ヤング図形は対称式の計算に役立つだけでなく，「群の表現論」と呼ばれる分野でも用いられ，テンソル積の計算など非常に便利なものになっている．群の表現論は現在も活発に研究され進歩している分野である．

　

　今回のコラムでは対称式とヤング図形について解説したいのだが，その前に前回積み残しの問題を片づけておきたい．

　

　前回のコラムでは，フルヴィッツ・ムーアヘッドの等式

　　ｎ｛Ａ（ａ^n）−Ｇ（ａ^n）｝

　＝１／２（ｎ−１）！｛Σ（ａ1^(n-1)−ａ2^(n-1)）（ａ1−ａ2）＋Σ（ａ1^(n-2)−ａ2^(n-2)）（ａ1−ａ2）ａ3＋Σ（ａ1^(n-3)−ａ2^(n-3)）（ａ1−ａ2）ａ3ａ4＋・・・｝

によって

　　ａ^4＋ｂ^4＋ｃ^4＋ｄ^4−４ａｂｃｄ

　＝Ｐ1（ａ−ｂ）^2＋Ｐ2（ａ−ｃ）^2＋Ｐ3（ａ−ｄ）^2＋Ｐ4（ｂ−ｃ）^2＋Ｐ5（ｂ−ｄ）^2＋Ｐ6（ｃ−ａ）^2

の形に分解できると考えるのが自然な解釈と思われること，しかし，

　　Ｐ1＝（ａ^2＋ａｂ＋ｂ^2＋（ａ＋ｂ）（ｃ＋ｄ）＋２ｃｄ）／６

としても

　　ａ^4＋ｂ^4＋ｃ^4＋ｄ^4−４ａｂｃｄ

　＝Ｐ1（ａ−ｂ）^2＋Ｐ2（ａ−ｃ）^2＋Ｐ3（ａ−ｄ）^2＋Ｐ4（ｂ−ｃ）^2＋Ｐ5（ｂ−ｄ）^2＋Ｐ6（ｃ−ａ）^2

は成り立たないことを述べた．

　

　それでもａ^4やａｂｃｄの項は出現するから，この線でだいたいあっているものと推察された．さて本題に入ろう．

　

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【１】フルヴィッツ・ムーアヘッドの等式（その２）

　

　　ａ^2＋ｂ^2−２ａｂ＝（ａ−ｂ）^2

　　ａ^3＋ｂ^3＋ｃ^3−３ａｂｃ＝（ａ＋ｂ＋ｃ）｛（ａ−ｂ）^2＋（ｂ−ｃ）^2＋（ｃ−ａ）^2｝／２

と同様，フルヴィッツ・ムーアヘッドの等式により

　　ａ^4＋ｂ^4＋ｃ^4＋ｄ^4−４ａｂｃｄ

　＝Ｐ1（ａ−ｂ）^2＋Ｐ2（ａ−ｃ）^2＋Ｐ3（ａ−ｄ）^2＋Ｐ4（ｂ−ｃ）^2＋Ｐ5（ｂ−ｄ）^2＋Ｐ6（ｃ−ｄ）^2

の形で表されるはずである．

　

　フルヴィッツ・ムーアヘッドの等式において，ｎ＝４のとき（係数1/2･1/3!は省略するが）

　　Σ(a1^3-a2^3)+Σ(a1^2-a2^2)(a1-a2)a3+Σ(a1-a2)^2a3a4

となる．ここで，第１項

　　Σ(a1-a2)^2(a1^2+a1a2+a2^2)

はａ1，ａ2を置換することにより得られる4Ｐ2＝１２項の和，第２項

　　Σ(a1-a2)^2(a1+a2)a3

はａ1，ａ2，ａ3を置換することにより得られる4Ｐ3＝２４項の和，第３項

　　Σ(a1-a2)^2a3a4

はａ1，ａ2，ａ3，ａ4を置換することにより得られる4Ｐ4＝２４項の和として表される．

　

