■微分形式・外積・外微分
微分形式は，古典的な微分の概念の精密化・一般化であると考えられる．古典的な微分・積分では，ｄｘやらｄｘｄｙやらｄｘｄｙｄｚやら奇妙な表記法がでてくるが，それぞれ微小な線分，長方形，直方体の意味にすぎない．
そこで，曲線に対して微分１形式，曲面に対して微分２形式を定義する．微分形式は向きと大きさをもつ量であるが，しかし，その真の性格が意味が汲み出されるようになったのは比較的最近のことで，この微分形式を考えることが２０世紀の数学に大きな影響を与えたという．
外微分形式を用いると，座標系によらない形で力学，電磁気学，相対論などを記述できるので甚だ都合がよいし，抽象代数の立場で代数多様体研究に役立たせることも可能になる．微分形式は，導関数に比べ格段に深い存在理由と理論上の有効性をもっているのである．
今回のコラムではこれらの解説を試みるが，微分形式の応用分野をもたないわが身にとっては，どうやってまとめればよいのか？ 悩み多きところでもある．
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【１】ベクトルの外積と平行四辺形
まず最初に昔なつかしい「ベクトル」を思い出して頂き，「ベクトルの外積」の大きさ，すなわち，２つの２次元ベクトル
ａ↑＝（ｘ1，ｙ1）
ｂ↑＝（ｘ2，ｙ2）
が作る平行四辺形の面積について考えてみることにします．
｜ａ↑｜＝ａ，｜ｂ↑｜＝ｂ
とすれば，平行四辺形の面積は，
Ｓ＝ａｂｓｉｎθ
ですから，
Ｓ^2＝ａ^2ｂ^2（１－ｃｏｓ^2θ）
＝｜ａ↑｜^2｜ｂ↑｜^2－（ａ↑・ｂ↑）^2
＝｜ａ↑・ａ↑ ａ↑・ｂ↑｜
｜ｂ↑・ａ↑ ｂ↑・ｂ↑｜
で与えられます．内積の行列式で定義される行列式をグラムの行列式（グラミアン）といいます．平行四辺形の面積はグラミアンの平方根に等しくなるというわけです．これを座標を使って表せば，
Ｓ^2＝｜ｘ1 ｘ2｜^2
｜ｙ1 ｙ2｜
のように展開されます．
３次元ベクトル
ａ↑＝（ｘ1，ｙ1，ｚ1）
ｂ↑＝（ｘ2，ｙ2，ｚ2）
のときは，
Ｓ^2＝｜ａ↑｜^2｜ｂ↑｜^2－（ａ↑・ｂ↑）^2
＝｜ｙ1 ｙ2｜^2＋｜ｚ1 ｚ2｜^2＋｜ｘ1 ｘ2｜^2
｜ｚ1 ｚ2｜ ｜ｘ1 ｘ2｜ ｜ｙ1 ｙ2｜
これは３次元ベクトル
（ｙ1ｚ2－ｚ1ｙ2，ｚ1ｘ2－ｚ2ｙ1，ｘ1ｙ2－ｙ1ｘ2）
の長さの形をしています．
これは平行六面体の体積
｜ａ↑・ａ↑ ａ↑・ｂ↑ ａ↑・ｃ↑｜ ｜ｘ1 ｙ1 ｚ1｜^2
Ｖ^2＝｜ｂ↑・ａ↑ ｂ↑・ｂ↑ ｂ↑・ｃ↑｜＝｜ｘ2 ｙ2 ｚ2｜
｜ｃ↑・ａ↑ ｃ↑・ｂ↑ ｃ↑・ｃ↑｜ ｜ｘ3 ｙ3 ｚ3｜
ではなく，平行四辺形の面積であることを注意しておきます．
ａ↑＝（ｘ1，ｙ1，ｚ1）
ｂ↑＝（ｘ2，ｙ2，ｚ2）
の外積は，３次元ベクトル
（ｙ1ｚ2－ｚ1ｙ2，ｚ1ｘ2－ｚ2ｙ1，ｘ1ｙ2－ｙ1ｘ2）
で与えられます．すなわち，外積の大きさ＝平行四辺形の面積なのです．
少し見ただけではわかりにくい表示で，憶えるのも大変そうですが，行列式を使うと
｜ｅ1↑ ｅ2↑ ｅ3↑｜
