■４次元・５次元を垣間みる
３次元正多面体が５種類あって５種類しかないことは，オイラーの多面体定理（ｖ−ｅ＋ｆ＝２）と握手定理（多面体の１つの頂点に集まる面の形と数をｐ，ｑとすると，ｐｆ＝２ｅ，ｑｖ＝２ｅ）から簡単に証明できます．
そこで，出張の車中で「４次元正胞体は６種類，５次元以上では３種類ある」ことを証明しようと思い立ったものの，オイラー・ポアンカレの定理をどのように用いればよいのかすぐにはわかりませんでした．４次元空間では，オイラー・ポアンカレの定理
ｖ−ｅ＋ｆ−ｃ＝０
が成り立ち，３次元と同様の方法によって正則胞体を定めることができるはずですが，なかなかうまくいかないのです．
４次元正多胞体が６個，５次元以上では３個あることはどの本にも載っていることなのですが，これまで，なぜか証明を見たことがありません．本に載せるほど易しい問題ではないのか？ それとも自明だから載らないのか？・・・ということで，今回のコラムを書いてみることにしました．
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【１】４次元・５次元の球体充填問題
まず最初に，２次元格子・３次元格子におけるの球の詰め込み問題について考えてみましょう．
配位数 充填率
正方格子 ４ π／４＝．７８５４
三角格子 ６ √３π／６＝．９０６９（最密充填）
六角格子 ３ √３π／９＝．６０４６
カゴメ格子 ４ √３π／８＝．６８０２
充填率とは，同じ大きさの球（２次元の場合は円板）を各格子点に配置し，最近接球同士が互いに接するようにしたとき，単位格子の体積に対して球が占める体積の比をいいます．
たとえば，点が正三角形配置したとき，格子の面積をｓとすれば，ｓ＝√３／４ｒ^2，また，格子には面積１／４πｒ^2の円が１／６×３＝１／２個割り当てられる関係になりますから，充填率は√３π／６と計算されます．２次元格子において，充填率の値が最大値をとるのは，格子点が正三角形配置したときになります．
一方，３次元空間格子（ブラーベ格子）は１４種類存在しますが，その中で立方対称性をもつものは，単純立方格子，体心立方格子，面心立方格子の３種類です．
配位数 充填率
単純立方格子 ６ π／６＝．５２３６
対心立方格子 ８ √３π／８＝．６８０２
面心立方格子 １２ √２π／６＝．７４０５（最密充填）
ダイヤモンド格子 ４ √３π／１６＝．３４０１
配位数とは１個の球に何個の同じ大きさの球が接しているかを表しています．面心立方構造ではどの球にも１２個ずつの球が接します．体心立方構造ではどの球にも８個の球しか接しませんから，面心立方構造ほど密に詰め込んだ配置にはなっていません．
１６１１年，ケプラーは，物質を構成する粒子は体積を最小とするように自己を組織化するだろうという構成原理を考えました．そこで，粒子が球形だと仮定して，さまざまな配置の空間充填率を計算してみました．ケプラーが最初に試みたのは，それぞれの球が６個の球に囲まれるように第１層を構成し，第２層は第１層のくぼみに球を置くという積み方です．これは別の角度からみると，立方体の８個の頂点と６面の中心に球が配置されているところから，面心立方格子と呼ばれている配置ですが，この積み方は八百屋の店先でミカンなどの山を安定に積み上げるために使われている日常的な配置です．この場合の充填率は√２π／６（７４．０４％）になります．
