フェイェシュ・トートの「配置の問題−平面・球面・空間における−」みすず書房は，幾何学のおける種々の不等式を扱ったものとしては他に類書をみない数学書として殊に有名である．とはいってもこの書籍が絶版になって久しい．私もこれまで読んだことはなかったのだが，この度，岐阜県立図書館のご厚意により，はじめて目を通すことができた．やっと念願がかなえられた気分である．

　

　ところで，幾何学はあらゆる科学分野に関わっているといっても言い過ぎではないであろう．とりわけ，配置の問題は容器にものを詰めるとか，部屋の中にものを配置するとか，日常生活でしばしば出くわすことである．

　

　「閑話休題」ではこれまで多くの幾何学的不等式を紹介してきたが，今回のコラムでは，不等式の世界を「配置の問題」から得た知識でもって補完して再構成することを試みる．原著より読みやすくなっているかどうか気がかりなところであるが，・・・

　

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【１】三角不等式

　

　まず，頭の体操からはじめましょう．「正三角形内の任意の点Ｐから，各辺までの距離をｒ1，ｒ2，ｒ3とすれば，その和は，点Ｐの位置にかかわらず，常に一定である．」という問題を解いてみることにします．

　

　正三角形の１辺の長さが１のとき，

　　ｒ1＋ｒ2＋ｒ3＝√３／２

すなわち，この和が正三角形の高さと等しくなることは（小生が勝手に寄木細工定理と呼んでいるものを使って）簡単に求められます．

　

　次に「正三角形内の任意の点Ｐから，各頂点までの距離をＲ1，Ｒ2，Ｒ3とすれば，その和が最大になるのは点Ｐが重心に一致するときである．」について考えてみることにしましょう．

　

　求める点Ｐをフェルマー点といいます．点Ｐは三角形ＡＢＣの内部にありますが，∠Ａ，∠Ｂ，∠Ｃ＜１２０°のときには，３頂点に至る距離の和が最小となる点は３辺を等角１２０°に見込む点です．∠Ａ，∠Ｂ，∠Ｃのいずれかが≧１２０°のときには，それぞれ頂点Ａ，頂点Ｂ，頂点Ｃになります．したがって，正三角形の１辺の長さが１のとき，

　　Ｒ1＋Ｒ2＋Ｒ3≧√３

より，最小値√３が得られます．

　

　「Ａ，Ｂ，Ｃ３軒の家に電線をひきたい．電線の長さを最小にするにはどこの柱を立てればよいか」ではＡＰ＋ＢＰ＋ＣＰを最小にする実用価値のある問題になります．このような最短配線問題は最小木問題（問題の発案者シュタイナーに因んで最小シュタイナー木問題）と呼ばれていますが，ＶＬＳＩ回路を設計するときの最も基本的な技術となっています．

　

　さて，いよいよここからが本題です．三角不等式というと「三角形の２辺の和は他の１辺より長い」が思い起こされますが，与えられた三角形の外接円の半径Ｒおよび内接円の半径ｒとおくと，

　　Ｒ≧２ｒ

となることを主張する，もうひとつの三角不等式を証明してみることにしましょう．

　

（問題）Ｒ≧２ｒ　　　等号は正三角形のときに限る．

　

（証明）

　外接円と内接円の中心間の距離をｄとおくとき，Ｒ^2−２Ｒｒ＝ｄ^2が成り立ちます（オイラーの定理）．この関係式を導き出せば，ただちにＲ≧２ｒがわかるのですが，この関係式を導き出すことは見かけよりもやっかいで，ヘロンの公式を使ったほうがほうが簡単です．

　

　ヘロンの公式とは，任意の三角形の三辺の長さをａ，ｂ，ｃ，面積をΔとして，

Δ^2＝（２ａ^2ｂ^2＋２ｂ^2ｃ^2＋２ｃ^2ａ^2−ａ^4−ｂ^4−ｃ^4）／１６

　　＝（ａ＋ｂ＋ｃ）（−ａ＋ｂ＋ｃ）（ａ−ｂ＋ｃ）（ａ＋ｂ−ｃ）／１６

　