ｃ↑＝ａ↑×ｂ↑＝｜ｘ1 ｙ1 ｚ1 ｜
｜ｘ2 ｙ2 ｚ2 ｜
上の行から，単位ベクトル，ａ↑の成分，ｂ↑の成分の順に並ぶというわかりやすい形に整理できます．
同様に，４次元のときは
ａ↑＝（ｘ1，ｙ1，ｚ1，ｗ1）
ｂ↑＝（ｘ2，ｙ2，ｚ2，ｗ2）
Ｓ^2＝｜ａ↑｜^2｜ｂ↑｜^2－（ａ↑・ｂ↑）^2
＝｜ｙ1 ｙ2｜^2＋｜ｚ1 ｚ2｜^2＋｜ｘ1 ｘ2｜^2
｜ｚ1 ｚ2｜ ｜ｘ1 ｘ2｜ ｜ｙ1 ｙ2｜
＋｜ｘ1 ｘ2｜^2＋｜ｙ1 ｙ2｜^2＋｜ｚ1 ｚ2｜^2
｜ｗ1 ｗ2｜ ｜ｗ1 ｗ2｜ ｜ｗ1 ｗ2｜
これは６次元ベクトルの長さの形をしていることがわかります．
一般のｎ次元の空間では
ａ↑＝（ｕ1，・・・，ｕn）
ｂ↑＝（ｖ1，・・・，ｖn）
に対し，
Ｓ^2＝｜ａ↑｜^2｜ｂ↑｜^2－（ａ↑・ｂ↑）^2
＝Σ（ｕjｖk－ｕkｖj）^2
ただし，Σはｊ＜ｋとなるnＣ2＝ｎ（ｎ－１）／２組に対して和をとるものとします．
これは，ｎ（ｎ－１）／２次元ベクトルの長さの形をしているのですが，空間の次元が３のときだけ，運よく３次元ベクトルが得られていることがおわかり頂けたしょうか？ この事実は，外積が３次元ベクトルでしか定義できないことを示しています．
ベクトルの外積は３次元特有のもので，２次元でも４次元でもだめなのですが，ほとんどの物理現象は３次元空間で生じますから，これでも汎用性は高いというわけです．
また，このことは，ベクトルの内積が一般のｎ次元空間でも
ａ↑・ｂ↑＝Σｕkｖk
と表されるのと対照的です．もっとも４次元以上では２つのベクトルａ↑，ｂ↑の張る平面に直交する方向は一義ではなくなるので，話がおかしくなってしまうのですが・・・．
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［参］参考までに，ｎ本のベクトルで張られる平行２ｎ面体の体積についても述べておきます．→コラム「極大格子群とルート系」参照．
写像：ｙ＝Ａｘによって，単位直方体は平行２ｎ面体に写像されるものとすると，この写像のヤコビアンはＪ＝｜Ａ｜となる．また，グラミアン
Ｇ＝｜Ａ｜^2
が成立する．したがって，平行２ｎ面体のｎ次元体積は
｜Ｇ｜^(1/2)＝｜Ａ｜
で与えられる．
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【２】ストークスの定理（微分１形式－微分２形式）
物体が位置Ｐ（ｘ，ｙ，ｚ）から位置Ｑ（ｘ＋ｄｘ，ｙ＋ｄｙ，ｚ＋ｄｚ）へ，力Ｆ＝（Ｆx，Ｆy，Ｆz）のもとで動いたとき，力Ｆのなす仕事は内積
Ｆxｄｘ＋Ｆyｄｙ＋Ｆzｄｚ
で与えられます．
このように，微分ｄｘ，ｄｙ，ｄｚの線形結合で書かれる量
ｆ（ｘ，ｙ，ｚ）ｄｘ＋ｇ（ｘ，ｙ，ｚ）ｄｙ＋ｈ（ｘ，ｙ，ｚ）ｄｚ
は「微分１形式」あるいはパッフ形式と呼ばれますが，曲線に沿って積分するという考え方を，２次元・３次元空間内の曲線に対してあてはめるとき，微分１形式を考えるとよいことが理解されます．（０形式とは関数ｆのことである．）