　ここで，第１項〜第３項までを同じの重みづけにすると，多項式Ｐ1〜Ｐ6は

　　Ｐ1＝（２（ａ^2＋ａｂ＋ｂ^2）＋（ａ＋ｂ）（ｃ＋ｄ）＋２ｃｄ）／６

　　Ｐ2＝（２（ａ^2＋ａｃ＋ｃ^2）＋（ａ＋ｃ）（ｂ＋ｄ）＋２ｂｄ）／６

　　Ｐ3＝（２（ａ^2＋ａｄ＋ｄ^2）＋（ａ＋ｄ）（ｂ＋ｃ）＋２ｂｃ）／６

　　Ｐ4＝（２（ｂ^2＋ｂｃ＋ｂ^2）＋（ｂ＋ｃ）（ａ＋ｄ）＋２ａｄ）／６

　　Ｐ5＝（２（ｂ^2＋ｂｄ＋ｄ^2）＋（ｂ＋ｄ）（ａ＋ｃ）＋２ａｃ）／６

　　Ｐ6＝（２（ｃ^2＋ｃｄ＋ｄ^2）＋（ｃ＋ｄ）（ａ＋ｂ）＋２ａｂ）／６

で与えられる．

　

　実際，これらは

　　ａ^4＋ｂ^4＋ｃ^4＋ｄ^4−４ａｂｃｄ

　＝Ｐ1（ａ−ｂ）^2＋Ｐ2（ａ−ｃ）^2＋Ｐ3（ａ−ｄ）^2＋Ｐ4（ｂ−ｃ）^2＋Ｐ5（ｂ−ｄ）^2＋Ｐ6（ｃ−ａ）^2

を満たしている．

　

　同様に，ｎ＝５の場合，

　　ａ^5＋ｂ^5＋ｃ^5＋ｄ^5＋ｅ^5−５ａｂｃｄｅ

　＝Ｐ1（ａ−ｂ）^2＋Ｐ2（ａ−ｃ）^2＋Ｐ3（ａ−ｄ）^2＋Ｐ4（ａ−ｅ）^2＋Ｐ5（ｂ−ｃ）^2＋Ｐ6（ｂ−ｄ）^2＋Ｐ7（ｂ−ｅ）^2＋Ｐ8（ｃ−ｄ）^2＋Ｐ9（ｃ−ｅ）^2＋Ｐ10（ｄ−ｅ）^2

　

　　Ｐ1＝（３（ａ^3＋ａ^2ｂ＋ａｂ^2＋ｂ^3）＋（ａ^2＋ａｂ＋ｂ^2）（ｃ＋ｄ＋ｅ）＋（ａ＋ｂ）（ｃｄ＋ｃｅ＋ｄｅ）＋３ｃｄｅ）／１２

Ｐ2〜Ｐ10はこの巡回置換となるので省略する．

　

　ｎ＝６では

　　ａ^6＋ｂ^6＋ｃ^6＋ｄ^6＋ｅ^6＋ｆ^6−６ａｂｃｄｅｆ

　＝Ｐ1（ａ−ｂ）^2＋Ｐ2（ａ−ｃ）^2＋Ｐ3（ａ−ｄ）^2＋Ｐ4（ａ−ｅ）^2＋Ｐ5（ａ−ｆ）^2＋Ｐ6（ｂ−ｃ）^2＋Ｐ7（ｂ−ｄ）^2＋Ｐ8（ｂ−ｅ）^2＋Ｐ9（ｂ−ｆ）^2＋Ｐ10（ｃ−ｄ）^2＋Ｐ11（ｃ−ｅ）^2＋Ｐ12（ｃ−ｆ）^2＋Ｐ13（ｄ−ｅ）^2＋Ｐ14（ｄ−ｆ）^2＋Ｐ15（ｅ−ｆ）^2

　

　　Ｐ1＝（１２（ａ^4＋ａ^3ｂ＋ａ^2ｂ^2＋ａｂ^3＋ｂ^4）＋３（ａ^3＋ａ^2ｂ＋ａｂ^2）（ｃ＋ｄ＋ｅ＋ｆ）＋２（ａ^2＋ａｂ＋ｂ^2）（ｃｄ＋ｃｅ＋ｃｆ＋ｄｅ＋ｄｆ＋ｅｆ）＋３（ａ＋ｂ）（ｃｄｅ＋ｃｄｆ＋ｃｅｆ＋ｄｅｆ）＋１２ｃｄｅｆ）／６０