　ここで，２ｓ＝ａ＋ｂ＋ｃとおくと

Δ^2＝ｓ（ｓ−ａ）（ｓ−ｂ）（ｓ−ｃ）

となり，おなじみの平面三角形のヘロンの公式が得られます．

　

　外接円の半径Ｒおよび内接円の半径ｒをａ，ｂ，ｃ，Δで表すと，

　　ａｂｃ＝４ＲΔ　　　　　　　（正弦定理）

　　（ａ＋ｂ＋ｃ）ｒ＝２Δ　　　（寄木細工定理）

ここで，

　　ｓ1＝ａ＋ｂ＋ｃ，

　　ｓ2＝ａｂ＋ｂｃ＋ｃａ，

　　ｓ3＝ａｂｃ

とおくとき，Ｒ≧２ｒは

　　ｓ1ｓ3≧１６Δ^2

　　ｓ1^3−４ｓ1ｓ2＋９ｓ3≧０

と同値．

　

　実際にやってみると

　　ｓ1^3−４ｓ1ｓ2＋９ｓ3＝１／２［（ｂ−ｃ）^2（ｂ＋ｃ−ａ）＋（ｃ−ａ）^2（ｃ＋ａ−ｂ）＋（ａ−ｂ）^2（ａ＋ｂ−ｃ）］≧０

ｂ＋ｃ−ａ＞０，ｃ＋ａ−ｂ＞０，ａ＋ｂ−ｃ＞０ですから，等号はａ＝ｂ＝ｃのときに限ることがわかります．

　

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　とはいってもこれを計算で出すのは大変ですし，この方法で高次元への拡張がうまくいくとはとても思えません．そこで，簡単な補助定理

ａ）ｎ次元球に内接および外接するすべての単体のなかで正則単体はそれぞれ最大および最小の体積をもっていること

ｂ）一様な棒の重心は両端の間の距離を１：１に，三角形の重心は中線を２：１に，四面体の重心は頂点と向かいあう面の重心との距離を３：１に内分します．すなわち，四面体の重心は１つの面の重心から対頂点に引いた直線の１／４の点にあること，・・・

を使うことによって，以下の不等式が得られます．

　

　三角不等式：Ｒ≧２ｒは３次元空間へも拡張できて，４面体では

　　Ｒ≧３ｒ　　　（４面体不等式）

三角形の重心の性質は四面体に遺伝するのです．

　

　また，４次元以上でもこの規則性が失われることはありそうもなく，同様に類推されます．すなわち，ｎ次元単体でも同様に

　　Ｒ≧ｎｒ　　　（単体不等式）

が成り立ちます．一般に，体積が与えられた単体において，頂点からある任意の点までの距離の和は，その単体が正則でありかつその点が重心であるときに極小値に達します．

　

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【２】エルデシュの不等式

　

　三角不等式（Ｒ≧２ｒ）は，より一般的には「△ＡＢＣ内の任意の点Ｐから，各頂点までの距離をＲ1，Ｒ2，Ｒ3，各辺（またはその延長）までの距離をｒ1，ｒ2，ｒ3とすれば，

　　Ｒ1＋Ｒ2＋Ｒ3≧２（ｒ1＋ｒ2＋ｒ3）

等号は△ＡＢＣが正三角形で，Ｐがその重心であるとき」

で与えられます．

　

　これが「エルデシュの定理」で，この定理はＲ≧２ｒの一般化であると考えられます．エルデシュの定理は，簡単に

　　Ａ（Ｒ）≧２Ａ（ｒ）

と書けますが，Ａは算術平均の略で，Ｒの算術平均≧２（ｒの算術平均）という意味です．

　