閉曲線Ｃに沿って１周すると仕事Ｗは，
Ｗ＝∮C（ｆｄｘ＋ｇｄｙ＋ｈｄｚ）
これをＣを境界とする閉曲面Ｓ上の面積分で表すと
Ｗ＝∫S｛（∂ｈ／∂ｙ－∂ｇ／∂ｚ）ｄｙｄｚ＋（∂ｆ／∂ｚ－∂ｈ／∂ｘ）ｄｚｄｘ＋（∂ｇ／∂ｘ－∂ｆ／∂ｙ）ｄｘｄｙ｝
となるというのが「ストークスの定理」です．
しかし，その意味不明さも手伝って，多くの人は逃げ出したくなるに違いありません．また，ベクトル演算の１種であるｒｏｔ，あるいは，微分演算子▽を使えば，
ｒｏｔＦ↑＝▽×Ｆ
＝（∂Ｆz／∂ｙ－∂Ｆy／∂ｚ，∂Ｆx／∂ｚ－∂Ｆz／∂ｘ，∂Ｆy／∂ｘ－∂Ｆx／∂ｙ）
となりますから，右辺の積分記号を除いた｛・・・｝部分には，異なる表記
（ｒｏｔＦ↑）xｄｙｄｚ＋（ｒｏｔＦ↑）yｄｚｄｘ＋（ｒｏｔＦ↑）zｄｘｄｙ
を与えることができますが，かえって混乱を招いてしまうでしょう．
そこで，記号Λ（ウェッジ）を導入して，微分ｄｘ，ｄｙ，ｄｚの間で定義される１種の積を定めます．これは「外積」あるいはウェッジ積と呼ばれ，次の反対称の性質をもちます．
ｄｘΛｄｙ＝－ｄｙΛｄｘ
ｄｙΛｄｚ＝－ｄｚΛｄｙ
ｄｚΛｄｘ＝－ｄｘΛｄｚ
また，反対称ですから
ｄｘΛｄｘ＝ｄｙΛｄｙ＝ｄｚΛｄｚ＝０
と決めておきます．→［補］参照
まるでベクトルの外積あるいは４元数のような演算規則ですが，そうすると，微分１形式
ｆ1ｄｘ＋ｇ1ｄｙ＋ｈ1ｄｚ，ｆ2ｄｘ＋ｇ2ｄｙ＋ｈ2ｄｚ
に対して，外積は
（ｆ1ｄｘ＋ｇ1ｄｙ＋ｈ1ｄｚ）Λ（ｆ2ｄｘ＋ｇ2ｄｙ＋ｈ2ｄｚ）＝（ｆ1ｇ2－ｇ1ｆ2）ｄｘΛｄｙ＋（ｇ1ｈ2－ｈ1ｇ2）ｄｙΛｄｚ＋（ｈ1ｆ2－ｆ1ｈ2）ｄｚΛｄｘ
と計算されます．
ｆ（ｘ，ｙ，ｚ）ｄｙΛｄｚ＋ｇ（ｘ，ｙ，ｚ）ｄｚΛｄｘ＋ｈ（ｘ，ｙ，ｚ）ｄｘΛｄｙ
のような量を微分が２つあるという意味で，「微分２形式」と呼びます．
また，関数ｆ＝ｆ（ｘ，ｙ，ｚ）において，全微分は
ｄｆ＝∂ｆ／∂ｘｄｘ＋∂ｆ／∂ｙｄｙ＋∂ｆ／∂ｚｄｚ
ですから，同様に
ｄｇ＝∂ｇ／∂ｘｄｘ＋∂ｇ／∂ｙｄｙ＋∂ｇ／∂ｚｄｚ
ｄｈ＝∂ｈ／∂ｘｄｘ＋∂ｈ／∂ｙｄｙ＋∂ｈ／∂ｚｄｚ
この全微分と外積を使って，上の微分２形式を書き換えると，
（∂ｈ／∂ｙ－∂ｇ／∂ｚ）ｄｙΛｄｚ＋（∂ｆ／∂ｚ－∂ｈ／∂ｘ）ｄｚΛｄｘ＋（∂ｇ／∂ｘ－∂ｆ／∂ｙ）ｄｘΛｄｙ
＝（∂ｆ／∂ｙｄｙ＋∂ｆ／∂ｚｄｚ）Λｄｘ＋（∂ｇ／∂ｘｄｘ＋∂ｇ／∂ｚｄｚ）Λｄｙ＋（∂ｈ／∂ｘｄｘ＋∂ｈ／∂ｙｄｙ）Λｄｚ
＝（∂ｆ／∂ｘｄｘ＋∂ｆ／∂ｙｄｙ＋∂ｆ／∂ｚｄｚ）Λｄｘ＋（∂ｇ／∂ｘｄｘ＋∂ｇ／∂ｙｄｙ＋∂ｇ／∂ｚｄｚ）Λｄｙ＋（∂ｈ／∂ｘｄｘ＋∂ｈ／∂ｙｄｙ＋∂ｈ／∂ｚｄｚ）Λｄｚ
＝ｄｆΛｄｘ＋ｄｇΛｄｙ＋ｄｈΛｄｚ
と書き直すことができます．
これを，微分１形式
ω＝ｆｄｘ＋ｇｄｙ＋ｈｄｚ
に，外微分操作
ｄ（ｆｄｘ）＝ｄｆΛｄｘ
（と定義する）を施して得られた微分１形式の外微分
ｄω＝ｄ（ｆｄｘ＋ｇｄｙ＋ｈｄｚ）
＝ｄｆΛｄｘ＋ｄｇΛｄｙ＋ｄｈΛｄｚ
と考え，これをを導く操作を「外微分」と呼びます．