Ｐ2〜Ｐ15は省略．

　

［補］これらの検算は，畏友・阪本ひろむ氏にお願いし，Mathematicaで正しいことを確認してもらっている．

　

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　　ａ1^n＋ａ2^n＋・・・＋ａn^n−ｎａ1ａ2・・・ａn

において，

　　ａ1＝ｘ1^2，ａ2＝ｘ2^2，・・・

とすると，

　　ｘ1^2n＋ｘ2^2n＋・・・＋ｘn^2n−ｎｘ1^2ｘ2^2・・・ｘn^2

　＝１／２（ｎ−１）！｛Σ（ｘ1^2(n-1)−ｘ2^2(n-1)）（ｘ1^2−ｘ2^2）＋・・・｝

　＝１／２（ｎ−１）！｛Σ（ｘ1^2(n-2)＋ｘ1^2(n-3)ｘ2^2＋・・・＋ｘ2^2(n-2)）（ｘ1^2−ｘ2^2）^2＋・・・｝

より，各項が（ｘ1^2−ｘ2^2）ｘ1^(n-2)の平方の形の多項式となっていることがわかるだろう．

　

　ｎ次形式が２次形式に変換されたというわけであるが，

　　ａ1＝ｘ1^2，ａ2＝ｘ2^2，・・・

とおける場合，たとえば

　　ａ^2＋ｂ^2−２ａｂ＝（ａ−ｂ）^2

は１個の多項式の平方の形に書けるし

　　ａ^3＋ｂ^3＋ｃ^3−３ａｂｃ＝（ａ＋ｂ＋ｃ）｛（ａ−ｂ）^2＋（ｂ−ｃ）^2＋（ｃ−ａ）^2｝／２

ならば９個の多項式の平方の和，また，

　　ａ^4＋ｂ^4＋ｃ^4＋ｄ^4−４ａｂｃｄ

　＝Ｐ1（ａ−ｂ）^2＋Ｐ2（ａ−ｃ）^2＋Ｐ3（ａ−ｄ）^2＋Ｐ4（ｂ−ｃ）^2＋Ｐ5（ｂ−ｄ）^2＋Ｐ6（ｃ−ｄ）^2

　　Ｐ1＝（２（ａ^2＋ａｂ＋ｂ^2）＋（ａ＋ｂ）（ｃ＋ｄ）＋２ｃｄ）／３

は各Ｐiが８個の平方の和であるから，４８個の実数係数多項式の平方の和となることが理解される．

　

　もしこの式を

　　Ｐ1＝（（ａ＋ｂ＋ｃ＋ｄ）^2＋ａ^2＋ｂ^2−ｃ^2−ｄ^2−（ａ＋ｂ）（ｃ＋ｄ））／３

と変形すれば，各Ｐiは９個の平方の和であるから５４個の実数係数多項式の平方の和になる．このことより

　　Ｆ＝ΣＰi^2

の表し方は１通りではないことがわかる．

　

　同様に，

　　ａ^5＋ｂ^5＋ｃ^5＋ｄ^5＋ｅ^5−５ａｂｃｄｅ

　＝Ｐ1（ａ−ｂ）^2＋Ｐ2（ａ−ｃ）^2＋Ｐ3（ａ−ｄ）^2＋Ｐ4（ａ−ｅ）^2＋Ｐ5（ｂ−ｃ）^2＋Ｐ6（ｂ−ｄ）^2＋Ｐ7（ｂ−ｅ）^2＋Ｐ8（ｃ−ｄ）^2＋Ｐ9（ｃ−ｅ）^2＋Ｐ10（ｄ−ｅ）^2

　

　　Ｐ1＝（３（ａ^3＋ａ^2ｂ＋ａｂ^2＋ｂ^3）＋（ａ^2＋ａｂ＋ｂ^2）（ｃ＋ｄ＋ｅ）＋（ａ＋ｂ）（ｃｄ＋ｃｅ＋ｄｅ）＋３ｃｄｅ）／１２

では各Ｐiが２０個の平方の和であるから，全体で２００個の実数係数多項式の平方の和となる．

　

