今回のコラムでは，行きがかり上，２次体Ｑ（√ｄ）の類数について解説することになった．デリケートな問題であることに加えて，この方面には明るくないときているので信頼性の低いことが懸念されるが，おこがましくもＱ＆Ａから始めることにしたい．

　

［Ｑ］２次体の類数とはなにか？

　

［Ａ］イデアル類(ideal class)の位数のこと．イデアル類の定義はかなり長く，数学記号を多く使う．イデアルとは代数体のイデアルのことであって，うまい説明がみつからない．そもそも，群・環・体の定義のあたりで多くの数学科の学生が落ちこぼれるので，イデアル等も群・環・体のランゲージなしに平易な説明はできないのだ．イデアルについては，差し当たって，素数の分解を可能とする仮想的な数と考えておいてほしい．

　

［Ｑ］何故，類数計算が必要になるのか？

　

［Ａ］抽象的な体などを分類するためである．我々は「体」の例として，実数や複素数を連想するが，実数，複素数で成立する当たり前のことが一般の群，環，体では成立するとは限らない．そのため，新しい概念を次々導入し，これにより研究対象を分類していかねばならないのである．

　

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【１】２次体と整数環（復習）

　

　有理数体Ｑに，ｘ^2−ｄ＝０の根√ｄを添加して得られる体Ｑ（√ｄ）を考えます．すると０，１以外の平方因数をもたない整数ｄ，すなわち，

　　−１，±２，±３，±５，±６，±７，±１０，・・・

によって，Ｑ（√ｄ）は体になり，２次体Ｑ（√ｄ）の元は一意的に

　　Ｑ（√ｄ）＝｛ａ＋ｂ√ｄ｜ａ，ｂは有理数｝

の形で表されます．とくに，ｄ＝−１のとき

　　Ｑ（√−１）＝Ｑ（ｉ）

はガウスの数体となります．

　

　次に，Ｑ（√ｄ）の整数環を考えるわけですが，

　　ｄ＝２，３（ｍｏｄ４）　→　ω＝√ｄ

　　ｄ＝１（ｍｏｄ４）　　　→　ω＝（１＋√ｄ）／２

で与えると，標準基底を｛１，ω｝とする代数的整数の集合

　　Ａ（ω）＝｛ａ＋ｂω｜ａ，ｂは整数｝

は，加法および乗法に関して閉じて環になります．

　

　この代数的整数の集合：Ａ（ω）を２次体Ｑ（√ｄ）の整数環と呼びます．Ａ（ω）は標準基底｛１，ω｝の２次元ベクトル空間となっているというわけです．

　

　単純に｛１，√ｄ｝を基底とする

　　Ｚ（√ｄ）＝｛ａ＋ｂ√ｄ｜ａ，ｂは整数｝

の形を考えてもよいのでしょうが，すでに分類のための第一歩は始まっていて，それぞれの場合のの最小多項式Ｐ（ｘ）は

　　ｄ＝２，３（ｍｏｄ４）　→　Ｐ（ｘ）＝ｘ^2−ｄ

　　ｄ＝１（ｍｏｄ４）　　　→　Ｐ（ｘ）＝ｘ^2＋ｘ＋（１−ｄ）／４

で求められます．説明するまでもなく，ｄ＝１（ｍｏｄ４）のとき，（１−ｄ）／４は整数になります．

　

　また，αが基底｛１，ω｝を用いてα＝ｘ＋ｙωと表されるとき，αのノルムは

　　Ｎ（α）＝ｘ^2−ｙ^2ｄ　　（ｄ＝２，３　ｍｏｄ４）

　　Ｎ（α）＝ｘ^2＋ｘｙ＋（１−ｄ）／４ｙ^2　　（ｄ＝１　ｍｏｄ４）

ですから，

　　Ｐ（ｘ）＝Ｎ（ｘ＋ω）

　　Ｎ（ω）＝−ｄ　　（ｄ＝２，３　ｍｏｄ４）

　　Ｎ（ω）＝（１−ｄ）／４　　（ｄ＝１　ｍｏｄ４）

と定義できるわけです．

　

　そして，判別式Ｄはトレースを用いて

　　Ｄ＝｜Ｔｒ（１），Ｔｒ（ω）　｜

　　　　｜Ｔｒ（ω），Ｔｒ（ω^2）｜

で定義され，

　　ｄ＝２，３（ｍｏｄ４）　→　Ｄ＝４ｄ

　　ｄ＝１（ｍｏｄ４）　　　→　Ｄ＝ｄ

となります．

　

　代数体の判別式Ｄは基底の選び方には依存しない整数であり，代数体の大切な不変量の１つとなっているのですが，重根をもつ・もたないの判別ではなく，後述するように，素数の分解・分岐など素イデアルの分解法則と密接に関係しているのです．

