フィールズ賞の森重文博士の記事に「業績（論文）を理解できるものは十数名だ」という記事がありましたが，数学者が証明の内容を見てもその正当性は判断できないほど，現代数学の最先端は専門家以外には手の届かないところに進んでしまい，内輪の数学者たちにさえ解読不能だといいます．プロの数学研究者ではない私にとっては，たとえそれが平凡な学者の論文であっても同様なのです．

　

　私自身は本業のかたわら趣味で数学に取り組んでいるアマチュア数学愛好家であり，大した天分もなく数学的素養さえおぼつきません．しかし，数学の多岐にわたる分野に興味をもつことができるのは，数学の専門家ではないことがかえって幸いしているのだと思います．

　

　普段からちょっと調べたことや気がついた解釈，計算法などを忘れないように書き留めておいた備忘録が「閑話休題」のネタとなっているのですが，今回のコラムでは，生兵法は怪我の元を覚悟で，位相不変量とベルヌーイ数の関係を取り上げることにしました．

　

　数学的にいうと特性類に属する話なので，私には理解できなかったと告白しなければならないところも多いのですが，分かる範囲でできるだけ説明を試みることにします．

　

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【１】ガウス・ボンネの定理

　

　空間の不変量が特性数であり，特性数の最も簡単な例がオイラー標数であるのですが，特性類の理論は古くはガウス・ボンネの定理にその雛形を見いだすことができます．

　

　ガウス・ボンネの定理とは，

　　ガウス曲率の積分＝２π×オイラー数

で表されます．オイラー標数については，コラム「４次元・５次元を垣間みる」などで解説してあるので割愛しますが，この定理は，曲面の各点における曲がり具合を知れば，穴の数がわかることを意味しています．

　

　われわれの住む世界にいくつ穴が空いているかは，外側からみれば一目瞭然ですが，内部に住む人間（曲面人）にはなかなか理解できません．しかし，面・辺・頂点の数を数えたり，世界の曲がり具合を調べることによって，内部に住む人間も穴の数を知ることができるようになるというわけです．

　

　ガウス・ボンネの定理は，

　　∫（微分幾何学的データ）＝位相幾何学的データ

の形をしています．すなわち，ガウス・ボンネの定理は，局所的に記述されるガウス曲率を全体で積分すると位相不変量（大域的で連続的に変形していっても変化しない量）になることをいっているわけで，微分幾何学と位相幾何学の異なる２つの世界を結びつけているところから，微分幾何学で最も美しい定理といわれています．

　

　そして，ガウス・ボンネの定理に類似の図式は，リーマン面のリーマン・ロッホの定理やディラック演算子に関するアティヤ・シンガーの定理などにも表れ，美しい定理の１つの型となっています．

　

　オイラー数を曲率の積分で表すガウス・ボンネの定理は，２次元に限らず，２ｎ次元についても拡張されて成り立ちます．これは，ポアンカレ・ホップの指数定理とも呼ばれています．その後，ガウス・ボンネの定理はチャーン（陳省身）によって高次元に拡張されました．また，ガウス・ボンネ・チャーンの定理，リーマン・ロッホの定理，ヒルチェブルフの符号定理など，それ以前に知られていた幾何学の代表的ないくつかの定理を統一したものが，アティヤ・シンガーの指数定理なのです．

　

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【２】ヒルツェブルフの符号数定理

　

　次に，ヒルツェブルフの符号数定理（指数定理）について紹介することにしましょう．

　

　Ｍを４の倍数次元の閉じた向きづけ可能な多様体（manifold）Ｍ^4kで，概平行性をもつと仮定する．Ｍの次元をｎとするとき，

　　ｎ＝８なら，Ｍの指数は７で割り切れる

　　ｎ＝１２なら，Ｍの指数は６２で割り切れる

　　ｎ＝１６なら，Ｍの指数は１２７で割り切れる

　　ｎ＝２０なら，Ｍの指数は１４６で割り切れる

　

　一般に，ｎ＝４ｋ（４の倍数）なら，Ｍの指数は

　　２^(2k)（２^(2k-1)−１）／（２ｋ！）・Ｂk　　　Ｂkはベルヌーイ数

を既約分数になおしたときの分子で割り切れるというのが，ヒルツェブルフの指数定理です．

　

　ここで，Ｂmはｍ番目のベルヌーイ数を指します．ベルヌーイ数の最初のいくつかを書くと，Ｂ1＝１／６，Ｂ2＝１／３０，Ｂ3＝１／４２，Ｂ4＝１／３０，Ｂ5＝５／６６，Ｂ6＝６９１／２７３０，Ｂ7＝７／６，Ｂ8＝３６１７／５１０，・・・→【注】

