円が直線上を回転するとき，円の中心が描く軌跡は定直線に平行な直線となります．円を正方形に置き換えてみると，頂点が回転軸となりますから，正方形の中心は中心角π／２の円弧を連ねた波型曲線を描きます．正三角形の場合，その中心（重心）は中心角２π／３の円弧をつないだ曲線になります．

　

　一般に，正ｎ角形の場合，中心角２π／ｎの円弧をつないだ曲線となるのですが，円の場合は正ｎ角形のｎ→∞のときの極限として，平行線を描くというわけです．

　

　今回のコラムでは，エンジンのカムの設計などに関連するテーマと取り上げますが，まず，２次曲線（楕円・放物線・双曲線）が基線上を転がるときに，焦点の描く軌跡を求めてみます．

　

　次に，逆問題，ある曲線に付帯する定点（焦点）が直線を描く場合，その基線となる曲線を求めてみます．これにより，直線上を転がる正方形の中心の描く軌跡と，正方形の中心が直線を描く場合の基線は一致しないことを実際に確かめてみることにします．

　

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【１】順問題

　

　２次曲線を極座標表示を用いて

　　ｒ＝ｌ／（１＋ｅｃｏｓθ）

と定義します（ｅ：離心率，ｌ：最近接点距離）．その方が曲線の転がりを簡単に表せるからです．

　

　　ｘ＝ｒｃｏｓθ，ｙ＝ｒｓｉｎθ

ですから，２次曲線上の点Ｐにおける接ベクトルは，（’＝ｄ／ｄθ）として

　　ｘ’＝ｒ’ｃｏｓθ−ｒｓｉｎθ

　　ｙ’＝ｒ’ｓｉｎθ＋ｒｃｏｓθ

したがって，

　　ｘ’＝−ｌｓｉｎθ／（１＋ｅｃｏｓθ）^2

　　ｙ’＝ｌ（ｅ＋ｃｏｓθ）／（１＋ｅｃｏｓθ）^2

となります．

　

　次に，ベクトルＯＰ↑＝（ｘ，ｙ）と接ベクトル（ｘ’，ｙ’）のなす角をφを求めてみます．内積は

　　ｘｘ’＋ｙｙ’＝−ｌ^2ｅｓｉｎθ／（１＋ｅｃｏｓθ）^3

ですから，ノルムの積で割ってやると

　　ｃｏｓφ＝−ｅｓｉｎθ／（１＋２ｅｃｏｓθ＋ｅ^2）^(1/2)

　　ｓｉｎφ＝（１＋ｅｃｏｓθ）／（１＋２ｅｃｏｓθ＋ｅ^2）^(1/2)

が得られます．

　

　また，周長は

　　ｓ（θ）＝∫(0,θ){r^2+(dr/dθ)^2}^(1/2)ｄθ

＝∫(0,θ)ｌ（１＋２ｅｃｏｓθ＋ｅ^2）^(1/2)／（１＋ｅｃｏｓθ）^2ｄθ

となります．

　

　したがって，焦点の座標（ｘ，ｙ）は

　　ｘ（θ）＝ｓ（θ）＋ｒ（θ）ｃｏｓφ（θ）

　　ｙ（θ）＝ｒ（θ）ｓｉｎφ（θ）

となることがわかります．

　

　楕円の場合，中心角ψ，長径ａ，短径ｂを用いて，

　　ｘ＝ｒｃｏｓθ＝ａｃｏｓψ−（ａ^2−ｂ^2）^(1/2)

　　ｙ＝ｒｓｉｎθ＝ｂｓｉｎψ

でパラメトライズできますから，周長ｓ（θ）は第２種楕円積分を変数変換したものになりますが，簡単な形には表せません．放物線・双曲線でも同様です．

　

　そのため，

　　ｘ（θ）＝ｓ（θ）＋ｒ（θ）ｃｏｓφ（θ）

　　ｙ（θ）＝ｒ（θ）ｓｉｎφ（θ）

のままにしておきますが，この曲線は離心率ｅの値によって，

　　楕円（０≦ｅ＜１）　→　アンデュラリー

　　放物線（ｅ＝１）　　→　カテナリー（懸垂線）

　　双曲線（ｅ＞１）　　→　ノーダリー

と呼ばれます．

　