　

　なお，立方数でない有理数ｄに対して，Ｑ（3√ｄ）は３次体となります．その基底は

　　｛１，3√ｄ，3√ｄ^2｝

で表されます．

　

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【２】整数環とイデアル

　

　正の整数では素因数分解の一意性が成り立ちますが，扱う数の範囲を広げると，既約因子の積に２通りに表されるような状況を生じます．たとえば，扱う数の範囲を整数から，

　　Ｚ（√−５）＝｛ａ＋ｂ√−５｜ａ，ｂは整数｝

にまで拡げると，

　　６＝２・３＝（１＋√−５）（１−√−５）

　

　２，３は素数ですし，

　　１＋√−５，１−√−５

はいずれも

　　ａ＋ｂ√−５

のなかには±１と±それ自身以外の約数をもたないので「素数」です．

　

　この状況に対して，これはまだ分解が足りないためだと考えることもできます．すなわち，２，３，１±√−５は素数でなく，さらに究極の数α，β，γ，δがあって，

　　２＝αβ，３＝γδ，１＋√−５＝αγ，１−√−５＝βδ

となっていて，

　　６＝αβγδ

が６の素因数分解となるという考え方をクンマーの理想数の理論といいます．もちろん，α，β，γ，δはＺ（√−５）の中には存在しません．素因数分解したときの素因数がすべて含まれている集合を考えるのです．

　

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　Ｑ（√ｄ）の整数環をいかに定義すべきかが確定すると，次に，いかなるｄに対してＡ（ω）は一意分解環になるのかが問題となります．Ｑ（√ｄ）の整数環Ａ（ω）が必ずしも一意分解環でないことに最初に気づいたのは，ディリクレでした．

　

　そこで，有理数体Ｑの場合に考えたことを２次体Ｑ（√ｄ）に場合に拡張することを考えます．とくに，Ｑにおける素数の概念を拡張して，一般の代数体Ｋに素イデアルを導入します．

　

　「任意の自然数は素数の積に書ける．しかも順序を除けばその書き方は１通りである（初等整数論の基本定理）」の拡張が，いわゆるデデキントのイデアル論であり，「Ｑの素数ｐを１つ固定すると，素数ｐは代数体の整数環における素イデアルの積に分解される（イデアル論の基本定理）」ことになります．

　

　素イデアルをp1,･･･,pkとして，素数ｐが

　　ｐ＝p1^e1･･･pk^ek

と分解されるとき，eiを素イデアルpiの分岐指数といい，ei>1のときpiは分岐するといい，ei=1のときpiは不分岐，また，ｐに対してはあるpiが分岐するときｐは分岐する，どのpiも不分岐のときｐは不分岐といいます．

　

　また，一般のｎ分体では，piの次数をfiとすると

　　ｎ＝e1f1+e2f2+･･･+enfn

という関係があり，したがって，２次体の場合，素数ｐは

　　ｐ＝p^2，Ｎ（p）＝ｐ　　（分岐）

　　ｐ＝pp'，Ｎ（p）＝ｐ　　（完全分解）

　　ｐ＝p，Ｎ（p）＝ｐ^2　　（ｐは２次体でも素）

のように分解することになります．

　

　２次体Ｑ（√ｄ）の判別式Ｄは

　　ｄ＝２，３（ｍｏｄ４）　→　Ｄ＝４ｄ

　　ｄ＝１（ｍｏｄ４）　　　→　Ｄ＝ｄ

となることは前述したとおりですが，素数ｐがいつ分岐しまた完全分解するかを調べると，有理素数は次のように分解します．

　

［１］ｄ＝２，３（ｍｏｄ４），Ｄ＝４ｄ

　(1)ｐ｜Ｄ　→　ｐ＝p^2，Ｎ（p）＝ｐ

　(2)（ｄ／ｐ）＝＋１　→　ｐ＝pp'，Ｎ（p）＝ｐ

　(3)（ｄ／ｐ）＝−１　→　ｐ＝p，Ｎ（p）＝ｐ^2

　

［２］ｄ＝１（ｍｏｄ４），Ｄ＝ｄ

　(1)ｐ｜Ｄ　→　ｐ＝p^2，Ｎ（p）＝ｐ

　(2)ｐ≠２，（ｄ／ｐ）＝＋１　→　ｐ＝pp'，Ｎ（p）＝ｐ

　(3)ｐ≠２，（ｄ／ｐ）＝−１　→　ｐ＝p，Ｎ（p）＝ｐ^2

　(4)ｐ＝２，ｄ＝１（ｍｏｄ８）　→　２＝pp'，Ｎ（p）＝ｐ

　(5)ｐ＝２，ｄ＝５（ｍｏｄ８）　→　２＝p，Ｎ（p）＝２^2

　