　

　多様体Ｍ^4kの符号数がそのＬ種数に等しいというのが，ヒルツェブルフの符号数定理ですが，実は，実は，ここに掲げたヒルツェブルフの指数定理は，次項で述べるミルナーの定理の証明に都合のよい形に書き直してあります．

　

　これについては項をあたらめて説明することにして，ここでは，概平行性について説明すると，たとえば，２次元球面上には，必ず特異点があり，特異点のないベクトル場は存在しない（ホップの定理）のですが，２次元球面から円板をくり抜いてみることにします．そうすると，残りの部分も円板に変形でき，その上には１次独立な２本のベクトル場があるので，平行性をもつことになります．ｎ次元多様体Ｍ^nからｎ次元円板Ｄ^nをくり抜いた部分が平行性をもつことを概平行性をもつというのですが，歯切れの悪い説明で申し訳ありません．

　

　また，指数とは，交点行列（対称行列）を対角化したとき，対角成分のうち＋のものがｌ個，−のものがｍ個あるとすると，その差：ｌ−ｍのことであって，対称行列には指数（または符号数）と呼ばれる不変量が対応します．行列Ａの指数はＡだけで決まり，対角化の仕方には依存しないことは，初等解析学のシルベスターの慣性法則で学んだとおりですが，これが空間の符号数の不変性なのです．

　

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【３】エキゾチックな球面（ミルナーの定理）

　

　半径が１の球面の公式は

　　１次元球面：x^2+y^2=1

　　２次元球面：x^2+y^2+z^2=1

　　３次元球面：x^2+y^2+z^2+w^2=1

という具合に変数を増やしていくだけですから，そこには本質的な違いは生じないような気がします．

　

　ところが，ある次元を境にして奇妙なことが起こることが知られています．奇妙なことというのは，米国の数学者ミルナーが発見した７次元球面（８次元球の表面）では，微分同型写像で互いに移ることができない孤立した微分構造が２８個もあるというものです（ミルナーの定理：１９５６年）．

　

　ミルナーはエキゾチックな球面Σ^7を構成し，それが通常の７次元球面Ｓ^7とは異なることを，ヒルツェブルフの指数定理を用いて証明しました．Ｍ^8の交点行列の指数は８であるが，微分同相であると仮定すると７で割り切れなければならず，背理法でミルナーの主張がいえるのです．

　

　通常の微分構造が球面を除いた２７個はエキゾチックな球面と呼ばれます．「７次元球面には８次元ユークリッド空間の単位球面とは異なる微分構造が入る」といっても，これだけでは何が何だか意味不明ですが，Σ^7とＳ^7は位相同型であっても微分同相にならない，すなわち，なめらかさの構造がまったく異なるというのです．

　

　しかし，微分構造とか微分同型写像とかの意味はよくはわからなくても，ミルナーの発見が衝撃的な事実であることはすぐに理解できます．われわれは，微分という言葉を何気なく使っていますが，微分が１種類とは限らないというのは直観に反していて実に驚くべきことであり，当時，ほとんどだれも予想し得なかったことだからです．ミルナーはこの業績でフィールズ賞を受けました．

　

　球面に許される微分構造の数を表にしてみると，

　　次元　　微分構造　　次元　　微分構造

　　１　　　1　　　　　 ７　　　28

　　２　　　1　　　　　 ８　　　2　

　　３　　　1　　　　　 ９　　　8　

　　４　　　-　　　　　 10　　　6　

　　５　　　1　　　　　 11　　　992

　　６　　　1

　

　このように，微分構造に関しては次元に関する制約がでてくるので，７次元以上では本質的に異なっていると考えられるのです．トポロジーは曲げたり伸ばしたりの連続変形を施しても変わらないようなもの（＝位相不変量）を研究するのですが，空間の性質は，次元が変わるごとに劇的といってよいほど変わります．しかし，それは単にオイラー標数の話だけでなく，そこにはもっと深い幾何学的な事情があったのです．→コラム「ひもの棲む世界」参照

　

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【４】ベルヌーイ数

　

　ヒルツェブルフの符号数定理は微分トポロジーにおける定理であり，一方，ベルヌーイ数は主に数論の世界で用いられる定数であって，ベルヌーイ数など意外なものが顔を出すところに，ヒルツェブルフの定理の奥深さ（？）が感じられます．