　エルデシュの定理は，算術平均Ａを調和平均Ｈ，幾何平均Ｇに置き換えても成り立ちます．すなわち，

　　Ｒ1Ｒ2Ｒ3≧８ｒ1ｒ2ｒ3

　　１／ｒ1＋１／ｒ2＋１／ｒ3≧２（１／Ｒ1＋１／Ｒ2＋１／Ｒ3）

　

　また，２次の基本対称式に対しては

　　Ｒ1Ｒ2＋Ｒ2Ｒ3＋Ｒ3Ｒ1≧４（ｒ1ｒ2＋ｒ2ｒ3＋ｒ3ｒ1）

も知られています．この種の不等式は美しい．しかし，証明は難しい・・・．

　

　次に，三角形の代わりに４面体を用います．４面体のある内点から各面までの距離ｒ1，・・・，ｒ4，各頂点までの距離をＲ1，・・・，Ｒ4で表すことにします．

　

　一般に，三角形の重心の性質は四面体に遺伝するので，

　　Ｒ1＋Ｒ2＋Ｒ3＋Ｒ4≧３（ｒ1＋ｒ2＋ｒ3＋ｒ4）

となるはずですが，ところが，これが成立しないのです．

　

　４面体では

　　Ｒ1＋Ｒ2＋Ｒ3＋Ｒ4≧√８（ｒ1＋ｒ2＋ｒ3＋ｒ4）

　　Ｒ1Ｒ2Ｒ3Ｒ4≧８１ｒ1ｒ2ｒ3ｒ4

であることが示されています．

　

　あとで，任意の多面体において，

　　Ａ（Ｒ）≧ＣＡ（ｒ）

の右辺の算術平均：Ａ（ｒ）をもっと小さな平均値，調和平均：Ｈ（ｒ）で置き換えることを試みますが，その前に，次項では多角形について成り立つ一般的な不等式を紹介することにします．

　

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【３】球殻不等式

　

　三角不等式は

　　Ｒ／ｒ≧２

とも書けるのですが，Ｒとｒは対称となる図形を外と内から押さえるものですから，Ｒ／ｒに関するこの不等式は「球殻不等式」と呼ぶこともできるでしょう．すなわち，Ｒ／ｒが最小となるもの（最小球殻）を求める問題と考えることができるのです．

　

　ｎ次元単体について，

　　Ｒ／ｒ≧ｎ

を示しましたが，ここでは次元を大きくするのではなく，辺数ｎを大きくしてｎ角形へ拡張してみましょう．そうすると，任意の凸ｎ角形において，不等式

　　Ｒ／ｒ≧ｓｅｃ（π／ｎ）

等号は正ｎ角形の場合にのみ成り立ちます．

　

（証明）

　単位円に内接する凸ｎ角形の周長Ｌは

　　Ｌ＝２（ｓｉｎα1＋・・・＋ｓｉｎαn）

これより，

　　Ｌ≦２ｎｓｉｎ（π／ｎ）

また，外接する場合，

　　Ｌ＝２（ｔａｎα1＋・・・＋ｔａｎαn）

　　Ｌ≧２ｎｔａｎ（π／ｎ）

　

　一般に，凸ｎ角形の面積Ｓ，周長Ｌ，内接円の半径ｒ，外接円の半径Ｒの間には，次の不等式が成り立ちます．

　　２ｎｒｔａｎ（π／ｎ）≦Ｌ≦２ｎＲｓｉｎ（π／ｎ）

　　ｎｒ^2ｔａｎ（π／ｎ）≦Ｓ≦１／２ｎＲ^2ｓｉｎ（２π／ｎ）

　

　等号は正ｎ角形の場合にのみ成り立ちますから，定円に外接するｎ角形の中で，正ｎ角形は周長・面積が最小であり，内接するｎ角形の中で，正ｎ角形は周長・面積が最大となります．このことは直観的にも理解されるでしょう．

　

　以上より，

　　Ｒ／ｒ≧ｓｅｃ（π／ｎ）

が得られます．とくに，ｎ＝３の場合，ｓｅｃ（π／３）＝２より，

　　Ｒ／ｒ≧２　　　（三角不等式）

となります．

　