　ここで，（ｄ／ｐ）はルジャンドルの記号で，

　　（ｄ／ｐ）＝＋１

はｄがｐを法とする平方剰余であることを示しています．すなわち，ｘ^2＝ｄ（ｍｏｄｐ）の解の有無によって，解のあるときｄをｐの平方剰余，ないとき平方非剰余といい，

　　（ｄ／ｐ）＝−１

と表されます．

　

　この結果から２次体Ｑ（√ｄ）でｐが分岐するための必要十分条件は

　　ｐ｜Ｄ

であることがわかります．割れなければｐはＱ（√ｄ）で不分岐です．

　

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【３】ミンコフスキーの数の幾何学

　

　ミンコフスキーはアインシュタインの先生として有名で，相対論における基本概念はミンコフスキーにその起源をたどることができます．彼は数論家として出発しましたが，研究を進めるにしたがって次第に幾何学に興味を惹かれるようになり，幾何学的方法を用いて数論を研究する「数の幾何学」と呼ばれる新しい数学分野を打ち立てました．

　

　格子点定理が数の幾何学の基礎となっているのですが，格子点定理は次のように述べることができます．

　「平面（ｎ次元空間）上の任意の単位格子において，１つの格子点を中心として１辺の長さが２の正方形（面積４の平行四辺形，面積２^nの中心対称な凸体）を任意の向きにおいてみると，内部あるいは境界上にもうひとつの格子点が必ず存在する．」

　

　この定理は非常に単純であるにもかかわらず，他の方法では解決することのできなかった数論における多くの問題を解明したのですが，格子点定理を用いると，初等的な定理，たとえば，

　　「４ｋ＋１の形の素数はｘ^2^＋ｙ^2の形に書ける」

　　「６ｋ＋１の形の素数はｘ^2^＋３ｙ^2の形に書ける」

　　「８ｋ＋１の形の素数はｘ^2^＋２ｙ^2の形に書ける」

なども証明することができます．２次形式の理論が発展していく段階では，ミンコフスキーが非常に大きな貢献をしていて，格子点の幾何学はミンコフスキーの「数の幾何学」に端を発するのです．

　

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　ｎ本のベクトルで張られる平行２ｎ面体の体積について述べておきます．写像：ｙ＝Ａｘによって，単位直方体は平行２ｎ面体に写像されるものとすると，この写像のヤコビアンはＪ＝｜Ａ｜となります．また，グラミアン

　　Ｇ＝｜Ａ｜^2

が成立しますから，平行２ｎ面体のｎ次元体積は

　　｜Ｇ｜^(1/2)＝｜Ａ｜

で与えられます．

　

　したがって，ミンコフスキーの定理から，

　　（中心対称凸体の体積）＞２^n｜Ａ｜

ならば，内部あるいは境界上に格子点が必ず存在することになります．

　

　一般に，Ｒ^s×Ｃ^tにおいて，直方体領域

　　Ｂ＝｛｜ｘ1｜≦ｃ1，・・・，｜ｘs｜≦ｃs，｜ｘs+1｜^2≦ｃs+1，・・・，｜ｘs+t｜^2≦ｃs+t｝

の体積は

　　ｖｏｌ（Ｂ）＝∫(-c1,c1)dx1・・・∫∫(u^2+v^2≦cs+1)dudv・・・

　　　　　　　　＝(2c1)･･･(πcs+1)･･･＝２^sπ^tΠｃi

　

　また，正八面体領域

　　Ｂ＝｛｜ｘ1｜＋・・・＋｜ｘs｜＋２｜ｘs+1｜＋・・・２｜ｘs+t｜≦ρ｝

の体積は，ｎ＝ｓ＋２ｔ，ｘs+j＝ｒjexp(iθj)とおくと，

　　ｄｕｄｖ＝ｒｄｒｄθ

ですから，

　　ｖｏｌ（Ｂ）＝∫(B)dx1・・・r1dr1dθ1・・・

　　　　　　　　＝２^s（２π）^t∫r1･･･rtdx1･･･dx2dr1･･･drt

　

　ここで，ディリクレの積分公式

　　∫ｘ1^(p1-1)･･･ｘm^(pm-1)（１−ｘ１−・・・−ｘm）^(q-1)ｄｘ1・・・ｄｘm

　＝Γ(p1)･･･Γ(pm)Γ(q)／Γ(p1+･･･+pm+q)

より，

　　ｖｏｌ（Ｂ）＝２^s（π／２）^tρ^n／ｎ！

と計算されます．

　

