ｎ次の対称行列の固有値はすべて実数ですが，それらを並べて，

　　λ1≦λ2≦・・・≦λn

とするとき，ｎ→∞のときの挙動，すなわち，固有値の漸近分布について，ウィグナーは，

　　ａ√ｎ≦λ≦ｂ√ｎなる固有値の数／ｎ　〜　∫(a,b)φ(t)dt

　　　　　ここで，φ(t)=1/2πm^2√(4m^2-t^2)

が成り立つことを証明しました（１９５８年）．

　

　分布関数φをもつ分布を「ウィグナー分布」といい，そのグラフは半円で与えられるますから，この定理を「半円則」ともいうのですが，ウィグナーの半円則は近年大いに発展したランダム行列の原型となっています．

　　→［参］コラム「最近接距離分布（ウィグナー分布）」

　

　ところで，数論における楕円曲線のヴェイユ・ゼータに関する佐藤（幹夫）予想とは，

　　偏角が［ａ，ｂ］となる素数密度　〜　2/π∫(a,b)sin^2θdθ

というものです．

　

　角分布がsin^2θに比例するという佐藤予想の最初の記述は，資料によると，昭和３８年（１９６３年）のことなのですが，ｓｉｎ^2予想でｔ＝ｃｏｓθとおけば，

　　偏角が［ａ，ｂ］となる素数密度　〜　2/π∫(α,β)√(1-t^2)dt

となりますから，これも１種の半円則となっていることがわかります．

　

　佐藤予想と対称行列の固有値分布に関するウィグナーの定理は，前者は数論，後者は物理学に関係していて出所はまったく異なるにも関わらず，どちらも同じ「半円則」で表されることは興味深いものがあります．根っこのところが，同じ構成原理で繋がっていることだってあり得るのです．そこで，今回のコラムでは「佐藤予想」を取り上げることにしました．

　

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【１】非特異３次曲線（楕円曲線）

　

　変数ｘ，ｙの３次曲線とは

　　ｆ（ｘ，ｙ）＝ａ0＋ａ1ｘ＋ａ2ｙ＋ａ3ｘ^2＋ａ4ｘｙ＋ａ5ｙ^2＋ａ6ｘ^3＋ａ7ｘ^2ｙ＋ａ8ｘｙ^2＋ａ9ｙ^3＝０

を満足する点の全体を指します．

　

　項数１０のこの方程式は定数倍で変わりませんから，１０次元空間の元を定数倍で移り合うものを同一視した９次の射影空間Ｐ^9で考えることができます．したがって，一般的にはｆ（ｘ，ｙ）＝０を満足する９個の点で定まります．また，射影空間では複比は一次分数変換で不変であり，直線上の４点の複比は射影によって不変となります．

　

　３次曲線は，適当な双有理変換でワイエルシュトラスの標準形：

　　ｙ^2＝ｘ^3＋ａｘ＋ｂ

に変わります．したがって，３次曲線をワイエルシュトラス形式に制限しても一般性を失いません．実際，どのような３次曲線もワイエルシュトラス形式の３次曲線（楕円曲線）に双有理的に同値だからです．

　

　この曲線のグラフはまったく楕円ではありません．にもかかわらず，３次曲線を楕円曲線というのは，それが双有理変換で

　　ｙ＝±√（ｘ^3＋ａｘ＋ｂ）

のように３次（あるいは４次）の平方根の形に表現でき，楕円の周の長さが

　　∫√（ｘ^3＋ａｘ＋ｂ）

　　∫１／√（ｘ^3＋ａｘ＋ｂ）

のような積分（楕円積分）で表現できるという事実によっています．すなわち，楕円と楕円曲線はまったく異なるもので，楕円の孤の長さを求める楕円積分問題とかかわっていることから楕円曲線という名前がつけられているというわけです．

　

　ｆ（ｘ，ｙ）＝０が３次式のとき，その曲線上に特異点と呼ばれる点が存在するかどうかで，曲線のもつ性質が大きく異なってきます．特異点があれば，適当なパラメータｔによりｘ，ｙはｔの多項式として表されます．ｘとｙがｔの有理式として表されるとき有理曲線となり，２次曲線とよく似た性質をもちます．

　