面心立方格子が最も密な球の充填方法だろうという予想は４００年近く前のケプラーまでさかのぼります．日常の経験からしても，同じ大きさの球の最も効果的な配置問題は自明なものと考えてしまいがちで，直感的に面心立方格子をなす場合が最大に詰め込んだ配置のように思えます．しかしだからといって，無限にある可能性をすべてひっくるめて証明したわけではないので，これは定理ではなく予想にすぎません．ランダムな配置まで含めると，空間充填率が７４．０４％よりも引き上げられるかもしれないからです．
現在，ケプラーの問題については大半の数学者がまず間違いないだろうと考え，すべての物理学者が当たり前だと思っているのですが，面心立方格子が３次元空間における最密充填構造だという証明にはまだ至っていないのです．
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もっとも稠密な格子状球配置を求める問題はより高次元の空間においても考えることができます．４次元，５次元においては面心立方格子の類似品となりますから，球配置密度を次のようにして求めることができます．
ａ）半径１の球の体積ｖnは，
Ｖn=π^(n/2)/(n/2)!=π^(n/2)/Γ(n/2+1)
で与えられる．すなわち，２次元空間においてはπ，３次元では４／３π，４次元ではπ^2／２，５次元では８／１５π^2，６次元ではπ^3／６である．このように，超球の体積はｎ＝５のとき最大
８π2／１５＝５．２６３７・・・
となり，以後は次元とともにどんどん減少する．
ｂ）２次元面心立方格子の充填率は，２ｖ2／（２√２）^2
３次元面心立方格子の充填率は，２^2ｖ3／（２√２）^3
これと同様に，
４次元面心立方格子の充填率は，２^3ｖ4／（２√２）^4
５次元面心立方格子の充填率は，２^4ｖ5／（２√２）^5
以上より，最密充填密度は次の表のようになります．
平面 √３π／６＝．９０６９（三角格子）
３次元空間 √２π／６＝．７４０５（面心立方格子）
４次元空間 π^2／１６＝．６１７
５次元空間 √２π^2／３０＝．４６５
しかし，６次元以上の高次元空間においては，平面における正三角形格子や３次元空間における面心立方格子に対応する格子は，もはや稠密な球配置を与えてはくれません．次元の上昇とともに，超球の間の隙間が大きくなっていくからです．
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密度が最大ではありませんが，立方体状球配置も興味ある格子状球配置です．
２次元単純立方格子の充填率は，ｖ2／２^2
３次元単純立方格子の充填率は，ｖ3／２^3
ですから，
ｎ次元単純立方格子の充填率は，ｖn／２^n
になります．
ｎ ｖn／２^n ｎ ｖn／２^n
１ 1 ６ 0.08
２ 0.79 ７ 0.04
３ 0.52 ８ 0.02
４ 0.31 ９ 0.006
５ 0.16 10 0.0025
このことから，ｎ次元超立方体[-1,1]^n（体積2^n）において，単位超球が占める比率は，ｎ＝２であればπ／４(79%)であるが，ｎ＝５のときは16%に下落し，ｎ＝１０となると0.25%になることが理解されます．
単位超球を超立方体中に置くと，次元が大きくなるにつれて隙間がより大きくなるのですが，そのため，高次元において超立方体内に一様分布する超球を考えるとき，低次元の場合とは対照的に，大部分は超球外に位置することになります．
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最も稠密な球配置とは反対に，最も疎な球配置問題も考えられます．この場合，それぞれの球は少なくとも４つの球に接していなければなりません．そうでないと，どの球もその周りの球によってしっかりと空間に支えられていることができないからです．そこで，正４面体の重心と４つの頂点に球の中心がある正４面体状球配置が，最疎配置の候補としてあげられます．例えば，ダイヤモンド格子はその例です．