　この格子点定理をｎ次の代数体に応用すると，ミンコフスキーの定数

　　Ｍ＝（４／π）^rｎ！／ｎ^n√｜Ｄ｜

が得られます．

　

　Ｍは領域Ｂに含まれる格子点の個数を与えてくれる定数なのですが，これより，２次体のミンコフスキーの定数は，Ｄ＞０（実２次体）の場合，ｎ＝２，ｒ＝０とおいて

　　Ｍ＝1/2√Ｄ

Ｄ＜０（虚２次体）の場合，ｎ＝２，ｒ＝ｎ／２とおいて

　　Ｍ＝2/π√-Ｄ

によって与えられます．

　

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【４】類数の計算

　

　Ｑ（√ｄ）はイデアルの同値類を有限個しかもちません．このイデアル類の数は類数と呼ばれ，ｈ（ｄ）で表されます．類数とはすべての数体に付随した不変量（自然数）なのですが，ミンコフスキーの定数Ｍを具体的に決定して，いくつかの場合に類数を決定することができます．たとえば，

　

［Ｑ］次の４つの実２次体Ｋ＝Ｑ（２），Ｑ（３），Ｑ（５），Ｑ（１３）に対して，ｈ＝１を証明せよ．

　

［Ａ］　Ｍ＝1/2√Ｄ

ですから，４≦Ｄ＜１６ならばｈ＝１になります．ここで，

　　ｄ＝２，３（ｍｏｄ４）　→　Ｄ＝４ｄ

　　ｄ＝１（ｍｏｄ４）　　　→　Ｄ＝ｄ

ですから，ｄ＝２，３，５，１３が合格です．

　

［Ｑ］次の９つの虚２次体Ｑ（√ｄ）に対して，ｈ＝１を証明せよ．

　　−ｄ＝１，２，３，７，１１，１９，４３，６７，１６３

　

［Ａ］　Ｍ＝2/π√-Ｄ＝０．６３６６３√-Ｄ

です．−ｄ＝１，２，３，７のときは，

　　Ｄ＝４，８，３，７

で，Ｍ＜２となり，ｈ＝１となります．

　

　その他の場合はｄ＝１（ｍｏｄ４）でＤ＝ｄとなるのですが，Ｍ＝２で−ｄ＝１１，１９のときは

　　−１１＝５，−１９＝５　　（ｍｏｄ８）

より２は２次体でも素ですから，ｈ＝１となります．なお，それぞれ

　　χ（２）＝（−１）^15＝−１，χ（２）＝（−１）^45＝−１

と同値です．χは次節で述べるクロネッカーの指標を先取りしたものです．

　

　Ｍ＝４では

　　−４３＝５（ｍｏｄ８）　　（χ（２）＝（−１）^231と同値）

　　（−４３／３）＝（−１／３）＝−１

より，Ｑ（√−４３）は類数１をもちます．

　

　同様の計算から，Ｍ＝５のとき，類数１をもつ判別式はＤ＝−６７

　　χ（２）＝−１，

　　χ（３）＝（−６７／３）＝（−１／３）＝−１，

　　χ（５）＝（−６７／５）＝（−２／５）＝（−１／５）（２／５）＝−１

　

　Ｍ＝８のとき，類数１をもつ判別式はＤ＝−１６３

　　χ（２）＝−１，

　　χ（３）＝（−１６３／３）＝（−１／３）＝−１，

　　χ（５）＝（−１６３／５）＝（−３／５）＝（２／５）＝−１

　　χ（７）＝（−１６３／７）＝（−２／７）＝（−１／７）（２／７）＝−１

　

　以下，同様の論法で続けてもよいのですが，類数が１となる判別式は他には存在しません．ｈ＝１なる虚２次体Ｑ（√ｄ）はこれしかないというのが，有名な「シュタルクの定理」です．

　

　ついでながら，ｈ＝２なる虚２次体Ｑ（√ｄ）は，

　　−ｄ＝５，６，１０，１３，１５，２２，３５，３７，５１，５８，９１，１１５，１２３，１８７，２３５，２６７，４０３，４２７

の１８個あります．

　

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【５】２次体のイデアル類群の構造

　

　ここでは，本質的にはミンコフスキー定数

　　Ｍ＝1/2√Ｄ　　　（実２次体）

　　Ｍ＝2/π√-Ｄ　　（虚２次体）

だけを用いて，類数のみならず，２次体のイデアル類群Ｈの構造を決定する方法を紹介します．

　

　２次体Ｑ（√ｄ）には，各素数ｐに対して（０，１，−１）を値にもつクロネッカーの指標χ（ｐ）があり，

　　χ（ｐ）＝０　　　（分岐）

　　　　　　＝＋１　　（完全分解）

　　　　　　＝−１　　（ｐは２次体でも素）

と定義されます．

　