　

　ベルヌーイ数は，数多くの魅惑的な整数論的特性をもっていて，元来はベキ乗和の公式

　　Σｋ^s＝１^s＋２^s＋３^s＋・・・＋ｎ^s

を求めるために１７１３年に考案されたものですが，次のようなベキ級数展開に現れる係数として定義されます．

　　ｘ／（１−ｅｘｐ(-x)）＝１＋１／２ｘ＋Σ(-1)^(k-1)Ｂk／（２ｋ）！ｘ^2k

　

　同じことですが，ベルヌーイ数は

　　ｘ／ｔａｎｈｘ＝ｘｃｏｓｈｘ／ｓｉｎｈｘ

＝１＋Ｂ1／２！（２ｘ）^2−Ｂ2／４！（２ｘ）^4＋Ｂ6／２！（２ｘ）^6−・・・

　あるいは，ｘ／ｔａｎｈｘ＝２ｘ／（ｅｘｐ(2x)−１）＋ｘより，

　　ｘ／（ｅｘｐ(x)−１）＝１−１／２ｘ＋Ｂ1／２！ｘ^2−Ｂ2／４！ｘ^4＋Ｂ3／６！ｘ^6−・・・

の係数として得られます．

　

　さらに，ベルヌーイ数を用いたベキ級数展開をいくつか掲げておきます．

ａ）１／ｓｉｎｈ２ｘ＝１／ｔａｎｈｘ−１／ｔａｎｈ２ｘより，

　　ｘ／ｓｉｎｈｘ＝１−（２^2−２）Ｂ1／２！ｘ^2＋（２^4−２）Ｂ2／４！ｘ^4−・・・

　

ｂ）１／ｔａｎｈｘ＝２／ｔａｎｈ２ｘ−１／ｔａｎｈｘより，

　　ｔａｎｈｘ＝２^2（２^2−１）Ｂ1／２！ｘ−２^4（２^4−１）Ｂ2／４！＋・・・

　

ｃ）ｔａｎｈｉｘ＝ｉｔａｎｘより，

　　ｔａｎｘ＝２^2（２^2−１）Ｂ1／２！ｘ＋２^4（２^4−１）Ｂ2／４！＋・・・

　

　母関数は，整数の性質を調べるのにベキ級数の問題（関数論）に翻訳することによって答えを見つけることができる強力な発見手段となっているのですが，これらの式はベルヌーイ数の別の形の母関数表示を与えているものと考えられ，実際，数論的に面白い性質を証明するのに利用することができます．

　

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　ベルヌーイ数が，整数論にとって欠かすことができない存在なのは，ゼータ関数との関係にその理由があり，リーマンのゼータ関数

　　ζ(s)＝Σ１／ｎ^s＝Π（１−ｐ^(-s)）^(-1)

とベルヌーイ数との間には，次の公式が成り立ちます．

　　Π１／（１−ｐ^(-2m)）＝ζ(2m)＝Ｂm／２・（２π）^(2m)／（２ｍ）！

　

　また，どんなＢn／ｎの約数にもならない素数は正則素数と呼ばれるのですが，与えられた素数ｐの正則性を確かめるためには，クンマーの合同式により，

　　１≦ｎ≦（ｐ−１）／２

について，Ｂnの分子を調べればよいことになります．

　

　１８５０年，クンマーはどんなＢn／ｎの分子の約数にもならない素数（正則素数）をベキ指数とする場合に，フェルマーの最終定理を証明して以来，正則素数の判定にも顔を出す興味深い数となりました．（クンマーは円分体の整数論の研究に専念し，正則素数であるすべてのｎに対してフェルマー予想が成立することを示したのですが，正則素数ｐはＢp-3 までのベルヌーイ数Ｂkの分子を割り切ることのできない素数として定義されていて，１００以下の非正則素数は３７，５９，６７ですべてですから，この３つの数以外では１００までのｎに対してフェルマー予想が正しいことが証明されたことになります．）

　

　Ｂn／ｎを既約分数で表したときの分母を求めることは，１８４０年，クラウセンとフォン・シュタウトの定理により，厳密に求めることが容易になったのですが，Ｂn／ｎの分子はｎに対して急激に増加するため，計算はずっと難しかしくなります．

　

　以下に，ｎが小さいときの表を掲げておきますが，

　　Ｂn／ｎの分子＞Ｂn／ｎ＞４／√ｅ（ｎ／πｅ）^(2n-1/2)

より，

　　（ｎ／πｅ）^(2n)