ダイヤモンド格子は，格子定数を単位として(1/4,1/4,1/4)だけずれた２個の面心立方格子から成り立っています．立方対称ではなく，剛体球で満たされる体積も√３π／１６＝．３４０と小さいのですが，きわめて硬い結晶を構成します．
しかし，正４面体状球配置Ｄは最疎配置ではありません．正４面体の頂点に位置する４つの球が２つずつ接するように，これを少し変形させることによって，はるかに疎な配置ｄ
ｄ＝４／（√（３／２）＋１）^3Ｄ＝０．３６３３Ｄ
が得られることが知られています．ここで，√（３／２）は１辺の長さ２の正４面体の重心と頂点の距離です．
これまで考察してきた３次元の球配置定数をまとめると，以下の表のようになります．
配位数 充填率
単純立方格子 ６ π／６＝．５２３６
対心立方格子 ８ √３π／８＝．６８０２
面心立方格子 １２ √２π／６＝．７４０５（最密充填）
ダイヤモンド格子 ４ √３π／１６＝．３４０１
変形４面体状球配置 ４ ０．１２３（最疎充填）
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【２】４次元・５次元の正則胞体
R^2の正多角形は無限個あります．しかし，R^3のなかの正多面体としては５種類，R^4では６種類，５次以上では正（ｎ＋１）胞体（正４面体の拡張），正２ｎ胞体（正６面体の拡張），正２^n胞体（正８面体の拡張）の３種類しか存在しないことが知られています．
二次元における正多角形，三次元における正多面体と同じ概念が四次元における正多胞体で，正（５，８，１６，２４，１２０，６００）胞体の６種類です．三次元の正多面体は５種類であり，五次元以上でも３種類しかないのに，四次元では６種類もあることは四次元の不思議ともいうべき事実です．→この証明は【５】参照
二次元空間の正三角形の相当する三次元図形は正四面体，正方形は立方体，正五角形は正十二面体に相当しますが，４次元の正多胞体も三次元空間の正多面体に相当する図形です．
正５胞体 （４次元正４面体）
正８胞体 （４次元正６面体：超立方体）
正１６胞体 （４次元正８面体）
正２４胞体
正１２０胞体 （４次元正１２面体）
正６００胞体 （４次元正２０面体）
正２４胞体に相当する３次元正多面体はありません．なぜかというと，正２４胞体は自己双対かつ中心対称であり，３次元空間でそれに対応する正多面体はないからです．→【補】参照
正２４胞体（２４胞，正３角形のみからなる９６面，９６辺，２４頂点）こそが，四次元特有の物体であると考えられるのですが，正２４胞体は，四次元空間で三次元空間の立方体にあたる正八胞体（８胞，２４面，３２辺，１６頂点）と正八面体にあたる正十六胞体（１６胞，３２面，２４辺，８頂点）を重ねてできますから，その意味で４次元版の菱形十二面体に相当します．
４次元空間の正多胞体
境界多面体 頂点数 双対性 ３次元対応
５胞体 正４面体 ５ 自己双対（非中心対称） 正４面体
８胞体 立方体 １６ １６胞体と双対 立方体
１６胞体 正４面体 ８ ８胞体と双対 正８面体
２４胞体 正８面体 ２４ 自己双対（中心対称）
１２０胞体 正１２面体 ６００ ６００胞体と双対 正１２面体
６００胞体 正４面体 １２０ １２０胞体と双対 正２０面体
４次元多胞体では，頂点，辺，面，胞の個数の間に，シュレーフリの公式：
ｖ−ｅ＋ｆ−ｃ＝０