以上より，ベクトル解析におけるストークスの定理は，微分１形式を外微分した形の微分２形式の積分を用いて，
∫Cω＝∫Sｄω
さらに，Ｓの境界を∂Ｓと表すとＣ＝∂Ｓですから，
∫∂Sω＝∫Sｄω
の形に書けるのですが，曲面Ｓ上で微分２形式を積分したものが，閉曲線Ｃに沿う線積分であることを示しているというわけです．
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［補］外微分のルール
ｄｘΛｄｙは単なるかけ算ではなく，順番をひっくり返すと，
ｄｘΛｄｙ＝－ｄｙΛｄｘ
となって負号がでてくるが，このことは変数変換をやってみればすぐに理解できる．
ｘ，ｙからｕ，ｖに変換する場合，
ｄｘｄｙ＝Ｊｄｕｄｖ
Ｊはヤコビアンと呼ばれる行列式で，
Ｊ＝｜∂ｘ／∂ｕ ∂ｘ／∂ｕ｜
｜∂ｙ／∂ｕ ∂ｙ／∂ｕ｜
＝（∂ｘ／∂ｕ）（∂ｙ／∂ｕ）－（∂ｘ／∂ｕ）（∂ｙ／∂ｕ）
ここで，ｘとｙを入れ替えると負号がでてくるので，
ｄｘΛｄｙ＝－ｄｙΛｄｘ
また，ｙをｘにするとヤコビアンは０になるから，
ｄｘΛｄｘ＝０
また，関数ｆに対して
ｄ（ｄｆ）＝ｄ^2ｆ＝０
微分１形式に対しては
ｄ（ｄωΛｄρ）＝（ｄω）Λρ－ωΛ（ｄρ）
より，
ｄ（ｄω）＝ｄ^2ω＝０
すなわち，外微分は２回続けると０になるが，このことは滑らかな関数の偏微分は順番によらないことに由来している．
以上，外微分のルールをまとめると，
(1)微分形式の外積の順番を逆にするとマイナスがでてくる（ｄｘΛｄｙ＝－ｄｙΛｄｘ）．
(2)同じ微分形式を２度かけるとゼロになる（ｄｘΛｄｘ＝０）．
(3)外微分を続けるとゼロになる（ｄｄｘ＝０）．
の３つである．
ｄｘΛｄｙ≠ｄｙΛｄｘなのであるが，微分２形式は符号が異なると考えることから始まるのである．
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【３】ガウスの定理（微分２形式－微分３形式）
３次元空間内の領域Ｖをとり，その表面をＳとすると，
∫S（ｆｄｙｄｚ＋ｇｄｚｄｘ＋ｈｄｘｄｙ）＝∫V（∂ｆ／∂ｘ＋∂ｇ／∂ｙ＋∂ｈ／∂ｚ）ｄｘｄｙｄｚ
というのが「ガウスの定理」です．
この定理の右辺に現れる積分は，「微分３形式」
（∂ｆ／∂ｘ＋∂ｇ／∂ｙ＋∂ｈ／∂ｚ）ｄｘΛｄｙΛｄｚ
を積分したものと考えます．３つの微分の積なので，微分３形式と呼ぶわけですが，一般に，微分３形式は
Ｈ（ｘ，ｙ，ｚ）ｄｘΛｄｙΛｄｚ
で与えられます．
また，微分１形式ｆｄｘの外微分を，全微分
ｄｆ＝∂ｆ／∂ｘｄｘ＋∂ｆ／∂ｙｄｙ＋∂ｆ／∂ｚｄｚ
を用いて，
ｄ（ｆｄｘ）＝ｄｆΛｄｘ
と定義したことをふまえて，微分２形式ｆｄｙΛｄｚの外微分を
ｄ（ｆｄｙΛｄｚ）＝ｄｆΛｄｙΛｄｚ
＝（∂ｆ／∂ｘｄｘ＋∂ｆ／∂ｙｄｙ＋∂ｆ／∂ｚｄｚ）ΛｄｙΛｄｚ
＝∂ｆ／∂ｘｄｘΛｄｙΛｄｚ
と定義します．さらにまた，これに意味をもたせるために，結合則
ｄｘΛ（ｄｙΛｄｚ）＝（ｄｘΛｄｙ）Λｄｚ＝ｄｘΛｄｙΛｄｚ
を要請します．
すると，
ｄ（ｆｄｙΛｄｚ＋ｇｄｚΛｄｘ＋ｈｄｘΛｄｙ）