　具体的には，

　　ｐ｜Ｄ　→　χ（ｐ）＝０

　　ｐ≠２　→　χ（ｐ）＝（Ｄ／ｐ）

　　ｐ＝２　→　χ（ｐ）＝（−１）^{(Ｄ^2-1)/8}　

のように計算されるのですが，

　　ｐ＝２　→　χ（ｐ）＝（−１）^{(Ｄ^2-1)/8}　

はｄ＝１（ｍｏｄ４）のときのみに起って，右辺は第２補充法則によっています．

　

　　（ａ／ｐ）＝ａ^{(p-1)/2}　 (mod p)　　　　　（オイラー規準）

　　（−１／ｐ）＝（−１）^{(p-1)/2}，ｐ≠２　　（第１補充法則）

　　（２／ｐ）＝（−１）^{(p^2-1)/8}，ｐ≠２　　（第２補充法則）

　

　すなわち，オイラー規準において，（−１／ｐ）に関するものが第１補充法則，（２／ｐ）に関するものが第２補充法則と呼ばれます．

　

　クロネッカーの指標はルジャンドル記号の計算に還元されるのですが，オイラー規準は法ｐに関するａ^{(p-1)/2}の剰余を求めなければならないため，ｐが大きいとき（ａ／ｐ）を決定するのはかなり大変です．

　

　それに対して，

　　（ｑ／ｐ）（ｐ／ｑ）＝（−１）^{(p-1)/2}{(q-1)/2}

が有名なガウスの平方剰余の相互法則で，（ａ／ｐ）はガウスの相互法則を用いてすばやく計算することができます．

　

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　２次体Ｑ（√ｄ）に対して

　　Ｓ＝｛ｐ：ｐ≦Ｍ，χ（ｐ）≠−１｝

とおくと，Ｈはイデアルpと素数ｐの類によって生成されます．

　

　素数ｐは

　　χ（ｐ）＝０　→　ｐ＝（ｐ，ａ＋ω）^2

　　χ（ｐ）＝１　→　ｐ＝（ｐ，ａ＋ω）（ｐ，ａ−ω）

のように素因子（基底による表示）に分解されるのですが，その際，ωの最小多項式Ｐ（ｘ）をｍｏｄｐで分解することにより，ｐの２次体における分解を具体的に求めることができます．

　

　ｄ＝１９９の場合に，上の手続きを実行してみましょう．

　　１９９＝３（ｍｏｄ４），ω＝√１９９，Ｄ＝４・１９９

　　Ｍ＝1/2√Ｄ＝√１９９＝１４．１・・・

ですから，ｐ＝２，３，５，７，１１

　

　　ｐ　　　：　２　　３　　５　　７　　１１

　　χ（ｐ）：　０　　１　　１　　−１　　１

したがって，Ｓ＝｛２，３，５，１１｝

　

　以下には（その３）で解説した有限体上の因数分解は用いられているのですが，

　ｐ＝２：　Ｐ（ｘ）＝ｘ^2−１９９＝ｘ^2＋１＝（ｘ＋１）^2

　　　　→　p2＝（２，１＋ω）

　ｐ＝３：　Ｐ（ｘ）＝ｘ^2−１９９＝ｘ^2−１＝（ｘ−１）（ｘ＋１）

　　　　→　p3＝（３，ω−１）＝（３，２＋ω），p3'＝（３，１＋ω）

　ｐ＝５：　Ｐ（ｘ）＝ｘ^2−１９９＝ｘ^2＋１＝（ｘ＋２）（ｘ＋３）

　　　　→　p5＝（５，３＋ω），p5'＝（５，２＋ω）

　ｐ＝１１：Ｐ（ｘ）＝ｘ^2−１９９＝ｘ^2−１＝（ｘ＋１）（ｘ−１）

　　　　→　p11＝（１１，ω−１）＝（１１，１０＋ω），p11'＝（１１，１＋ω）

　

　これより，イデアル類群はp2,p3,p5,p11の類で生成されることがわかりました．Ｈの構造はこれらの生成元の間の関係を調べあげることによって定まります．とはいっても，肝心の所は割愛せざるを得ないのですが，このあとさらに検索を続けることによって４つの生成元p2,p3,p5,p11がすべて〜１となり，Ｑ（√１９９）の類数は１であることが確かめられます．

　

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　ｄ＝−１９９の場合，

　　−１９９＝１（ｍｏｄ４），ω＝（１＋√−１９９）／２，Ｄ＝−１９９

　　Ｍ＝2/π√-Ｄ＝√１９９＝８．９・・・

ですから，ｐ＝２，３，５，７

　