が成立します．これを高次元へ一般化したものがオイラー・ポアンカレの定理ですが，４次元空間においては，点ｖは空間ｃと直線ｅは平面ｆと双対的に対応します．以下，正多胞体の頂点数，辺数，面数，胞数を掲げます．
頂点数 辺数 面数 胞数
５胞体 ５ １０ １０ ５
８胞体 １６ ３２ ２４ １６
１６胞体 ８ ２４ ３２ ８
２４胞体 ２４ ９６ ９６ ２４
１２０胞体 ６００ １２００ ７２０ １２０
６００胞体 １２０ ７２０ １２００ ６００
なお，平面充填正多角形は３種類（正三角形・正方形・正六角形），空間充填正多面体は１種類（立方体）ですが，４次元空間を１種類の正多胞体で埋めつくす図形は，正８胞体，正１６胞体，正２４胞体の３種類であり，４次元の最密規則的充填構造は，正２４胞体で埋めつくされているときであることが知られています．→【１】参照
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五次元以上のｄ次元の場合は，２ｄ個の頂点と２^d個の辺をもつ双対立方体（三次元では正八面体），２^d個の頂点と２ｄ個の辺をもつ立方体，ｄ＋１個の頂点とｄ＋１個の辺をもつ正単体（三次元では正四面体）の３つですべての正多面体をつくしています．
ｎ次元空間の正多胞体（ｎ≧５）
境界胞体 頂点 双対性 対応
（ｎ＋１）胞 ｎ胞体 ｎ＋１ 自己双対 正４面体・５胞体
２ｎ胞体 （２ｎ−２）胞体 ２^n ２^n胞体 立方体・８胞体
２^n胞体 ｎ胞体 ２ｎ ２ｎ胞体 正８面体・１６胞体
正４面体，正６面体，正８面体の多次元への拡張はわかりやすいと思われますが，３次元空間の正１２面体，正２０面体，４次元空間の２４胞体，１２０胞体，６００胞体は，より高次元においては対応するものをもたないわけです．
しかし，それよりも，三次元の場合はこれらの他に２つの正多面体＜正十二面体と正二十面体＞があり，四次元の場合は他に３つあるといったほうがわかりやすいと思われます．
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【３】オイラー・ポアンカレの定理
凸多面体の頂点，辺，面の数をそれぞれｖ，ｅ，ｆとすると，
ｖ−ｅ＋ｆ＝２ （オイラーの多面体定理）
が成り立ちます．これは３次元立体について，０次元の特性数であるｖ，１次元の特性数であるｅ，２次元の特性数であるｆの関係を述べたものと解釈されます．
量（ｖ−ｅ＋ｆ）はオイラー標数と呼ばれます．オイラー標数は幾何学において重要な概念である位相不変量の草分けであり，一般に，図形がいくつかの３角形によって分割されているとき，
頂点の数−辺の数＋３角形の数
は分割の仕方によらず定まり，図形に固有な量になるというものです．例えば，平面図形（多角形）は，１つの面が無限大となって全体が一面に広がってしまった正多面体と解釈することができますから，オイラー標数は１となり，また，種数（穴の数）ｇの向き付け可能な閉曲面の場合は２−２ｇとなることはよく知られています．
オイラーの多面体定理を一般化したものが，オイラー・ポアンカレの定理です．オイラー数はベッチ数の交代和（奇数次元に対応する数には−，偶数次元に対応する数には＋の符号を付ける）
Ｐv−Ｐe＋Ｐf−Ｐg＋Ｐh−Ｐi＋・・・
に等しいというのが，オイラー・ポアンカレの内容ですが，ベッチ数（１９世紀の数学者に因んだ名前）とは，形には関係しないで，接触と分離にだけ関係するトポロジカルな示性数で，簡単にいえば図形の中に潜む種々の次元の穴の数（閉じた回路）のことです．