＝ｄｆΛｄｙΛｄｚ＋ｄｇΛｄｚΛｄｘ＋ｄｈΛｄｘΛｄｙ
＝∂ｆ／∂ｘｄｘΛｄｙΛｄｚ＋∂ｇ／∂ｙｄｙΛｄｚΛｄｘ＋∂ｈ／∂ｚｄｚΛｄｘΛｄｙ
また，
ｄｘΛｄｙΛｄｚ＝ｄｙΛｄｚΛｄｘ＝ｄｚΛｄｘΛｄｙ
ですから，
∂ｆ／∂ｘｄｘΛｄｙΛｄｚ＋∂ｇ／∂ｙｄｙΛｄｚΛｄｘ＋∂ｈ／∂ｚｄｚΛｄｘΛｄｙ
＝（∂ｆ／∂ｘ＋∂ｇ／∂ｙ＋∂ｈ／∂ｚ）ｄｘΛｄｙΛｄｚ
＝ｄ（ｆｄｙΛｄｚ＋ｇｄｚΛｄｘ＋ｈｄｘΛｄｙ）
従って，前項と同様に，曲面上の微分２形式
ρ＝ｆｄｙΛｄｚ＋ｇｄｚΛｄｘ＋ｈｄｘΛｄｙ
の積分に対して，ガウスの定理は
∫S（ｆｄｙΛｄｚ＋ｇｄｚΛｄｘ＋ｈｄｘΛｄｙ）
＝∫V（ｆxｄｘ＋ｇyｄｙ＋ｈzｄｚ）ｄｘΛｄｙΛｄｚ
＝∫Vｄ（ｆｄｙΛｄｚ＋ｇｄｚΛｄｘ＋ｈｄｚΛｄｚ）
すなわち，
∫Sρ＝∫∂Vρ＝∫Vｄρ
と書かれることが理解されます．
ガウスの定理は，曲面で微分２形式を積分すると，内部で微分３形式を積分した値と一致するというものですが，ストークスの定理の場合とほんの少し言葉を変えただけで，まったく同じといってよいほど似ています．
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【４】外積と外微分
３次元空間上には，関数（０形式），微分１形式，微分２形式，微分３形式がありますが，微分４形式は，外積の反対称性から，たとえば，
ｄｘΛｄｙΛｄｚΛｄｘ＝０
となるからです．そして，図式的に書くと外微分演算子ｄによって，
０形式 －ｄ→ 微分１形式 －ｄ→ 微分２形式 －ｄ→ 微分３形式
と表されます．
これまで，ベクトル解析における「ストークスの定理」と「ガウスの定理」は，微分形式の積分を用いて，それぞれ
∫Cω＝∫∂Sω＝∫Sｄω
∫Sρ＝∫∂Vρ＝∫Vｄρ
の形に書けることをみてきました．
これらは，２次元平面・３次元空間の曲線に対して微分１形式，空間の曲面の上で積分されるべきものとして微分２形式が定義され，微分形式の積分が領域とその境界で等しくなるという見方で統一できることを意味しています．
∫（境界）（微分ｋ形式）＝∫（領域）（微分ｋ形式の外微分）
ｎ次元空間では，０形式から微分ｎ形式まであり，微分ｋ形式はnＣk個の線形結合として書かれます．
０形式・・・ｆがnＣ0＝１個
微分１形式・・・ｄｘ，ｄｙ，ｄｚ，ｄｗなどnＣ1＝ｎ個
微分２形式・・・ｄｘΛｄｙ，ｄｙΛｄｚ，ｄｚΛｄｗなどnＣ2個
微分３形式・・・ｄｘΛｄｙΛｄｚ，ｄｙΛｄｚΛｄｗなどnＣ3個
微分ｎ形式・・・ｄｘΛｄｙΛｄｚΛｄｗΛ・・・がnＣn＝１個
微分形式の理論は，積分の理論がうまく定式化されるために導入されたものですが，３次元空間でなくとも，一般の次元の多様体上でも展開されて成り立ちます．そこに至って初めて，これらの定理は統一的に理解されたといえるのです．
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【５】Ｑ＆Ａ
（Ｑ１）微分幾何や多様体の本には「外積」なる用語が出てくる．外積では，ｄｘｄｙｄｚの替りにｄｘΛｄｙΛｄｚのように表現され，そして，
