因数分解の算法

は因数分解不可能である．後者においてａ，ｂ，ｃ，ｄのどれかを負に直せば前者の帰着するから，両者は本質的に同じ式である．したがって，両者の因数分解可能性が一致するのは自明であろう．

　「ドクトル・カメレオン予想」を書いたときは，何か必然性があってこのような問題を発想したに違いない．まず，そのときの記述を抜粋してみることにしたい．

が得られる．このことから「α1，α2，・・・，αnの基本対称式は，累乗和：α1^j＋α2^j＋・・・＋αn^jの有理数を係数とする整式で表される」という結果が導き出される（ニュートンの定理）．

を根とする方程式の係数を導出することができる．したがって，もし係数ａ1，・・・，ａnがすべて有理数（整数）なら，求める方程式の係数もまたみな有理数（整数）となる．

　アーベルは「ニュートンの定理」を援用して方程式論を形成したことになるといえるだろう．アーベルは５次以上の一般代数方程式がベキ根によっては解けない（５次以上の方程式には，係数の間の四則と累乗根を使って表す根の公式はない）ことを初めて証明したノルウェーの数学者である．

　２次式，３次式はうまく因数分解できたが，ところが，左辺＝ｐ(k+1)－(-1)^k（ｋ＋１）σ(k+1)が基本対称式と累乗和だけを使って因数分解できるのもここまでで，４次式：

　なお，対称式の計算は，ヤング図形を用いて見通しよく行うことができる．ヤング図形は対称式の計算に役立つだけでなく，「群の表現論」と呼ばれる分野でも用いられ，テンソル積の計算など非常に便利なものになっている．群の表現論は現在も活発に研究され進歩している分野である．

　＝（ａ＋ｂ＋ｃ＋ｄ）（ａ^3＋ｂ^3＋ｃ^3＋ｄ^3）－（ａｂ＋ａｃ＋ａｄ＋ｂｃ＋ｂｄ＋ｃｄ）（ａ^2＋ｂ^2＋ｃ^2＋ｄ^2）＋（ａｂｃ＋ｂｃｄ＋ｃｄａ＋ｄａｂ）（ａ＋ｂ＋ｃ＋ｄ）　

をMathematicaで因数分解してみたが，因数分解不可能であった．このことは「Mathematicaによれば不可能」であって，「他の数式処理システムでは可能となる場合がある」ことを意味しているのではない．

　因数分解のアルゴリズムは，数式処理プログラムの出現以前に確立しているので，因数分解不可能なことは確実だ．長い間，気になっていたことなので，これで小生も一安心できた．

　因数分解のアルゴリズムがわかればよいのだが，この式に関しては背理法で因数分解で証明できそうな気もする．すなわち，

　「a,b,c,dの互換」がでてくるので，群論が使えそうな気もするが，これ以上は知恵が出てこない．この問題は本来は方程式論の問題なのだろうが，読者諸兄は不可能であることを証明できるだろうか？

　因数分解可能性について何か資料はないかと自宅にある数式処理の本を探してみたのだが，見つかったのは微分方程式の数式処理に関するものだけで，因数分解の話は載っていなかった．

　どこかで読んだ気もするのだが，どうも思い当たらない．数学辞典にも該当項目はないようだ．そこで，以下にはMathematicaのFactor（因数分解）の説明をコピーしたものを掲げておく．

　単変数多項式ではFactorは変形カントール・ザッセンハウス(Cantor-Zassenhaus)法を使用して素数を法として分解し，ヘンゼル(Hensel)構成と試し割りにより整数上の因子を決定する．

　多変数多項式ではFactorは適度に選択された整数を1変数を除いて代入し，結果の1変数多項式を分解し，ワン(Wang)法の使用で多変数因子を構成することにより実行される．

　小生にとって，ここに書かれた代数学の方法とか用語はまったく耳新しく，馴染みがないものばかりである．しかし，コラム化するからには「無知でお役に立てず申し訳ない」で済ますわけにはいかない．話をふくらませてそれなりの内容にまでもっていかなければならないのである．

の力を借りて，上記の話を意訳してみることにした．それによると，数式処理システムによる因数分解というと，当初はコンピュータに公式を憶えさせていて，それをあてはめるような方式であり，１９６０年代でも以下のような素朴な算法であったらしい．

したがって，ｂ1とｂ0の可能性は有限個しかなく，そのすべての組合せのｂ1ｘ＋ｂ0でｆ（ｘ）を割ってみればよいことになる．

の有限個の組合せに対して，対応するｂ1も有限個である．そこでｘ＝ｋ（整数）を代入して，ｂ2ｋ^2＋ｂ1ｋ＋ｂ0でｆ（ｘ）を割ってみる．３次因子を求めるにはｘに代入する整数を２つとればよいことになる．