二次元における正多角形，三次元における正多面体と同じ概念が，四次元における正多胞体で，正（５，８，１６，２４，１２０，６００）胞体の６種類あります．胞の個数をｃで表すと，４次元空間では，
ｖ−ｅ＋ｆ−ｃ＝０
というオイラー・ポアンカレの定理が成り立っています．
オイラー・ポアンカレの定理の証明は，比較的簡単です．
（証明）
線分と三角形および四面体は，それぞれ最も簡単な１次元図形，２次元図形，３次元図形です（単体：シンプレックス）．線分は２つの端点（０次元の境界要素）をもち，その内部は１次元です．三角形は３つの頂点（０次元）と３つの辺（１次元）をもち，その内部は２次元です．四面体は４つの頂点（０次元）と６つの辺（１次元）および４つの面（２次元）をもち，その内部は３次元です．
これらの数をまとめて書くと
２，１
３，３，１
４，６，４，１
ですが，これらの数はパスカルの三角形の一部分に相当しています．これから類推すると４次元のシンプレックスは５，１０，１０，５，１，すなわち５つの頂点と１０辺，１０面，５胞（正５胞体）になります．
ｎ次元単体にはｎ＋１個の頂点があり，それに含まれるｋ次元単体の個数はｎ＋１個の頂点からｋ個の頂点を選び出す仕方の数n+1Ｃkに等しいことがわかりますが，これより，ｎ次元単体についてはｖ＝n+1Ｃ1，ｅ＝n+1Ｃ2，ｆ＝n+1Ｃ3，ｃ＝n+1Ｃ4，・・・．
また，２項定理より，
n+1Ｃ0−n+1Ｃ1＋n+1Ｃ2−・・・＋(-1)^nn+1Ｃn+1＝０
ですから，
Ｐv−Ｐe＋Ｐf−Ｐg＋Ｐh−Ｐi＋・・・＝１±１
すなわち，ｎが奇数のとき２，偶数のとき０になることがわかります．
すべて胞体はいくつかの単体によって分割されますが，得られる値は分割の仕方に依存しないことが証明できますから，任意の胞体についてもこれが成り立つことが理解されます．
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【５】オイラーの定理の応用
正多面体は正４・６・８・１２・２０面体の５種類しかないことの証明は，いろいろと知られているのですが，次のような計量的なものが一番わかりやすいと思います．
（証明）
正多面体の各面を正ｐ角形，各頂点にｑ面が会するとすると，頂点の周囲は４直角未満ですから，不等式
２ｑ（１−２／ｐ）＜４，すなわち，
１／ｐ＋１／ｑ＞１／２ （ｐ，ｑ≧３）
（ｐ−２）（ｑ−２）＜４
が正多角形となる必要条件です．このような整数の組は（ｐ，ｑ）＝（３，３），（３，４），（３，５），（４，３），（５，３）の５通りで，それぞれ，正４面体，正８面体，正２０面体，正６面体，正１２面体に対応します．
すなわち，正多面体は正４・６・８・１２・２０面体の５種類あって５種類しかないことはプラトンの時代にはすでに見つけられていて，それらがプラトンの自然哲学で重要な役割を演ずるところから，正多面体はプラトンの立体（Platonic solod）とも呼ばれています．
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ここで与えた証明は，すべての側面が正多角形であることを仮定していますが，オイラーの多面体定理を利用すると，
１）どの面も同数の辺で囲まれている．
２）どの頂点にも同数の辺が集まっている．
という仮定をするだけで，正多角形であるという仮定をまったくせずとも証明可能になります（位相幾何学的証明）．
（証明）
多面体の頂点，辺，面の数をそれぞれｖ，ｅ，ｆとすると，
ｐｆ＝２ｅ，ｑｖ＝２ｅ （握手定理）
が成り立ちます．さらに，
ｖ＋ｆ＝ｅ＋２ （オイラーの多面体定理）
が成り立ちますから，
ｖ＝４ｐ／（２ｐ＋２ｑ−ｐｑ），