　ｅを変化させると，楕円→放物線→双曲線となるのに応じて，焦点の描く軌跡はアンデュラリー→カテナリー→ノーダリーへと連続的に変化します．

　

　ｅ＝１のとき，孤長パラメータをｓとすると，

　　ｘ＝∫(0,s)c/{c^2+t)^2)^(1/2)dt＝clog((s+(c^2+s^2)^(1/2))/c)

　　ｙ＝(c^2+s^2)^(1/2)

２つの式からｓを消去すると

　　ｙ／ｃ＝ｃｏｓｈ（ｘ／ｃ）

となり，

　　ｙ＝ｃｏｓｈ（ｘ）

を相似変換したものであることがわかります．

　

　これは懸垂線（カテナリー）で，伸び縮みしないひもの両端を固定しぶら下げてできる曲線です．懸垂線はちょっとみると放物線ではないかと思われがちですが，放物線よりもずっときつく上昇する曲線です．

　

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【２】平均曲率一定の回転面

　

　曲線（ｘ（θ），ｙ（θ））をｘ軸のまわりに回転させてできる回転面を考えます．そのとき，平均曲率Ｈは，

　　Ｈ＝（ｙ’ｘ”−ｙ”ｘ’）／２（ｘ’^2＋ｙ’^2）^3＋ｘ’／２ｙ（ｘ’^2＋ｙ’^2）

で与えられます．

　

　２次曲線の焦点の描く軌跡を母線とする場合，

　　ｘ（θ）＝ｓ（θ）＋ｒ（θ）ｃｏｓφ（θ）

　　ｙ（θ）＝ｒ（θ）ｓｉｎφ（θ）

を代入すると

　　Ｈ＝（１−ｅ^2）／（２ｌ）

すなわち，一定になることがわかります．

　

　このような平均曲率一定の回転面は「ドローネー曲面」と呼ばれますが，１８４１年，ドローネーは平均曲率一定の回転面をすべて決定し，それが平面・円柱面・球面・懸垂面（カテノイド）・アンデュロイド・ノドイドの６種に分類されることを示しました．

　

　母線が円のとき球面，楕円のときアンデュロイド，線分のとき直円柱面，放物線のとき懸垂面（カテノイド），双曲線のときノドイドが得られるというわけです．回転面に限ると平均曲率一定曲面の数は意外に少ないのですが，これらはプラトーの回転面とも命名されています．

　

　ｅ＝１のとき，Ｈ＝０（極小曲面）となります．すなわち，懸垂線は与えられた２点を両端とする一定の長さの曲線をｘ軸を軸として回転させたときにできる曲面の表面積を最小にする曲線であるというわけですが，回転面で極小曲面は懸垂面（カテノイド）に限られます．→［参］コラム「眼から鱗が落ちるかも」参照

　

　次に，

　（問）互いに平行な２つの円形の枠に石けん膜を張ったとき，その形は？

　（答）カテナリー

に対して，

　（問）互いに平行な２つの円盤に石けん膜を張ったとき，その形は？

を考えてみることにしましょう．

　

　この問題の解はアンデュロイドと呼ばれるカテノイドとは別の平均曲率一定曲面になります．この曲面は楕円を直線上を転がしたときに，ひとつの焦点が描く波状の軌跡を直線のまわりに回転させたものになっていて，ある種の生物はアンデュロイドに似た形状をもつことが知られています．なお，ノドイドは自己交叉をもつ曲面となります．→［参］トムソン「生物のかたち」東大出版会．

　

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［詳］ドローネーの定理

　

　ｓを孤長パラメータとして，与えられた連続関数Ｈ＝Ｈ（ｓ）を平均曲率にもつ回転面の生成曲線は，

　　x=∫(0,s){(G(t)+c2)F'(t)-(F(t)-c1)G'(t)}/{(F(t)-c1)^2+(G(t)+c2)^2)^(1/2)dt

　　y={(F(s)-c1)^2+(G(s)+c2)^2)^(1/2)