　　ｐ　　　：　２　　３　　５　　７

　　χ（ｐ）：　１　−１　　１　　１

したがって，Ｓ＝｛２，５，７｝

　

　ｐ＝２：　Ｐ（ｘ）＝ｘ^2−ｘ＋５０＝ｘ（ｘ＋１）

　　　　→　p2＝（２，ω），p2'＝（２，１＋ω）

　ｐ＝５：　Ｐ（ｘ）＝ｘ^2−ｘ＋５０＝ｘ（ｘ−１）

　　　　→　p5＝（５，ω−１）＝（５，４＋ω），p5'＝（５，ω）

　ｐ＝７：　Ｐ（ｘ）＝ｘ^2−ｘ＋５０＝（ｘ＋４）（ｘ＋２）

　　　　→　p7＝（７，４＋ω），p7'＝（７，２＋ω）

　

　イデアル類群はp2,p5,p7の類で生成されるのですが，このあとの検索で

　　p7〜p2^3〜p5^6，p5^9〜１

であること，すなわち，イデアル類群はp5の類で生成される位数が高々９の巡回群であることがわかります．

　

　しかし，イデアル類群がＺ9であるのかまたはＺ3×Ｚ3であるのか，これだけではわかりません．そこで，

　　p5^3〜１

すなわち，p5^3＝（ｘ＋ｙω）なる整数ｘ，ｙが存在するかどうかを調べてみます．

　

　両辺のノルムは

　　１２５＝ｘ^2＋ｘｙ＋５０ｙ^2

両辺を４倍すると

　　（２ｘ＋ｙ）^2＋１９９ｙ^2＝５００

ｕ^2＋１９９ｖ^2＝５００が整数解をもつことは不可能であることより，Ｈは位数９の巡回群になることが確定されたことになります．

　

　ｈ＝９と定まりますが，ｈ＝９だけではＨの構造決定（Ｚ9，Ｚ3×Ｚ3）には何の役のも立たないからわけですから，生成元の間の関係を調べあげることによって，まさに一石二鳥が狙えるのです．

　

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　ここまでやったからには【２】の証明も与えておきましょう．

　

［１］ｄ＝２，３（ｍｏｄ４），Ｄ＝４ｄ

　　Ｐ（ｘ）＝ｘ^2−ｄ

　

　(1)ｐ＝２，ｄ＝２（ｍｏｄ４）→Ｐ（ｘ）＝ｘ^2，

　　　　２＝p^2，Ｎp＝２，p＝（２，ω）

　　 ｐ＝２，ｄ＝３（ｍｏｄ４）→Ｐ（ｘ）＝ｘ^2＋１＝（ｘ＋１）^2，

　　　　２＝p^2，Ｎp＝２，p＝（２，１＋ω）

　　 ｐ≠２，ｐ｜ｄ→Ｐ（ｘ）＝ｘ^2−ｄ＝ｘ^2，

　　　　ｐ＝p^2，Ｎp＝ｐ，p＝（ｐ，ω）

　(2)（ｄ／ｐ）＝１→Ｐ（ｘ）＝ｘ^2−ｄ＝（ｘ−ａ）（ｘ＋ａ），

　　　　ｐ＝pp'，Ｎp＝ｐ，p＝（ｐ，ω−ａ），p'＝（ｐ，ω＋ａ）

　(3)（ｄ／ｐ）＝−１→Ｐ（ｘ）＝ｘ^2−ｄは既約，ｐ＝p，Ｎp＝ｐ^2

　

［２］ｄ＝１（ｍｏｄ４），Ｄ＝ｄ

　　Ｐ（ｘ）＝ｘ^2−ｘ−（ｄ−１）／４

　

　(1)ｐ｜ｄ→ｐ≠で２ｈ＝１（ｍｏｄｐ）なるｈを決めておくと，

　　　　Ｐ（ｘ）＝（ｘ−ｈ）^2−ｍｈ^2＝（ｘ−ｈ）^2，

　　　　ｐ＝p^2，Ｎp＝ｐ，p＝（ｐ，ω−ｈ）

　(2)（ｄ／ｐ）＝＋１→Ｐ（ｘ）＝（ｘ−ｈ）^2−（ａｈ）^2＝（ｘ−ｈ−ａｈ）（ｘ−ｈ＋ａｈ），

　　　　ｐ＝pp'，Ｎ（p）＝ｐ，p＝（ｐ，ｘ−ｈ−ａｈ），p'＝（ｐ，ｘ−ｈ＋ａｈ）

　(3)（ｄ／ｐ）＝−１→Ｐ（ｘ）は既約，ｐ＝p，Ｎp＝ｐ^2

　(4)ｐ＝２，ｄ＝１（ｍｏｄ８）→Ｐ（ｘ）＝ｘ^2−ｘ−（ｄ−１）／４＝ｘ^2−ｘ＝ｘ（ｘ−１），

　　　　２＝pp'，Ｎ（p）＝ｐ，p＝（ｐ，ω），p'＝（ｐ，ω−１）

　(5)ｐ＝２，ｄ＝５（ｍｏｄ８）→Ｐ（ｘ）＝ｘ^2−ｘ＋１は既約，

　　　　２＝p，Ｎ（p）＝２^2

　