　一方，特異点がなければ，楕円曲線と呼ばれる非有理曲線で２次曲線とは本質的に異なってきます．２次曲線はすべて有理曲線ですが，楕円曲線は有理曲線でないことが知られています．この点でも，楕円と楕円曲線は性質の異なる曲線です．

　

　判別式：Δ＝−（４ａ^3＋２７ｂ^2）より，

　　　２^2ａ^3＋３^3ｂ^2≠０

は右辺の３次式が重根をもたない，したがって特異点をもたないための条件です．非特異３次曲線のことを楕円曲線というわけですが，楕円曲線上には加法に関する可換群の構造が入ります（モーデル：１９２１年）．

　

　楕円曲線上で群の演算を構成するコード・タンジェント（chord-tangent）法についてはいろいろな本で触れられていますから，すでにご存知の方も多いと思われますが，楕円曲線は，楕円曲線と三点で交わる直線で，そのうちの二つの交点の座標がわかれば他の一点の座標も計算でき，二つの点の座標が有理数ならば，他の一点の座標も有理数であるなどの性質をもっています．

　

　この節の最後として，オイラーによる楕円曲線：ｙ^2＝ａｘ^3＋ｂｘ^2＋ｃｘ＋ｄの解法を紹介しましょう．

　

　ｄ＝ｆ^2とする．ｇを未知数として，ａｘ^3＋ｂｘ^2＋ｃｘ＋ｆ^2＝（ｇｘ＋ｆ）^2なる関係を考える．ｃ＝２ｆｇになるようにｇを定めれば，ａｘ＋ｂ＝ｇ^2．したがって，

　　ｘ＝（ｇ^2−ｂ）／ａ＝（ｃ^2−４ｂｆ^2）／４ａｆ^2

なる有理数解を得る．

　

　手品のようですが，幾何学的に考えると

　　Ｆ（ｘ，ｙ）＝ｙ^2−ａｘ^3−ｂｘ^2−ｃｘ−ｆ^2

の点（０，ｆ）における接線の方程式は−ｃｘ＋２ｆ（ｙ−ｆ）＝０．ここで，ｃ＝２ｆｇと定めるとｙ＝ｇｘ＋ｆになる．曲線は３次で，接点では２重に交わるから，第３の交点（有理点）が１つ決まるのです．

　

　なお，前述の双有理変換は，楕円曲線の２本の接線と１本の極線を２次元射影空間Ｐ^2の軸に対応させる変換なのですが，本質的にはこの原理に負っています．

　

　ついでにいうと，

　　ｙ^2＝ａｘ^4＋ｂｘ^3＋ｃｘ^2＋ｄｘ＋ｅ

では，ｅ＝ｆ^2，ｄ＝２ｇｆ，ｃ＝ｇ^2＋２ｈｆとおくと，ａｘ^4＋ｂｘ^3＋ｃｘ^2＋ｄｘ＋ｆ^2＝（ｈｘ^2＋ｇｘ＋ｆ）^2より，ａｘ＋ｂ＝ｈ^2＋２ｈｇ．したがって，

　　ｘ＝（ｂ−２ｈｇ）／（ｈ^2−ａ）

なる解が得られます．

　　ｙ^3＝ａｘ^3＋ｂｘ^2＋ｃｘ＋ｄ

の場合も同様に解くことができますが，これらの方法は実質的にはディオファントスまでさかのぼることができます．

　

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【２】有限体上の楕円曲線

　

　今回のコラムでは，整数を法ｐで考えた有限体の上の３次方程式の群の位数について考察します．係数をＦpにもつ３次方程式を考えて，非特異であるための必要十分条件は，ｐ≠２，かつ，Ｆpの元として（ｍｏｄ　ｐで）

　　　２^2ａ^3＋３^3ｂ^2≠０　　

です．

　

　一般論に進む前に，具体例を掲げておきましょう．有限体Ｆ5上の非特異３次曲線

　　ｙ^2＝ｘ^3＋ｘ＋１＝ｆ（ｘ）

について，

　　ｆ（０）＝１（平方剰余）　→　ｙ＝±１

　　ｆ（１）＝３（平方非剰余）

　　ｆ（２）＝１１＝１（平方剰余）　→　ｙ＝±１

　　ｆ（３）＝３１＝１（平方剰余）　→　ｙ＝±１

　　ｆ（４）＝６９＝４（平方剰余）　→　ｙ＝±２

ですから，無限遠点を含めて９つの点が見つかります．可換群の構造が入るのは，有限体Ｆpにおいても同様で，この場合，位数９の可換群となります．

　