と書くことができます．ただし，

　　F(s)=∫(0,s)sin(2∫(0,u)H(t)dt)du

　　G(s)=∫(0,s)cos(2∫(0,u)H(t)dt)du

　

　Ｈ＝０の場合，F(s)=0,G(s)=s

　　x=∫(0,s)c1/{(c1)^2+(t+c2)^2)^(1/2)dt

　　y={(c1)^2+(s+c2)^2)^(1/2)

より

　　ｃ1＝０のとき直線（回転面は平面）

　　ｃ1≠０のときカテナリー（回転面はカテノイド）

　

　Ｈ＝一定（≠０）の場合，

　　x=∫(0,s)(1+2Bsin2Ht)/{1+B^2+2Bsin2Ht}^(1/2)dt

　　y=1/2H･{1+B^2+2Bsin2Ht}^(1/2)

より

　　Ｂ＝０のとき直線（回転面は円柱面）

　　０＜Ｂ＜１のときアンデュラリー（回転面はアンデュロイド）

　　Ｂ＝１のとき半円（回転面は球面）

　　Ｂ＞１のときノーダリー（回転面はノドイド）

すなわち，固定したＨ（≠０）に対し，Ｂを変化させると，円柱→アンデュロイド→球面→ノドイドへと連続的に平均曲率を保ったまま変形されます．

　

　これらは円錐の切断面である２次曲線（円・楕円・線分・放物線・双曲線）を，サイクロイドのように基線上を転がしたときに，焦点の描く軌跡を基線を軸として回転させることによってできる回転面であることが証明されています．

　

［参］剣持勝衛「曲面論講義」培風館

　

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【３】逆問題

　

　タイヤが歪んでいるとき，平らな道の上を滑らかに転がることができません．しかし，逆に考えると，歪んだタイヤでも凸凹具合によっては滑らかに転がることができる道があるはずです．そこで，ここでは，ある曲線に付帯する定点（回転軸）が水平線を描く場合の基線となる曲線を求めることにします．

　

　車輪の曲線を極座標表示してｒ＝ｒ（θ），道の曲線をｙ＝ｙ（ｘ）とします．その際，直交座標上での曲線の長さは

　　ｌ（ｘ）＝∫(0,x){1+(dy/dx)^2}^(1/2)dx

また，極座標上における曲線の長さは，前述したように，

　　ｓ（θ）＝∫(0,θ(x)){r^2+(dr/dθ)^2}^(1/2)ｄθ

で与えられます．

　

　車輪が滑らずに転がることから，ｌ（ｘ）＝ｓ（θ）

この両辺をｘで微分して，２乗すると

　　1+(dy/dx)^2={r^2+(dr/dθ)^2}(dθ/dx)^2

　

　また，道の深さと車輪の動径が等しいことより

　　ｒ（θ(x)）＝−ｙ（ｘ）

これを微分すると

　　dr/dθ･dθ/dx=-dy/dx

前式にこれを代入して

　　ｄθ／ｄｘ＝−１／ｙ（ｘ）

が得られます．

　

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【４】四角い車輪

　

　車輪の形：ｒ＝ｒ（θ）が与えられているときには，ｙ（ｘ）＝ｒ（θ）ですから

　　ｄθ／ｄｘ＝１／ｒ（θ(x)）

を解くことになります．

　

　四角い車輪が転がる場合について求めてみることにしましょう．１辺の長さが２の正方形の場合，下辺は

　　ｒ＝−１／ｓｉｎθ　　（-3π/4≦θ≦-π/4）

で表されます．したがって，解くべき方程式は

　　ｄθ／ｄｘ＝−ｓｉｎθ　　（θ(0)=-π/2）

　

　この方程式は変数分離形ですから，

　　∫(-π/2,θ)１／ｓｉｎθｄθ＝−∫(0,x)ｄｘ

左辺は

　　ｌｏｇ（−ｔａｎ（θ／２））

右辺は−ｘですから，

　　ｘ＝−ｌｏｇ（−ｔａｎ（θ／２））

　→ｅｘｐ（−ｘ）＝ｔａｎ（θ／２）

　