　　ａ^6＋ｂ^6＋ｃ^6＋ｄ^6＋ｅ^6＋ｆ^6−６ａｂｃｄｅｆ

　＝Ｐ1（ａ−ｂ）^2＋Ｐ2（ａ−ｃ）^2＋Ｐ3（ａ−ｄ）^2＋Ｐ4（ａ−ｅ）^2＋Ｐ5（ａ−ｆ）^2＋Ｐ6（ｂ−ｃ）^2＋Ｐ7（ｂ−ｄ）^2＋Ｐ8（ｂ−ｅ）^2＋Ｐ9（ｂ−ｆ）^2＋Ｐ10（ｃ−ｄ）^2＋Ｐ11（ｃ−ｅ）^2＋Ｐ12（ｃ−ｆ）^2＋Ｐ13（ｄ−ｅ）^2＋Ｐ14（ｄ−ｆ）^2＋Ｐ15（ｅ−ｆ）^2

　

　　Ｐ1＝（１２（ａ^4＋ａ^3ｂ＋ａ^2ｂ^2＋ａｂ^3＋ｂ^4）＋３（ａ^3＋ａ^2ｂ＋ａｂ^2）（ｃ＋ｄ＋ｅ＋ｆ）＋２（ａ^2＋ａｂ＋ｂ^2）（ｃｄ＋ｃｅ＋ｃｆ＋ｄｅ＋ｄｆ＋ｅｆ）＋３（ａ＋ｂ）（ｃｄｅ＋ｃｄｆ＋ｃｅｆ＋ｄｅｆ）＋１２ｃｄｅｆ）／６０

の場合は各Ｐiが５４個の平方の和であるから，８１０個の実数係数多項式の平方の和で表される．

　

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

　

　ここで，２ｎ次の２ｎ｛Ａ（ｘ^2n）−Ｇ（ｘ^2n）｝：

　　Ｆ＝ｘ1^2n＋ｘ2^2n＋・・・＋ｘ2n^2n−２ｎｘ1ｘ2・・・ｘ2n

について考えてみよう．

　

　　［参］ハーディ・リトルウッド・ポーヤ「不等式」シュプリンガー・フェアラーク東京

の方法：

　　Ｆ＝ｘ1^2n＋・・・＋ｘn^2n−ｎｘ1^2・・・ｘn^2

　　　＋ｘn+1^2n＋・・・＋ｘ2n^2n−ｎｘn+1^2・・・ｘ2n^2

　　　＋ｎ（ｘ1・・・ｘn−ｘn+1・・・ｘ2n）^2

より，

　　ｘ^4＋ｙ^4＋ｚ^4＋ｗ^4−４ｘｙｚｗ

　＝ｘ^4＋ｙ^4−２ｘ^2ｙ^2＋ｚ^4＋ｗ^4−２ｚ^2ｗ^2＋２（ｘｙ−ｚｗ）^2

　＝（ｘ^2−ｙ^2）^2＋（ｚ^2−ｗ^2）^2＋２（ｘｙ−ｚｗ）^2

は１・２＋１＝３個の多項式の平方の和であり，また，

　　ｘ^6＋ｙ^6＋ｚ^6＋ｕ^6＋ｖ^6＋ｗ^6−６ｘｙｚｕｖｗ

　＝ｘ^6＋ｙ^6＋ｚ^6−３ｘ^2ｙ^2ｚ^2＋ｕ^6＋ｖ^6＋ｗ^6−３ｕ^2ｖ^2ｗ^2＋３（ｘｙｚ−ｕｖｗ）^2

　＝１／２（ｘ^2＋ｙ^2＋ｚ^2）｛（ｙ^2−ｚ^2）^2＋（ｚ^2−ｘ^2）^2＋（ｘ^2−ｙ^2）^2｝＋１／２（ｕ^2＋ｖ^2＋ｗ^2）｛（ｖ^2−ｗ^2）^2＋（ｗ^2−ｕ^2）^2＋（ｕ^2−ｖ^2）^2｝＋３（ｘｙｚ−ｕｖｗ）^2

は９・２＋１＝１９個の多項式の平方の和となる．

　