ｅ＝２ｐｑ／（２ｐ＋２ｑ−ｐｑ），
ｆ＝４ｑ／（２ｐ＋２ｑ−ｐｑ）
となります．
２ｐ＋２ｑ−ｐｑ＞０はｐとｑについて対称な式ですから，たとえば，ｐ≧ｑ≧３とすると，４≧２（１＋ｑ／ｐ）＞ｑ≧３より，ｐとｑの小さい方は必ず３，そこでｑ＝３とするとｐ＜６より大きい方は５以下であることがわかります．
あるいは，同じことですが
１／ｅ＝１／ｐ＋１／ｑ−１／２
において，ｐ，ｑ≧３ですから，ｐもｑも３より大きいとすると，
１／ｅ＝１／ｐ＋１／ｑ−１／２≦１／４＋１／４−１／２＝０
これは不可能です．そこでｑ＝３とおいてみると，
１／ｅ＝１／ｐ−１／６
したがって，ｐ＝３に対してはｑ＝３，４，５の３つの値しかとり得ません．
この式はｐとｑに関して対称ですから，ｑ＝３に対してもｐ＝３，４，５．
ｐ＝３かつｑ＝３の場合は一致していますから，５通りの可能な場合が得られたことになります．
境界面ｐ １頂点に集まる境界面ｑ 頂点ｖ 辺ｅ 面ｆ
正４面体 正３角形 ３ ４ ６ ４
立方体 正方形 ３ ８ １２ ６
正８面体 正３角形 ４ ６ １２ ８
正１２面体 正５角形 ３ ２０ ３０ １２
正２０面体 正３角形 ５ １２ ３０ ２０
ｖ−ｅ＋ｆ＝２ （オイラーの多面体定理）
より，３次元空間では頂点ｖと面ｆが双対的に対応しているのがわかります．
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これと同様の方法によって，オイラー・ポアンカレの定理から，より高次元の空間における正則胞体を定めることができます．合同な正多面体（ｐ，ｑ）の各面が２つの（ｐ，ｑ）に属し，各辺がｒ個の（ｐ，ｑ）に属すとしましょう．
（計量的証明）
立方体（４，３）の２面角は直角であるから，１本の辺のまわりに４個の立方体で隙間なく空間を充填します．しかし，（４，３，４）では無限の多面体になってしまいますから，超立方体（４，３，３）は有限胞体になります．
同様に，正４面体（３，３）の２面角は７１°より少し小さいので，１本の辺に３，４，５個の正４面体を置くことができます．→（３，３，３），（３，３，４），（３，３，５）
正８面体と正１２面体の２面角は，９０°と１２０°の間にあるので，１辺の周囲には３個の正多面体が置けます．→（３，４，３），（５，３，３） 正２０面体の２面角は１２０°より大きいので，このようなことはできません．
１／ｐ＋１／ｑ＞１／２ （ｐ，ｑ≧３）
１／ｑ＋１／ｒ＞１／２ （ｑ，ｒ≧３）
結局，正多胞体の可能性としては（３，３，３），（３，３，４），（３，３，５），（４，３，３），（３，４，３），（５，３，３）しかあり得ないことがわかります．
これらを一般的な条件式として表すならば，正多面体（ｐ，ｑ）の２面角は，
２ｓｉｎ^(-1)（ｃｏｓ（π／ｑ）／ｓｉｎ（π／ｐ））
このような角ｒ個の和が２πより小さくなくてはならないことから，
ｃｏｓ（π／ｑ）＜ｓｉｎ（π／ｐ）ｓｉｎ（π／ｒ）
ｃｏｓ（π／ｑ）＜ｓｉｎ（π／ｐ）ｓｉｎ（π／ｒ）≦ｓｉｎ（π／ｐ）
すなわち，
ｓｉｎ（π／２−π／ｑ）＜ｓｉｎ（π／ｐ）
より，
１／ｐ＋１／ｑ＞１／２ （ｐ，ｑ≧３）
同様に，
１／ｑ＋１／ｒ＞１／２ （ｑ，ｒ≧３）
が導かれます．
なお，３次元空間充填であるためには，等式
ｃｏｓ（π／ｑ）＝ｓｉｎ（π／ｐ）ｓｉｎ（π／ｒ）
が成り立たなくてはならないので，３以上の整数解は立方体による空間充填（４，３，４）だけなのです．
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（位相幾何学的証明）