　したがって，

　　ｙ＝１／ｓｉｎθ＝−ｃｏｓｈ（ｘ）

すなわち，懸垂線を逆さまにした曲線となります．

　

　正方形が直線上を回転するとき，正方形の頂点が回転軸となるため，正方形の中心は中心角π／２の円弧を連ねた曲線を描きますが，それとはまったく異なる曲線（懸垂曲線）が得られたことになります．四角い車輪の場合，辺上の接点と懸垂線とは，伸開線と縮閉線のような関係にあるのです．

　

　また，正方形の中心から頂点までの距離は√２ですから，ｃｏｓｈ（ｘ）＝√２を解いて，

　　ａ＝ｌｏｇ（１＋√２）

が得られます．２ａごとにこれを平行移動でつないだ曲線

　　ｙ＝−ｃｏｓｈ（ｘ−ｋａ）

　　（２ｋ−１）ａ≦ｘ≦（２ｋ＋１）ａ，ｋは整数

が道の曲線となるわけです．

　

　一般に，１辺の長さが２の正ｎ角形の車輪の場合，中心から頂点までの距離はｃｏｓｅｃ（π／２）ですから，解曲線は

　　ｙ＝−ｃｏｓｈ（ｘ）

　　｜ｘ｜≦ｌｏｇ（ｃｏｔ（π／２）＋ｃｏｓｅｃ（π／２））

となります．

　

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【５】コサインの道

　

　逆に，道の定義ｙ＝ｙ（ｘ）が与えられているときは，微分方程式

　　ｄθ／ｄｘ＝−１／ｙ（ｘ）

を初期条件：θ(0)＝-π/2の下に解くことになります．

　　θ(x)＝-∫(0,x)1/y(u)du-π/2

　

　道の曲線が関数：ｙ＝ｃｏｓ（ｘ）−√２で与えられている場合の車輪の形を求めてみましょう．

　　θ(x)＝-∫(0,x)1/y(u)du-π/2

より，

　　θ＝ａｒｃｔａｎ（（√２＋１）ｔａｎ（ｘ／２））−π／２

したがって，

　　ｔａｎ（ｘ／２）＝（√２−１）ｔａｎ（１／２（θ＋π／２））

　

　あとは，変数変換によって，

　　ｃｏｓ（ｘ）＝（１−√２ｓｉｎθ）／（√２−ｓｉｎθ）

これより，極座標表示された車輪の曲線の式は

　　ｒ＝−ｙ＝√２−ｃｏｓθ＝１／（√２−ｓｉｎθ）

となり，楕円を表すことがわかります．

　

　実際，ｘ＝ｒｃｏｓθ，ｙ＝ｒｓｉｎθを代入すると，

　　√２ｒ−ｒｓｉｎθ＝√２ｒ−ｙ＝１

　　√２ｒ＝ｙ＋１，ｒ＝（ｘ^2＋ｙ^2）^(1/2)

より，楕円

　　ｘ^2＋（ｙ−１）^2／２＝１

が得られますが，この場合も順問題の答がアンデュロイドだったのに対して，逆問題の答は三角関数になるというわけです．

　

［参］高桑昇一郎「微分方程式と変分法」共立出版

　

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【６】すべての円の周の長さは等しい

　

　これまでのテーマとまったく関連のない話ですが，最後にパラドックスをひとつ紹介します．

　

　大きな円と小さな円を中心を重ねて固定します．同心円となるわけですが，大きな円が直線上を１回転するとき，同心の小さな円もそれと平行な直線上を１回転します．したがって，任意の２つの円周は等しくなり，すべての円の周の長さは等しいことが証明されます（アリストテレスの輪のパラドックス）．

　

　このトリックは，大きな円は滑らないで回転するが，小さな円はある程度すべるということに気付けば解決できます．２つの円を正方形のような正多角形２個で置き換えてみるとわかりやすいのですが，大正方形が１回転した後に，小正方形の軌道には隙間を生じます．すなわち，小さな正方形も円（正多角形の極限）も滑りながら進んでいるというわけです．

　

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