の形が何角形になるかについてはほとんど触れられていない．かくいう小生もこれまでそのような言明を見たことがない．
立方体と正４面体の立体図をフリーハンドで描いてみて欲しい．輪郭はそれぞれ６角形と４角形になる．このことから，ｎ次元立方体の輪郭は２ｎ角形，ｎ次元正単体の輪郭はｎ＋１角形になるものと推察できるであろう．
正８面体の場合は微妙である．立方体の双対であるから６角形になると予想されるが，見取り図を描いみると４角形にしかならないからである．ここで作成したプログラムでは，パラメータを変えることによって，いろいろな方向から６次元双対立方体と６次元正単体を描くことができるから，実際に描いて影の形を検討することができる．
また，その一助となるように「ロボットアームとｎ次元直方体（その３）」で試みた，２次元平面に投影した際の混雑した稜線の中から輪郭線だけを抽出するプログラムを近々作成しようと考えている．
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［補］今回のコラムでは，久々に幾何学からテーマを選んだが，いくつかの用語を解説して稿を終えることにしたい．
［１］星形正多角形と雪型正多角形
正多角形の辺を延長すると星形の正多角形が得られるが，そのとき，辺が一連になって一つの多角形を作る場合と２つ以上の多角形に分かれる場合がある．前者を星形正多角形，後者を雪型多角形という．正５角形からは星形（ソロモンの星）が，正６角形からは雪型（ダビデの星）が得られる．
ダビデの星はイスラエルの国旗にも使われ，ユダヤ人の象徴とされている．また，ダビデはソロモン王の父であるが「ソロモンの指輪」は名著として定評があるのでご存知の方も多いと思われる．
［２］星形正多面体と雪型正多面体
コラム「正多面体は総計１５種類ある」では，スポンジ型正多面体にはコクセターの見つけた３種類あることを述べたが，その際，星形正多面体が４種類あることについて言及した．
一方，２つの正４面体を逆向きに抱き合わせた星形８面体「ケプラーの８角星」は，２４面すべてが正三角形よりなるものの，星形正多面体には通常加えられず，正多面体からも除外される．
ケプラーの８角星は雪型正多面体（複合正多面体）に分類されるのであるが，複合多面体とは，いくつかの多面体を中心がすべて一致するように重ね合わせたものであって，多面体が同じくらいの大きさならば，互いに交わったり，ある面が他の面を突き抜けたりする．雪型正多面体は全部で５種類あり，ケプラーの「星形８面体」は最も簡単なものである．
（問）同じ大きさの正３角形２個のうち，１個を天地逆転させ，もう１個の正３角形に重ねると，星形の外側と内側にそれぞれ６角形ができる．それでは，同じ大きさの正４面体２個を重ねた場合，その外側と内側にはどのような立体ができるだろうか？
この問題はダビデの星の３次元版で，同じ大きさの正４面体２個による屋根瓦状の相貫体にはケプラーの８角星という名前がつけられているのである．最も簡単な複合多面体なので，これが頭の中でイメージできれば答は簡単であるが，勘の働きにくい問題であろう．
正８面体を芯として，このとき，ケプラーの８角星の頂点は立方体の頂点をなすというのが正解である．
［３］デルタ多面体
正３角形ばかりを集めると４面体から２０面体まで，１８面体以外の８種類すべての偶数多面体ができる．そのうち，正４面体，正８面体，正２０面体は正多面体にも分類されるが，それらを含めて全部で８種類あることになる．
同様に，正方形１種類では立方体のみ，正５角形１種類では正１２面体のみが得られ，正６角形以上の正多角形ばかりでは凸多面体はできない．結局１種類の正多角形でできる凸多面体は合計１０種類である．
［４］凸多面体
４面体は４つの頂点と４つの面から構成されるので，頂点数を加えていうと，４点４面体である．５面体には４角錐（５点５面体）と３角柱（６点５面体）がある．６面体には５点６面体が１種類，６点６面体，７点６面体，８点６面体が２種類ずつの合計７種類ある．以下，７面体には３４種類，８面体には２５７種類，９面体には２６６種類あるとのことである．
［５］４次元正多胞体
４次元には６種類の正多胞体がある．正８胞体（４次元立方体）のほか，
正５胞体（４次元正４面体）
正１６胞体（４次元正８面体）
正２４胞体（相当する正多面体はない）
正１２０胞体（４次元正１２面体）
正６００胞体（４次元正２０面体）
である．
単独で空間を充填する平面充填正多角形は３種類（正三角形・正方形・正六角形），空間充填正多面体は１種類（立方体）であるが，４次元空間を１種類の正多胞体で埋めつくす図形は，正８胞体，正１６胞体，正２４胞体の３種類であり，４次元の最密規則的充填構造は，正２４胞体で埋めつくされているときであることが知られている．
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