のオーダーとなりますから，ｎ＞πｅ＝８．５３９・・・のとき，分子は急激に大きくなることが示されます．

　

　　ｎ　　Ｂn／ｎの分子　　ｎ　　Ｂn／ｎの分子

　≦５　　　　1　　　　　　９　　　　 43867

　　６　　　691　　　　　　10　　　　174611

　　７　　　　1　　　　　　11　　　　 77683

　　８　　 3617　　　　　　12　　 236364091

　

　この分子の値は，平行化可能な多様体の境界となるエキゾチック（４ｎ−１）次元球面の微分同相からなる群が，位数

　　２^(2n)（２^(2n-1)−１）・Ｂn／ｎの分子

の巡回群であることから，微分トポロジーの研究者の注意を引くものとなっていたのですが，Ｂ7の分子が７で割り切れることが，ミルナーがエキゾチック球面の証明に用いた方法に繋がったのです．

　

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【５】ヒルツェブルフのＬ種数とポントリャーギン類

　

　突飛な連想に思われるかも知れませんが，ここで，基本対称式におけるニュートンの公式・ジラールの公式について簡単に述べておきたいと思います．ニュートンの恒等式は，基本対称式とベキ和を結びつけているのですが，特性類の説明を見通しよく行うためにも必要になってくるのです．

　

　一般のｎ次方程式：

　　ｆ（ｘ）＝ａ0ｘ^n＋ａ1ｘ^(n-1)＋・・・＋ａn＝ａ0Π（ｘ−αi）＝０

の根と係数の関係は，

　　α1＋・・・＋αn＝−ａ1／ａ0

　　α1α2＋・・・＋αn-1αn＝ａ2／ａ0

　　・・・・・・・・・・・・・・・・・・・

　　α1α2α3・・・αn＝（−１）^nａn／ａ0

（ジラール）ですが，対称式の基本定理より，ｎ変数のどんな対称式も基本対称式を用いて表すことができます．たとえば，２変数の場合，

　　α1^2＋α2^2＝（α1＋α2）^2−２α1α2

　　α1^3＋α2^3＝（α1＋α2）^3−３（α1＋α2）α1α2

　　α1^2α2＋α1α2^2＝（α1＋α2）α1α2

など．

　

　そこで，ｎ変数対称式：

　　ｓj＝α1^j＋α2^j＋・・・＋αn^j

を基本対称式：

　　σ1＝α1＋・・・＋αn

　　σ2＝α1α2＋・・・＋αn-1αn

　　σ3＝α1α2α3＋・・・＋αn-2αn-1αn

　　・・・・・・・・・・・・・・・・・・・

　　σn＝α1α2α3・・・αn

を用いて表してみることにしましょう．

　

　余分な変数ｔを導入して，

　ｆ（ｔ）＝Π（１＋ｔαi）＝１＋σ1ｔ＋σ2ｔ^2＋・・・＋σnｔ^n

とおくと，

　f'(t)/f(t)=d/dtlogf(t)=Σαi／（１＋ｔαi）=ΣΣ(-1)^kαi^(k+1)t^k

　　　　　　=Σ(-1)^kｓ(k+1)t^k

　

　ゆえに，

　　f'(t)=f(t)Σ(-1)^kｓ(k+1)t^k

となり，

　　σ1＋２σ2ｔ＋・・・＋ｎσnｔ^(n-1)

＝（１＋σ1ｔ＋σ2ｔ^2＋・・・＋σnｔ^n）（ｓ1−ｓ2ｔ＋ｓ3ｔ^2−・・・）

　

　両辺の係数を比較することによって，順次

　　ｓ1＝σ1

　　ｓ2＝σ1ｓ1−２σ2＝σ1^2−２σ2

　　ｓ3＝σ1ｓ2−σ2ｓ1＋３σ3＝σ1^3−３σ1σ2＋３σ3

　　ｓ4＝・・・＝σ1^4−４σ1^2σ2＋２σ2^2＋４σ1σ3−４σ4

　　・・・・・・・・・・・・・・・・・・

　　ｓ(k+1)＝σ1ｓk−σ2ｓ(k-1)＋・・・＋(-1)^(k-1)σkｓ1＋(-1)^k（ｋ＋１）σ(k+1)＝ｆ（σ1，・・・，σ(k+1)）

が得られます（ニュートンの公式）．

　

　また，ｔ＝１とおくことにより，

　　(-1)^kｓk／ｋ＝Σ(-1)^(i1+･･･+ik)（i1+･･･+ik-1)!/i1!･･･ik!σ^i1･･･σ^ik　　　i1+2i2･･･+kik=k