　１９６０年代には，このような古典的な方法しか知られておらず，あとは可能性を探していくという素朴な因数分解方式であった．この方式でも１の６乗根

といった因数分解はすぐにできると思われるが，このような有限個の可能性の中から所望の解を探すような算法は非効率的である．

　無平方分解はｆ（ｘ）とｆ’（ｘ）の最大公因子をユークリッドの互除法で機械的に計算できるから，コンピュータ向きの方法であり，実用上は無平方分解だけで完全な因数分解に達することも多いという→［補］．このように，因数分解に関しては，コンピュータのパワー（記憶容量の拡大と高速化）よりも，因数分解のための算法の開発面に負うところが大きいのである．

　よく知られているようにｆ（ｘ）＝０が重根をもつためにはｆ（ｘ）＝０，ｆ’（ｘ）＝０が共通根をもつことである．したがって，

　中学校の課題研究の際，Mathematicaに「ｘ^4＋１を因数分解せよ」と入力しても「因数分解できません」と返ってきた．ｘ^4＋２，ｘ^4＋３も同様である．

という結果が返ってきて驚かされた．さらに，ｘ^4＋５，ｘ^4＋９，ｘ^4＋１６，ｘ^4＋２５，・・・と試みても「因数分解できません」という結果であったが，根気強く続けて，ｘ^4＋６４では

において，２ｃ＝ｂ^2の特別な場合になっていること．また，この変形はあまりに技巧的で高校数学のカリキュラムからも消えているのだが，それを数式処理システムを使って発見的に得ることができたことなど，数式処理システムの効用についてのエピソードであるが，数式処理システムが数学研究のみならず，数学教育にも有効と考えられる所以である．

　数式処理ソフトというと，MathematicaやらMAPLEやら，いまでは多くの種類があるが，パソコンで手が届くようになったのはユタ大学のハーンによってReduceが開発されて以来のことである．なかでもMathematicaは代表的な数式処理ソフトであり，数式処理ソフトの中でも別格といってよいものであろう．

　その開発者ウルフラム（イギリスの理論物理学者：1959-）は，１９７５年，１６歳でオックスフォード大学に入学後１年でそこを去り，カリフォルニア工科大学の研究員の地位を得る．２０歳で博士号を取得し最年少でマッカーサー特別研究員の第１期生となった．

　しかし，後のMathematicaの原型となるSMPの著作権をめぐって大学と抗争となりそこを去る．そして，多数の論文，著作を残した量子色力学の研究を放棄して，セルオートマトン理論の研究に参入する．７０年代のライフゲーム（コンウェイ）のブームが下火となった８０年代前半に，ウルフラムは２次元モデルが中心であったセルオートマトンに１次元モデルを導入し，物理現象を表す偏微分方程式をコンピュータで近似するかわりに，セルオートマトンを用いるスキームを開発した．

　１次元セルオートマトン法では，セルの並びを横一列だけとして初期配置と状態変化の規則を設定し，その時間ステップごとの変化を縦に並べる．すると，２次元にある模様が現れる．ウルフラムはこうして得られた１次元セルオートマトンモデルが作り出すパターンを系統的に研究することによって，クラス１（均一），クラス２（周期的），クラス３（カオス的），クラス４（複雑）の４つのクラスに分類し，さらにセルオートマトンと微分方程式系との対応を初めて明らかにした．セルオートマトンによって偏微分方程式の近似解が与えられ，自然界の様々なモデル化が可能であることを指摘した．

　これが１９８４年に発表された有名な論文の要旨である．コンピュータを使う限りはすべて離散量で扱っていることになるので，ウルフラムは微分方程式よりも彼のスキームのほうがデジタル・コンピュータに適していると主張する．このことによってセルオートマトン法は再び注目を浴び，様々な分野に適用されている．

　当時，ウルフラムはプリンストン研究所と同時にロスアラモス研究所に所属していたのであるが，ウルフラムによるMathematicaの開発は，彼のセルオートマトンに対する理解と重なっているように見える．また，実際そうであったに違いない．ウルフラムについては「おそろしく頭のいい奴」とその天才ぶりを評する以外にないだろう．

　これらのように，内積の行列式で定義される行列式をグラムの行列式（グラミアン）といいます．平行体の面積・体積はグラミアンの平方根に等しくなるというわけです．

　また，座標を使って表せば，ｎ＋１個の点の座標に（１，１，１，・・・，１）を加えて作られる（ｎ＋１）次の行列式の絶対値になります．

　また，４辺の長さがａ，ｂ，ｃで与えられた三角形，６辺の長さがａ，ｂ，ｃ，ｄ，ｅ，ｆで与えられた四面体の場合は，

　前者はヘロンの公式にほかなりませんが，ヘロンの公式とは，任意の三角形の三辺の長さをａ，ｂ，ｃ，面積をΔとして，

　要はMathematicaで因数分解できないが，実際は因数分解ができるような多項式は存在する．このような場合，エラーメッセージがでるケースとそうでない場合があるということだ．