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

　

【６】ラビノヴィッチの定理

　

　（その７）では２次式

　　Ｐ（ｘ）＝ｘ^2＋ｘ＋４１

に，ｘ＝０，１，２，・・・，３９を代入すると，すべて素数になることを確かめました．

　

　ここでは，Ｑ（√ｄ）をｄ≠−１，−３なる虚２次体として，

［１］ｄ＝２，３（ｍｏｄ４）のとき

　　ｑ＝−ｄ　　　　　　　　

　　Ｐ（ｘ）＝Ｎ（ｘ＋ω）＝ｘ^2＋ｑ

［２］ｄ＝１（ｍｏｄ４）のとき

　　ｑ＝（１−ｄ）／４

　　Ｐ（ｘ）＝Ｎ（ｘ＋ω）＝ｘ^2＋ｘ＋ｑ

において，命題

　「Ｐ（ｘ）が０≦ｘ≦ｑ−２なるすべてのｘについて素数　←→　ｈ＝１」

を証明してみます．

　

　まず

　　Ｍ＝2/π√-Ｄ＜ｑ

を示します．

　　ｄ＝２，３（ｍｏｄ４）のとき，Ｄ＝４ｄ　→　−Ｄ＝４ｑ

　　ｄ＝１（ｍｏｄ４）のとき，Ｄ＝ｄ　　　　→　−Ｄ＝４ｑ−１

したがって，

　　Ｍ＝2/π√-４ｑ＜ｑ

　　4/π＜√ｑ

がいえればよいのですが，ｑ≧ですから，結局π^2＞８に帰せられます．

　

（→）

　　Ｐ（ａ），０≦ａ≦ｑ−２がすべて素数と仮定します．集合Ｓからｐを選ぶと

　　ｐ＝Ｎp，p＝（ｐ，ａ＋ω），０≦ａ＜ｐ

　

　ここで，ｐ≦Ｍ＜ｑですから

　　０≦ａ≦ｑ−２

となります．よって，Ｐ（ａ）は素数で，

　　１〜（Ｐ（ａ），ａ＋ω）

また，ｐ｜Ｎ（ａ＋ω）より，Ｐ（ａ）＝ｐでなければなりません．

　　１〜（ｐ，ａ＋ω）＝p

ですから，ｈ＝１となります．

　

（←）

　　Ｐ（ａ）≦Ｐ（ｑ−２）＝ｑ^2−３ｑ＋４＜ｑ^2　　［１］

　　　　　　　　　　　　　＝ｑ^2−２ｑ＋２＜ｑ^2　　［２］

　

　あるａ0（０≦ａ0≦ｑ−２）に対して，Ｐ（ａ0）が素数でなかったとして，Ｐ（ａ0）を割る最小の素数をｐとすれば，

　　ｐ＜ｑ−１＜ｑ

　

　p＝（ｐ，ａ0＋ω）とすると，ｐ｜Ｎ（ａ0＋ω）から，pは素イデアルです．

もし，p〜１とするとp＝（ｘ＋ｙω）と書けますから，両辺のノルムをとると　　ｐ＝Ｎp＝Ｎ（ｘ＋ｙω）＝ｘ^2＋ｑｙ^2　　［１］

　　　　　　　　　　＝（ｘ＋ｙ／２）^2＋（ｑ−１／４）ｙ^2　　［２］

　

　もしｙ＝０ならｐ＝ｘ^2で不可能．ｙ≠０ならｐ≧ｑとなり，ｐ＜ｑに矛盾します．よって，Ｐ（ａ），０≦ａ≦ｑ−２はすべて素数でなければなりません．

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［補］佐々木の定理

　

　一般に，自然数νに対して，素因数の数を重複も許してｄｅｇνと書くことにします．たとえば，

　　ｄｅｇ１０＝２，ｄｅｇ８＝３，ｄｅｇ（素数）＝１

　