が証明されます（ジラールの公式）．

　

　ニュートンの恒等式から

　　『α1，α2，・・・，αnの基本対称式は，累乗和：α1^j＋α2^j＋・・・＋αn^jの有理数を係数とする整式で表される』

という結果が導き出されます．不思議なことに，何次の累乗和であっても方程式の係数を使って表せるのです．

　

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　母関数を考えるときには，収束するかどうかは問題にせず，多項式を考えるのですが，それを形式的ベキ級数と呼びます．ここでは，形式的ベキ級数の等式としてニュートンの恒等式を導き出したのですが，同様の方法，すなわち，αiを交点行列の固有値として，チャーン多項式

　　ｆ（ｔ）＝Π（１＋ｔαi）＝Σｃkｔ^k　　（ｃkはチャーン類，ｃ0＝１）

を考えれば，チャーン標数は

　　ｃｈ＝ｎ＋Σｓk／ｋ！　　　（ｓkはベキ乗和）

　　　　＝ｃｈ0＋ｃｈ1＋ｃｈ2＋ｃｈ3＋・・・

ただし，

　　ｃｈ0＝ｎ

　　ｃｈ1＝ｃ1

　　ｃｈ2＝１／２（ｃ1^2−２ｃ2）

　　ｃｈ3＝１／６（ｃ1^3−３ｃ1ｃ2＋３ｃ3）

　　ｃｈ4＝１／２４（ｃ1^4−４ｃ1^2ｃ2＋２ｃ2^2＋４ｃ1ｃ3−４ｃ4）

　　ｃｈn＝ｃｈn（ｃ1，・・・，ｃn）

とチャーン類で書き下すことができ，これがチャーン標数の定義となります．

　

　ポントリャーギン類については，

　　ｆ（ｔ）＝Π（１＋ｔｉαi）＝Σｐkｔ^k　　（ｐkはポントリャーギン類，ｐ0＝１）

で定義され，

　　１−ｐ1＋ｐ2−・・・±ｐn＝（１−ｃ1＋ｃ2−・・・±ｃn）（１＋ｃ1＋ｃ2＋・・・＋ｃn）

より，チャーン類とは

　　ｐk＝ｃk^2−２ｃk-1ｃk+1＋・・・＋２ｃ1ｃ2k-1−２ｃ2k

で関係しています．

　

　また，ベキ級数

　　ｇ（ｘ）＝√（ｘ）／ｔａｎｈ√（ｘ）

　　　　　　＝１＋１／３ｘ−１／４５ｘ^2＋・・・＋(-1)^(k-1)２^(2k)／（２ｋ！）・Ｂk・ｘ^k＋・・・

として，Πｇ（ｘ）がヒルツェブルフのＬ種数の母関数となっていますから，したがって，ヒルツェブルフのＬ種数は，

　　Ｌ＝Πｇ（ｘ）＝１＋Σ(-1)^kｓk

　　　＝ΣＬn＝Ｌ0＋Ｌ1＋Ｌ2＋Ｌ3＋Ｌ4＋・・・

　

　ポントリャーギン類を用いて書くと

　　Ｌ0＝１

　　Ｌ1＝１／３ｐ1

　　Ｌ2＝１／４５（７ｐ2−ｐ1^2）

　　Ｌ3＝１／９４５（６２ｐ3−１３ｐ2ｐ1＋２ｐ1^3）

　　Ｌ4＝１／１４１５７（３８１ｐ4−７１ｐ3ｐ1−１９ｐ2^2＋２２ｐ2ｐ1^2−３ｐ1^4）

　　Ｌn＝Ｌn（ｐ1，・・・，ｐn）

によって定義されます．

　

　多様体の符号数はポントリャーギン数の１次結合として表されることが示されていて，任意の多様体のＬ種数は整数ですから，ポントリャーギン数ｐ1［Ｍ^4］は３で割り切れるし，７ｐ2［Ｍ^8］−ｐ1^2［Ｍ^8］は４５で割り切れます．これを用いると，ヒルツェブルフのＬ多項式：Ｌn（ｐ1，・・・，ｐn）におけるｐnの係数が

　　２^(2k)（２^(2k-1)−１）／（２ｋ！）・Ｂk

になることが証明されます．

　

　こういうわけで，ヒルツェブルフの符号数定理と彼による一般化されたリーマン・ロッホの定理（リーマン・ロッホ・ヒルツェブルフの定理）の出現以来，トポロジストにとってベルヌーイ数とその数論的性質を知ることは大変有益なものになっているのです．