　２ｎ＝４，２ｎ＝６の場合は簡単な明示的２次形式となったが，２ｎ＝８では

　　ａ^8＋ｂ^8＋ｃ^8＋ｄ^8＋ｐ^8＋ｑ^8＋ｒ^8＋ｓ^8−８ａｂｃｄｐｑｒｓ　＝ａ^8＋ｂ^8＋ｃ^8＋ｄ^8−４ａ^2ｂ^2ｃ^2ｄ^2＋ｐ^8＋ｑ^8＋ｒ^8＋ｓ^8−４ｐ^2ｑ^2ｒ^2ｓ^2＋４（ａｂｃｄ−ｐｑｒｓ）^2

となり，因数分解できない形

　　ｘ^4＋ｙ^4＋ｚ^4＋ｗ^4−４ｘｙｚｗ

が現れるため，明示的な２次形式とするためには

　　４８・２＋１＝９７項

にもなってしまう．

　

　２ｎ＝１０，２ｎ＝１２の場合もそれぞれ

　　２００・２＋１＝４０１項

　　８１０・２＋１＝１６２１項

となり簡単な形にはならないのだが，それでは最小項数の２次形式の和として表すためにはどのようにすればよいのだろうか？

　

　　［参］ハーディ・リトルウッド・ポーヤ「不等式」シュプリンガー・フェアラーク東京

の計算法は，例えば，３ｎ次の３ｎ｛Ａ（ｘ^3n）−Ｇ（ｘ^3n）｝：

　　Ｆ＝ｘ1^3n＋ｘ2^3n＋・・・＋ｘ3n^3n−３ｎｘ1ｘ2・・・ｘ3n

にはうまく拡張できないので，２ｎ次の場合

　　Ｆ＝ｘ1^2n＋ｘ2^2n＋・・・＋ｘ2n^2n−２ｎｘ1ｘ2・・・ｘ2n

　　　＝ｘ1^2n＋・・・＋ｘn^2n−ｎｘ1^2・・・ｘn^2

　　　＋ｘn+1^2n＋・・・＋ｘ2n^2n−ｎｘn+1^2・・・ｘ2n^2

　　　＋ｎ（ｘ1・・・ｘn−ｘn+1・・・ｘ2n）^2

が最善なのかもしれないが，まだまだ疑問が残るところである．

　

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【２】算術平均・幾何平均の不等式

　

　　（ａ1＋ａ2＋・・・＋ａn）／ｎ≧（ａ1ａ2・・・ａn）^(1/n)

また，もっと一般的には，δ1，・・・，δnを

　　δ1＋・・・＋δn＝１

を満たす重みとすると

　　δ1ａ1＋δ2ａ2＋・・・＋δnａn≧ａ1^δ1ａ2^δ2・・・ａn^δn

が有名な算術平均・幾何平均不等式である．ここで，簡単な演習問題を解いてみよう．

　

　算術平均・幾何平均不等式のもっとも単純な場合が

　　（ａ＋ｂ）／２≧√ａｂ

であるが，これより

　　ａ^2＋ｂ^2≧２ａｂ

　

　算術平均・幾何平均不等式の巡回置換

　　ａ^2＋ｂ^2≧２ａｂ，ｂ^2＋ｃ^2≧２ｂｃ，ｃ^2＋ａ^2≧２ｃａ

を加えると

　　ａ^2＋ｂ^2＋ｃ^2≧２ａｂ＋２ｂｃ＋２ｃａ

一方，これらをかけ合わせると，

　　（ａ^2＋ｂ^2）（ｂ^2＋ｃ^2）（ｃ^2＋ａ^2）≧８ａ^2ｂ^2ｃ^2

　

　また，

　　ａ^4＋ｂ^4≧２ａ^2ｂ^2

　　ｃ^4＋ｄ^4≧２ｃ^2ｄ^2

を辺々を加えると，

　　ａ^4＋ｂ^4＋ｃ^4＋ｄ^4≧２（ａ^2ｂ^2＋ｃ^2ｄ^2）

右辺に対して，算術平均・幾何平均不等式を用いると，

　　ａ^4＋ｂ^4＋ｃ^4＋ｄ^4≧４ａｂｃｄ

が得られる．

　

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【３】対称式とヤング図形

　