　虚２次体に対して，

　　ｍ＝ｍａｘ（ｄｅｇＰ（ｘ）），０≦ｘ≦ｑ−２

とおくと，ラビノヴィッチの定理は

　　−ｄ＝７，１１，１９，４３，６７，１６３

ですから，

　　ｍ＝１　←→　ｈ＝１

を意味しています．

　

　実は

　　ｍ＝２　←→　ｈ＝２

であることも佐々木隆二氏によって証明されています．しかし，Ｑ（√−２１）では

　　ｍ＝３　＜　ｈ＝４

が起こってしまいます．

　

　なお，佐々木氏は常に

　　ｍ≦ｈ

が成り立つことも証明しています．

　

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【７】補遺

　

　本コラムでは２次体

　　［Ｑ（√ｄ）：Ｑ］＝２

についてだけ説明して，円分体のことは意識的に避けてきましたが，ここで円分体についても一言解説したいと思います．

　

　任意の素数ｐに対して，Ｚ／ｐＺはｐ個の元からなる有限体Ｆpで，Ｆp−｛０｝は原始根を生成元とする巡回群になります．Ｆpはｐ個の元からなる有限体で，Ｆp~は原始根を生成元とする巡回群になります．しかし，このような性質をもつ体はＦp以外にもたくさんあり，それらは代数的整数論において重要になります．

　

　任意の体の乗法群の有限部分群は巡回群なのですが，例として，１のｄ乗根

　　ζ＝ｅｘｐ（2πi/ｄ)

の全体は乗法に関して位数ｄの巡回群をなします．Ｑ（ζ）を円のｄ分体といいます．また，１の原始ｄ乗根はφ（ｄ）個存在して，

　　［Ｑ（ζ）：Ｑ］＝φ（ｄ）

が成り立ちます．そして，１の原始ｄ乗根を根とする多項式

　　Φ(x)＝Π（ｘ−ζ^a）　　　（ａ，ｄ）＝１

を円分多項式を呼びます．

　

　次に，ｐをｐ≠２なる奇素数とし，１の原始ｐ乗根として，

　　ζ＝ｅｘｐ（2πi/ｐ)

をとります．１のｐ乗根全体は

　　｛１，ζ，ζ^2，・・・，ζ^(p-1)｝

で１以外はみな原始ｐ乗根となります．したがって，ζの最小多項式は

　　Φ(x)＝１＋ｘ＋ｘ^2＋・・・＋ｘ^(p-1)＝（ｘ^p−１）／（ｘ−１）

また，判別式は

　　Ｄ＝（−１）^{(p-1)/2}ｐ^(p-2)

で与えられます．

　

　そして，

　　ｐ~＝（−１）^{(p-1)/2}ｐ

とおくと，

　　Ｑ（√ｐ~）

はＱ（ζ）の部分体になります．また，Ｑ（ζ）の部分体

　　Ｑ（ζ＋ζ^(-1)）

において，ζ＋ζ^(-1)は実数ですから，

　　［Ｑ（ζ）：Ｑ（ζ＋ζ^(-1)）］＝２

の最大実部分体となっています．Ｑ（ζ）はＱ（√ｐ~）とＱ（ζ＋ζ^(-1)）を部分体としてもつというわけです．

　

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　Ｑ（ζ）の２次の部分体Ｑ（√ｐ~）は

　　（−１／ｐ）＝（−１）^{(p-1)/2}

より，

　　ｐ＝１（ｍｏｄ４）　→　実２次体Ｑ（√ｐ）

　　ｐ＝３（ｍｏｄ４）　→　虚２次体Ｑ（√−ｐ）

となります．

　

　２次体の類数決定では，ルジャンドル指標を用いましたが，円分体の２次の部分体（√ｐ~）ではガウス和を用いることによって，類数の最終的なディリクレの公式に達することができます．

　

　位数ｎの巡回群の指標には１のｎ乗根が対応して，円分体についてのガウス和

　　τ(χ）＝Σχ(x)ζ^x

ヤコビ和

　　Ｊ(χ,φ)＝Σχ(x)φ(1-x)＝τ(χ）τ(φ)／τ(χφ)

が定義されます．

　

　ガウス和はガンマ関数

　　Γ(s)＝∫(0,∞)ｘ^(s-1)ｅｘｐ(-x)ｄｘ

ヤコビ和はベータ関数

　　Ｂ(p,q)＝∫(0,1)ｘ^(p-1)（１−ｘ）^(q-1)ｄｘ＝Γ(p)Γ(q)／Γ(p+q)

と非常によく似ていています．

　

　円のｐ分体は拡大体としては巡回体に過ぎないのですが，データが多いだけ面白いことがたくさんあり，円分体の類数決定に関してもいろいろ面白い式があるようですが，それには

　　小野孝「数論序説」裳華房

を参照されることをお勧めします．

　

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