　

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【注】これと混乱しやすい記号も慣用的に使用されているので，注意が必要です．

　

　たとえば，「ベルヌーイ数とは，ｘ／（ｅｘｐ(x)−１）

＝１＋Ｂ1／１！ｘ＋Ｂ2／２！ｘ^2＋Ｂ3／３！ｘ^3＋・・・

＝ΣＢn ｘ^n／ｎ！

によって定義される有理数で，ｘ／（ｅｘｐ(x)−１）は数列｛Ｂn｝の指数型母関数になっています．」

と書かれている場合は，奇数番目を飛ばさずに定義されているため，Ｂ1＝−１／２で，

　　ｘ／（ｅｘｐ(x)−１）−Ｂ1／１！ｘ＝ｘ／２・（ｅｘｐ(x)＋１）／（ｅｘｐ(x)−１）

は偶関数ですから，奇数項は第一項以外は０で，偶数項はＢ2＝１／６，Ｂ4＝−１／３０，Ｂ6＝１／４２，Ｂ8＝−１／３０，Ｂ10＝５／６６，Ｂ12＝−６９１／２７３０，Ｂ14＝７／６，Ｂ16＝−３６１７／５１０，Ｂ18＝４３８６７／７９８，・・・

　

　あとは分子が急速に大きくなり，たとえば，Ｂ32＝−７７０９３２１０４１２１７／５１０，Ｂ34＝２５７７６８７８５８３６７／６です．分母は必ず６で割り切れます．この場合，ベルヌーイ数については，再帰公式

　　（Ｂ＋１）^n-Ｂ＾n＝０

が成り立ちます．ただし，２項展開してからＢ^nをＢnで置き換えることにします．

　

　数論の本では，ベルヌーイ数の定義として，これを採用しているものが多いのですが，この場合，よく知られた公式は，

　　Ｂ2k＝(-1)^(k-1)・２（２ｋ）！／（２π）^2k・ζ(2k)

と表されます．

　

　定義より，ベルヌーイ級数は，べき級数

　　（ｅｘｐ(x)−１）／ｘ＝１＋１／２！ｘ1 ＋１／３！ｘ2 ＋１／４！ｘ3 ＋・・・

の反転級数と考えることができます．

　

　ｅｘｐ(x)＝１＋１／１！ｘ＋１／２！ｘ2 ＋・・・

ですから，

ｘ／（ｅｘｐ(x)−１）

=x/(x+x^2/2!+x^3/3!+･･･)

=1/(1+x/2!+x^2/3!+･･･)

=1-(1+x/2!+x^2/3!+･･･)+(1+x/2!+x^2/3!+･･･)^2-･･･

=1-1/2x+1/6x^2-1/30x^4+･･･

　

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　また，ベルヌーイ数と似たものにオイラー数やタンジェント数があります．オイラー数は，

　　ｓｅｃｈｘ＝ΣＥn／ｎ！ｘ^n

＝Ｅ0／０！＋Ｅ2／２！ｘ^2＋Ｅ4／４！ｘ^4＋・・・

で，べき級数

　　ｃｏｓｈｘ＝１＋１／２！ｘ^2＋１／４！ｘ^4＋１／６！ｘ^6＋・・・

の反転級数として定義されます．

　

　オイラー数では再帰公式

　　（Ｅ＋１）^n-（Ｅ−１）^n＝０

が成り立ちます．

　　E0=1,E2=-1,E4=5,E6=-61,E8=1385,E10=-50521,･･･

　　E1=E3=E5=･･･=0

　

　一方，三角関数：ｔａｎｘのベルヌーイ数を用いた展開

　　ｔａｎｘ＝Σ(-1)^(n-1)２^2n（２^2n−１）Ｂ2nｘ^(2n-1)／（２ｎ）！

におけるｘ^(2n-1)／（２ｎ−１）！の係数

　　Ｔn＝(-1)^(n-1)２^2n（２^2n−１）Ｂ2n／２ｎ

はタンジェント数と呼ばれ，ベルヌーイ数の別の形の母関数表示を与えてくれます．

　

　すなわち，三角関数の展開公式にもベルヌーイ数がでてくるのですが，三角関数を楕円関数に置き換えても，展開係数はベルヌーイ数と似たような数論的性質をもってきます．これは三角関数についての現象を一般化するときの常套手段なのですが，その展開係数がフルヴィッツ数です．

　

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