　これを，エルデシュの不等式のように，ｎ角形へ一般化すると，

　　Ｒ1＋Ｒ2＋・・・＋Ｒn≧ｓｅｃ（π／ｎ）（ｒ1＋ｒ2＋・・・＋ｒn）

また，算術平均の代わりに幾何平均をとったとしても

　　Ｒ1Ｒ2・・・Ｒn≧ｓｅｃ^n（π／ｎ）ｒ1ｒ2・・・ｒn

が成り立ちます．

　

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　次に，多角形でなく，多面体の場合を考えてみるために，

　　ωn＝ｎ／（ｎ−２）・π／６　　　ｎ≧３

を導入しておきます．球面上にｎ個の点を配置した場合，２ｎ−４はｎ個の頂点をもつ三角形面正多面体の面数となりますから，△n＝６ωn−πは単位球面が分割されてできる球面三角形の平均面積，また，球面正三角形の場合，２ωnは面積が６ωn−πの球面正三角形△nの１つの内角を表しています．

　

ａ）ｎ個の頂点またはｎ個の面をもつ凸多面体の内接球半径ｒおよび外接球半径Ｒの間には，球殻不等式

　　Ｒ／ｒ≧√３ｔａｎωn

が成立します．ｎ＝４のとき，ωn＝π／３．したがって，

　　Ｒ／ｒ≧３　　　（４面体不等式）

が得られます．

　

　これを一般化すると，

ｂ）単位球を含む，ｎ個の面をもつ３稜頂点多面体において，球の中心から各頂点までの距離をＲ1，・・・，Ｒ2n-4とすれば，

　　Ａ（Ｒ1，・・・，Ｒ2n-4）≧√３ｔａｎωn

　

ｃ）ｎ個の頂点をもつ三角形面多面体が単位球に含まれるとき，球の中心から各面までの距離ｒ1，・・・，ｒ2n-4とすれば，

　　Ｈ（ｒ1，・・・，ｒ2n-4）≧１／√３ｃｏｔωn

ここで，Ａ，Ｈはそれぞれ算術平均，調和平均を表しているのですが，等号は５つの正多面体に対して成り立ちます．

　

　Ａ（Ｒ）／Ｈ（ｒ）≧√３ｔａｎωnは一般的に成り立ちませんが，しかし，Ａ（Ｒ，ｑ）をそれぞれの頂点における稜数ｑで重みづけをした算術平均，Ｈ（ｒ，ｐ）をそれぞれの面の辺数で重みづけした調和平均とすると，

ｄ）三角形面多面体において

　　Ａ（Ｒ，ｑ）／Ｈ（ｒ）≧√３ｔａｎωn

　

ｅ）３稜頂点多面体において

　　Ａ（Ｒ）／Ｈ（ｒ，ｐ）≧√３ｔａｎωn

が成り立ちます．

　

　これらの不等式は，頂点数ｖあるいは面数ｆの与えられた多面体に関する不等式でしたが，稜数がｅの凸多面体に対しては

ｆ）　Ｒ／ｒ≧√３ｔａｎ｛ｅ／（ｅ−３）・π／６｝

　等号は正４面体に対してのみ成り立つ．

　

ｇ）　Ｒ／ｒ≧ｔａｎ^2｛（ｅ＋２）／ｅ・π／２｝

は前式よりも一般的で精密で，等号は正４面体に対してのみ成り立ちます．

　

　凸多角形ではｖ−ｅ＝０でしたから，ｎ角形は必然的にｎ辺形になりましたが，凸多面体では

　　ｖ−ｅ＋ｆ＝２

ですから，多角形の３次元空間への拡張は，頂点数ｖ，稜数ｅ，面数ｆがともに与えられることによって完全になります．そこで，多面体の平均面数，平均稜数をそれぞれ

　　ｐ~＝２ｅ／ｆ，ｑ~＝２ｅ／ｖ

とおくと，

　　ｅｓｉｎ（２π／ｐ~）（ｔａｎ^2（π／ｐ~）ｔａｎ^2（π／ｑ~）−１）ｒ^2≦Ｓ≦ｅｓｉｎ（２π／ｐ~）（１−ｃｏｔ^2（π／ｐ~）ｃｏｔ^2（π／ｑ~）−１）Ｒ^2