　対称式の計算は，ヤング図形を用いて見通しよく行うことができる．この節の目的はヤング図形を用いて対称式のかけ算を見通しよく行うことであるが，その計算法はヤング図形のテンソル積で定義される．

　

　とはいっても，具体的な方法については割愛せざるを得ないのだが，

　　［参］硲文夫「代数学」森北出版

に非常にわかりやすい解説があるので，それをご覧頂きたい．

　

　さて，対称式の基本定理より，ｎ変数のどんな対称式も基本対称式を用いて表すことができる．たとえば，２変数の場合，

　　α1^2＋α2^2＝（α1＋α2）^2−２α1α2

　　α1^3＋α2^3＝（α1＋α2）^3−３（α1＋α2）α1α2

　　α1^2α2＋α1α2^2＝（α1＋α2）α1α2

など．

　

　２変数の場合，α1＋α2やα1α2が基本対称式であるが，ｎ変数の場合の基本対称式は

　　σ1＝ｘ1＋・・・＋ｘn　　　（項数nＣ1）

　　σ2＝ｘ1ｘ2＋・・・＋ｘn-1ｘn　　　（項数nＣ2）

　　σ3＝ｘ1ｘ2ｘ3＋・・・＋ｘn-2ｘn-1ｘn　　　（項数nＣ3）

　　・・・・・・・・・・・・・・・・・・・

　　σn＝ｘ1ｘ2ｘ3・・・ｘn　　　（項数nＣn）

となる．

　

　単項式

　　ｘ1^a1ｘ2^a2・・・ｘn^an　　　（a1≧a2≧･･･≧an≧0）

において，ｘ1，ｘ2，・・・，ｘnを置換して加えて得られる多項式を

　　(a1a2･･･an)

と表すことにする．

　

　この記号を用いると

　　σ1＝ｘ1＋・・・＋ｘn＝[1,0,0,･･･,0]＝(1)

　　σ2＝ｘ1ｘ2＋・・・＋ｘn-1ｘn＝[1,1,0,･･･,0]＝(11)＝(1^2)

　　・・・・・・・・・・・・・・・・・・・

　　σn＝ｘ1ｘ2ｘ3・・・ｘn＝[1,1,1,･･･,1]＝(111･･･1)=(1^n)

のように表すことができる．０はあってもなくても同じものを表している．

　

　また，この記号の表す式は変数の個数ｎが決まれば一意に定まる．しかし，逆にいうとｎが変わると異なり，たとえば，(41)は，ｎ＝２のとき

　　(41)＝ｘ1^4ｘ2＋ｘ1ｘ2^4

であるが，ｎ＝３のときは

　　(41)＝ｘ1^4ｘ2＋ｘ1^4ｘ3＋ｘ2^4ｘ1＋ｘ2^4ｘ3＋ｘ3^4ｘ1＋ｘ3^4ｘ2

となる．

　

　(41)のヤング図形は

　　□□□□

　　□

で表されるのだが，任意の対称式は基本対称式を用いて表すことができるという「対称式の基本定理」は，任意のヤング図形を

　　(1),(1^2),(1^3),(1^4),･･･

すなわち

　　□，□，□，□，・・・

　　　　□　□　□

　　　　　　□　□

　　　　　　　　□

で表せるということと同値である．

　

　(41)，すなわち

　　□□□□

　　□

の場合は

　　□｜□｜□｜□

　　□｜

のように縦に切り分けて，分けたもの同士のかけ算を行うことになる．

　

　そこで（ほとんど説明なしにではあるが）

　　［参］硲文夫「代数学」森北出版

に掲載されているヤング図形とテンソル積の計算例を紹介しておきたい．

　

　たとえば，ヤング図形のテンソル積を用いると

　　□×□＝□□＋３□

　　□　　　□　　　□

　　　　　　　　　　□

すなわち，

　　(1^2)×(1)＝(21)+3(1^3)