ｄｘΛｄｙ＝－ｄｙΛｄｘ
ｄｘΛｄｘ＝０
のように，まるでベクトルの外積のような演算規則が成り立つ．これは高校・大学で教わったベクトルの外積を拡張したものなのか？ ベクトルの外積の関係は如何に？
（Ａ１）イメージとしては外積の拡張と考えて差し支えない．したがって，Yesというべきであろう．
３次元の場合，ｄｘΛｄｙ（ｘ，ｙと直交するもの＝ｚ軸）である．よって，３次元のベクトルの外積＝３次元ベクトルとなってしまうのである．また，テンソルとしては，「反対称テンソル」と見なされる．
（Ｑ２）ベクトルの外積を拡張したものならば，４次元以上では２つのベクトルに垂直な方向は一義でなくなるので，話がおかしくなってしまうのでは？ ベクトルの外積は３次元特有のものであると思うのだが，・・・．一方，拡張したものでなければ，実に誤解を招く用語である．
（Ａ２）これもまたテンソルだと思ってよい．テンソルとはベクトルを一般化したものであるが，あくまでも２つの局所座標の変換式である．局所座標で条件式を満たすものであり，局所座標の取り方により変わらぬのがテンソルである．
外積代数（グラスマン代数）を使うと，ストークスの公式などベクトル解析の定理が一般の次元で成り立つことがわかる．また，なぜ行列式＝四辺形（平行体）の体積なのかもわかる．
（Ｑ３）また，微分形式はどのようなところで役立つのか？
（Ａ３）力学，電磁気学，相対論の問題を扱うとき，座標系を固定せずに，その問題に便利な座標系に変換することが多い．そのため，これまでに定義した微分形式や外微分が座標変換で変わらない（座標のとり方にはよらない）ということは応用上極めて重要な意味をもつ．
また，微分形式の積分は，数学の表記法の上でも好ましいものである．エレガント（elegant）でない力まかせの表現はエレファント（elephant）と呼ばれる．これはエレガントとエレファントをかけたダジャレであるが，数学の表記法は「無駄を省いて短く巧みに簡潔に」を良しとしていて，数学形式のすばらしいところはエレファントな表現を排除できるところにあるのだ．
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【６】雑感（複雑さと美の発見）
たとえば，量子論では，ベクトルの内積は微分形式の束をベクトルが貫いた枚数（切断）として捉えられていたり，大きさゼロのベクトルの平方根がスピノルで，ベクトルが３６０°回転してやると元に戻るのに対して，スピノルは３６０°回転させると反対向きになり，７２０°回転させてやるとはじめて元に戻る量だったりで，実にややこしいが，それが現実であるからやむを得ない．
イメージしにくいし，説明もつけづらい，とかく難しいという声を耳にするのだが，個々の公式の運用に埋没せず，基本概念の理解と背後に潜む数学的構造の把握を心掛けるべきであろう．数学や物理の魅力は，複雑さの中に潜んでいる美を発見するために悪戦苦闘するところにあるのである．
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