　

　　ｅ／３ｓｉｎ（２π／ｐ~）（ｔａｎ^2（π／ｐ~）ｔａｎ^2（π／ｑ~）−１）ｒ^3≦Ｖ≦２ｅ／３ｃｏｓ^2（２π／ｐ~）ｃｏｔ（２π／ｑ~）（１−ｃｏｔ^2（π／ｐ~）ｃｏｔ^2（π／ｑ~））Ｒ^3

　

　同じ大きさの球に内接する正１２面体と正２０面体とでは，正１２面体の方が体積Ｖも表面積Ｓも大きい．−−−そんなばかなと思われるかもしれませんが，直感に反して，正１２面体は球の６６．５％，正２０面体は球の６０．６％を占めるのです．したがって，正多面体を球に内接させたとき最も球に近い正多面体は正１２面体です．一方，外接させれば体積も表面積も正２０面体の方が球に近くなります．

　

　これより，内接球半径，外接球半径をそれぞれｒ，Ｒとすれば，球殻不等式

ｈ）　Ｒ／ｒ≧ｔａｎ（π／ｐ~）ｔａｎ（π／ｑ~）

が導かれます．等号は正多面体に対して成り立つのですが，残念なことに，この式は証明が不完全で，予想にしかすぎません．

　

　また，これらをひとまとめにすると

ｉ）　Ａ（Ｒ，ｑ）／Ｈ（ｒ，ｐ）≧ｔａｎ（π／ｐ~）ｔａｎ（π／ｑ~）

も予想されるのですが，・・・．

　

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【４】等周不等式

　

　「周長Ｌの等しい平面領域で，最大の面積Ｓをもつものは円である．」これを別の表現にしたものが，等周不等式

　「Ｌ^2≧４πＳ　　　等号は円に対してのみ成り立つ．」

です．

　

　ｎ角形に関する等周問題を考察してみましょう．ｎ角形の周の長さが与えられているとき，面積の最大のものは正ｎ角形ですから，

　　Ｌ^2≧４ｎＳｔａｎ（π／ｎ）

等号は正ｎ角形に対してのみ成り立ちます．そこで，

　

（問題）△ＡＢＣ内の１点をＰ，面積を△とすると，

　　ＡＰ＋ＢＰ＋ＣＰ≧２√（（√３）△）

等号は△ＡＢＣが正三角形で，Ｐが重心のときに限る．

　

（証明）

　Ｐの辺ＢＣ，ＣＡ，ＡＢに関する対称点をＡ’，Ｂ’，Ｃ’とし，六角形ＡＣ’ＢＡ’ＣＢ’に不等式

　　Ｌ^2≧４ｎＳｔａｎ（π／ｎ）

を使えばよい．ここで，Ｌ＝２（ＡＰ＋ＢＰ＋ＣＰ），Ｓ＝２△

　

　なお，７ｓ1^3−２７ｓ1ｓ2＋５４ｓ3≧０より，△≧√（２７）ｒ^2が成り立ちますから，

　　ＡＰ＋ＢＰ＋ＣＰ≧６ｒ

これは，エルデシュの定理の特別な場合になっていて，シュライバーの定理とも呼ばれます．

　

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　この節では，多面体に対する等周問題と取り上げますが，任意のｎ次元の等周不等式は，

　　Ｓ^n／Ｖ^(n-1)≧ｎ^nｖn　　　（ｖnはｎ次元単位球の体積）

　　　　　　　　　＝ｎ^nπ^(n/2)/Γ(n/2+1)

で表されます．

　