となるのだが，これはｎ＝２のとき

　　ｘ1ｘ2（ｘ1＋ｘ2）＝ｘ1^2ｘ2＋ｘ1ｘ2^2

ｎ＝３のとき

　　（ｘ1ｘ2＋ｘ1ｘ3＋ｘ2ｘ3）（ｘ1＋ｘ2＋ｘ3）＝ｘ1^2ｘ2＋ｘ1^2ｘ3＋ｘ2^2ｘ1＋ｘ2^2ｘ3＋ｘ3^2ｘ1＋ｘ3^2ｘ2）＋３ｘ1ｘ2ｘ3

ｎ＝４のとき

　　（ｘ1ｘ2＋ｘ1ｘ3＋ｘ1ｘ4＋ｘ2ｘ3＋ｘ2ｘ4＋ｘ3ｘ4）（ｘ1＋ｘ2＋ｘ3＋ｘ4）＝ｘ1^2ｘ2＋ｘ1^2ｘ3＋ｘ1^2ｘ4＋ｘ2^2ｘ1＋ｘ2^2ｘ3＋ｘ2^2ｘ4＋ｘ3^2ｘ1＋ｘ3^2ｘ2＋ｘ3^2ｘ4＋ｘ4^2ｘ1＋ｘ4^2ｘ2＋ｘ4^2ｘ3＋３（ｘ1ｘ2ｘ3＋ｘ1ｘ2ｘ4＋ｘ1ｘ3ｘ4＋ｘ2ｘ3ｘ4）

を意味していて，

　　(1^2)×(1)＝(21)+3(1^3)

が変数の数によらず常に成り立つことを示している．

　

　このテンソル積は一般化することができて

　　(1^3)×(1)＝(21^2)+4(1^4)

　　(1^n)×(1)＝(21^(n-1))+(n+1)(1^(n+1))

また，ここで得られた

　　(21)=(1^2)×(1)-3(1^3)

はヤング図形を基本対称式を用いて表したものと考えることができるが，一般の場合に拡大していくことができる．ヤング図形は対称式の基本定理の証明にも用いられるというわけである．

　

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　最後に，

　　ａ^4＋ｂ^4＋ｃ^4＋ｄ^4−４ａｂｃｄ

　＝Ｐ1（ａ−ｂ）^2＋Ｐ2（ａ−ｃ）^2＋Ｐ3（ａ−ｄ）^2＋Ｐ4（ｂ−ｃ）^2＋Ｐ5（ｂ−ｄ）^2＋Ｐ6（ｃ−ｄ）^2

にもう一度戻ってみることにするが，この式は置換（ａ←→ｂ）しても変化しないのでＰiには自ずと制約があるだろう．

　

　そこでもしＰ1〜Ｐ6を同じ多項式（＝Ｐ0）と仮定すると

　　ａ^4＋ｂ^4＋ｃ^4＋ｄ^4−４ａｂｃｄ

　＝Ｐ0｛（ａ−ｂ）^2＋（ａ−ｃ）^2＋（ａ−ｄ）^2＋（ｂ−ｃ）^2＋（ｂ−ｄ）^2＋（ｃ−ｄ）^2｝

　＝Ｐ0｛３（ａ^2＋ｂ^2＋ｃ^2＋ｄ^2）−２（ａｂ＋ａｃ＋ａｄ＋ｂｃ＋ｂｄ＋ｃｄ）｝

　

　この問題はヤング図形との関係でいえば，

　　ａ^4＋ｂ^4＋ｃ^4＋ｄ^4＝(4)

　　ａｂｃｄ＝(1^4)

　　ａ^2＋ｂ^2＋ｃ^2＋ｄ^2＝(2)

　　ａｂ＋ａｃ＋ａｄ＋ｂｃ＋ｂｄ＋ｃｄ＝(1^2)

より，

　　(4)-4(1^4)＝Ｐ0{3(2)-2(1^2)}

となるような２次同次式Ｐ0を求めよという問題になるのである．

　

　もっとも，同じ多項式（＝Ｐ0）と仮定すると

　　ａ^4＋ｂ^4＋ｃ^4＋ｄ^4−４ａｂｃｄ

が因数分解できることになるので矛盾してしまうので，良い例とはいえないが・・・．なお，

　　［参］野海正俊「パンルヴェ方程式」朝倉書店

には，ヤング図形と１：１対応するマヤ図形についての解説もあるので，併せて読まれるとよいであろう．

　

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