正多面体（ｐ，ｑ）を境界多面体として，その頂点数，辺数，面数を（ｖ1，ｅ1，ｆ1）としましょう．頂点に集まる辺の中点を結んでできる多面体を頂点図形：ｖ2，ｅ2，ｆ2）と呼ぶことにすると，それはｑ角形が１つの頂点にｒ面会した多面体（ｑ，ｒ）になっています．
頂点数，辺数，面数，境界多面体の数を，それぞれＶ，Ｅ，Ｆ，Ｃで示すと Ｖ−Ｅ＋Ｆ−Ｃ＝０
また，１つの頂点における境界多面体の配列は，頂点図形の面の配列に対応していますから，
ｆＣ＝２Ｆ，ｖＣ＝ｆ2Ｖ
ｖ2Ｖ＝２Ｅ，ｅ1Ｃ＝ｒＥ＝ｐＦ＝ｅ2Ｖ
ｒＥ＝ｅ2Ｖ，また，１／ｅ2＝１／ｑ＋１／ｒ−１／２が成り立ちますから，
Ｖ：Ｅ＝１／ｅ2：１／ｒ＝１／ｑ＋１／ｒ−１／２：１／ｒ
同様に，
ｐＦ＝ｅ1ＣよりＦ：Ｃ＝１／ｐ：１／ｐ＋１／ｑ−１／２，
ｒＥ＝ｐＦよりＥ：Ｆ＝１／ｒ：１／ｐ
Ｖ，Ｅ，Ｆ，Ｃを（ｐ，ｑ，ｒ）の関数として簡単に表す公式はありませんが，これでその相互関係は求まったことになります．
境界多面体 境界面ｐ 頂点に集まる面ｑ 辺に集まる胞ｒ
５胞体 正４面体 ３ ３ ３
８胞体 立方体 ４ ３ ３
１６胞体 正４面体 ３ ３ ４
２４胞体 正８面体 ３ ４ ３
１２０胞体 正１２面体 ５ ３ ３
６００胞体 正４面体 ３ ３ ５
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【補】正多面体における双対性と中心対称性
正多面体の各面の中心（重心）を順に結んで立体を作ると，もとの正多面体と面と頂点の関係が逆向きの正多面体ができます．互いに表と裏の関係にある多面体を双対多面体といいます．
正四面体ではふたたび正四面体ができ，正六面体では正八面体が，逆に正八面体では正六面体が，また，正十二面体では正二十面体が，逆に正二十面体では正十二面体ができます．したがって，正四面体は自己双対であり，正六面体と正八面体，正十二面体と正二十面体とは互いに双対です．このことにより，正多面体は，｛正四面体｝，｛正六面体と正八面体｝，｛正十二面体と正二十面体｝の３つのグループに大別することができます．
正４面体群←→正４面体群
正６面体群←→正８面体群
正１２面体群←→正２０面体群
正４面体だけは自己双対であり，特殊な位置を占めているのですが，正４面体の特殊性はこればかりではありません．正４面体以外の４つの正多面体は中心対称的であるのに対して，正４面体はそうではないのです．
次に，適切に頂点を選ぶことにより，正多面体の中に正多面体を内接させることができます．たとえば，立方体の中に正４面体を２通りの異なる方法で，正１２面体の中に立方体を５通りの方法で内接させることができるのですが，このことは
「正４面体群は正８面体群の部分群である」
「正８面体群は正２０面体群の部分群である」
ことを意味しています．
最後に，３種類の相貫体−−正４面体と正４面体，立方体と正８面体，正１２面体と正２０面体−−について調べてみると，それぞれの立体の間に双対関係があり，３種類の相貫体の外側にできる立体と内側にできる立体−−立方体と正８面体，菱形１２面体と立方８面体，菱形３０面体と１２・２０面体も互いに双対関係をもっていることがわかります．そして，これらもやはり相貫体をつくることができ，そしてまたそこに現れてくる外側と内側の立体も双対関係になっています．頂点と面に関しての双対性にはうまくできているなと感嘆させられます．自然界の法則性，自然が作るきれいな関係の１例といえましょう．
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