　ｎ次元等周比（Ｃn）において，とくに，ｎ＝２のときとｎ＝３のときについては，

　　Ｃ2＝４π，Ｃ3＝３６π

すなわち，

　　Ｌ^2≧４πＳ

　　Ｓ^3≧３６πＶ^2

がわかります．以下，

　　Ｃ4＝2^7π^2，Ｃ5＝8/3*5^4π^2，Ｃ6＝6^5π^3，・・・

となりますが，等周比が有理数（整数）×πの形となるのは，２次元・３次元だけのようです．

　

　また，凸体Ｖを囲む曲面Ｓにおいて，平均曲率は，

　　Ｈ＝１／２（１／Ｒ1＋１／Ｒ2）

で定義されます．ここで，平均曲率の積分を

　　Ｍ＝∫Ｈｄｓ

で表すと，ミンコフスキーの不等式

　　Ｓ^2−３ＶＭ≧０

　　Ｍ^2−４πＳ≧０

これから直ちに

　　Ｓ^3≧３６πＶ^2

が導かれます．

　

　ともあれ，３次元凸集合に対し，表面積をＳ，体積をＶとすると，

　　Ｓ^3≧３６πＶ^2

が成り立ちます．等号成立は球のときだけで，すべての立体中で球が表面積に対して最大の体積をもっています．

　

　多面体の等周問題は，単位球に外接する多面体では，

　　Ｖ＝Ｓ／３

となることから，

　　Ｓ^3／Ｖ^2＝９Ｓ＝２７Ｖ

が成り立ちます．したがって，与えられた面数ｎをもつ多面体に関する等周問題は，最小の体積または最小の表面積をもち，球に外接するｎ面体を定めるという問題に帰着されます．

　

　等周比の点からいえば，５種の正多面体では正４面体が最も球に遠く，正２０面体が最も球に近いことになります．それでは，ｆ個の面をもつ多面体の中で等周比の最小値を与えるものはなんでしょうか？

　

　答えはｆ＝４，６，１２ではプラトンの正多面体，すなわち，正四面体，立方体，正十二面体が最小値をとります．しかし，ｆ＝８で等周比の最小値をあたえるものは正八面体ではありません（アルキメデスの反プリズム）．ｆ＝２０は未解決のまま残っています．

　

　三次元の問題はなかなか一筋縄ではいきませんが，凸ｎ面体の表面積をＳ，体積をＶとすれば，等周不等式は，

　　Ｓ^3／Ｖ^2≧５４（ｎ−２）ｔａｎ（ωn）（４ｓｉｎ^2（ωn）−１）

ただし，等号は３稜頂点多面体に対してのみ成り立つことに注意して下さい．これによって，３稜頂点多面体に対しては，正多面体（正４面体，立方体，正１２面体）が同じ面数の多面体の中でも最良となることが証明されるのです．

　

　一方，３角形多面体に関しては

　　Ｓ^3／Ｖ^2≧５４（ｎ−２）（３ｔａｎ^2（ωn）−１）

また，これらを包括する一般的な不等式として

　　Ｓ^3／Ｖ^2≧９ｅｓｉｎ（２π／ｐ~）（ｔａｎ^2（π／ｐ~）ｔａｎ^2（π／ｑ~）−１）であることが予想されています．

　

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【５】多面体の稜の全長について

　

　単位球面をｎ（≧３）個の等面積な部分に分割する網目の長さの総和Ｌについては，

　　Ｌ≧６（ｎ−２）ａｒｃｃｏｓ（２／√３ωn）

等号は３稜頂点多面体の球面網に対してのみ成り立ちます．

　

　また，表面積Ｓの凸多面体のすべての面が等面積ならば，稜の全長は

　　Ｌ≧√（６（ｎ−２）Ｓｔａｎωn）

等号は３稜頂点多面体に対してのみ成り立つ．

　

　以上より，与えられた直径Ｄの球を内部に含むならば，Ｌ／Ｄの値は立方体のとき最小値をとり，

　　Ｌ≧１２Ｄ

となることが証明されています．立方体が最小の稜の長さの和をもつのです．

　

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