　一般のＦpについて，Ｆp＝｛０，１，・・・，ｐ−１｝を方程式：ｙ^2＝ｆ（ｘ）に代入してみましょう．すると

　　(1)ｆ（ｘ）＝０なら１つだけの解ｙ＝０がある．

　　(2)ｆ（ｘ）≠０ならｆ（ｘ）のとり得る０でない値の半分に対して，ｙとして２つの解がある．したがって，

　　Ｃ：ｙ^2＝ｘ^3＋ａｘ＋ｂ＝ｆ（ｘ）

の有限体Ｆpにおける群の位数（元の個数）＃Ｃ（Ｆp）は，ｆ（ｘ）の値が平方と非平方に均等に分布していれば，およそｐ＋１個の点が期待できます．

　

　よって，解の個数は，

　　＃Ｃ（Ｆp）＝ｐ＋１＋（誤差項）

の形になることがわかります．誤差項Ｍpはｐに比べて小さく，

　　｜Ｍp｜≦２√ｐ

　　−２√ｐ≦＃Ｃ（Ｆp）−ｐ−１≦２√ｐ

を満たすことが証明されています（ハッセの定理，１９３３年）．ハッセの不等式は，有限体上の曲線に対するリーマン予想とも呼ばれるものです．

　

　佐藤予想とは，楕円曲線Ｃの位数の分布に関するもので，Ｃが虚数乗法をもたないとき，

　　ｃｏｓθp＝（＃Ｃ（Ｆp）−ｐ−１）／２√ｐ＝Ｍp／２√ｐ

の偏角θpが，任意に固定された０≦ａ≦ｂ≦πに対して，［ａ，ｂ］となる素数密度：

　　＃｛ｐ≦ｘ；ａ＜θp＜ｂ｝／π（ｘ）　〜　2/π∫(a,b)sin^2θdθ

すなわち，その角分布はｓｉｎ^2θに比例するであろうというものです．

　

　佐藤予想には，多くの言い換えがあって，

(1)ｘ^2＋Ｍpｘ＋ｐ＝０

の解を

　　√ｐ（ｃｏｓθ±ｉｓｉｎθ）

とするとき，その角分布はｓｉｎ^2θに比例する

(2)Ｍp／２√ｐが√（１−ｘ^2）に比例する

(3)ハミルトンの４元数環（フルヴィッツの整数）：（ａ＋ｂｉ＋ｃｊ＋ｄｋ）／２の半径ｐの格子点３次元球面：ａ^2＋ｂ^2＋ｃ^2＋ｄ^2＝４ｐの一様分布の実軸方向への射影である

といっても同じことです．

　

　なお，佐藤予想とは一見無関係に見えますが，Ｍpが−２√ｐから＋２√ｐまでの区間をまんべんなく広がって分布していることに則って，巨大な整数の素因数分解に楕円曲線を応用する方法がレンストラによって発見され，最も強力な素因数分解法になっています．

　

　現在，大きな素数を素因数分解するのに有用なアルゴリズムとして「楕円曲線法」や「平方ふるい法」とが知られています．楕円曲線はフェルマー予想の解決で注目された曲線で，数論研究に非常に役立っています．また，暗号理論も楕円曲線の重要な応用分野になっています．

　

［補］リーマン予想とは，リーマンのゼータ関数ζ（ｓ）の実部が０と１の間にあり，零点の実部ははすべて１／２であるという仮説．リーマンのゼータ関数ζ（ｓ）を指標χに関するディリクレのＬ関数Ｌ（χ，ｓ）に置き換えたものが一般リーマン予想です．２１世紀に残された３大問題として，リーマン予想，ポアンカレ予想，Ｐ＝ＮＰ問題があげられています．

　

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【３】有限群の位数と超幾何関数

　

　楕円曲線は可換群の構造をもっていますが，

　　Ｃ：ｙ^2＝ｘ^3＋ａｘ＋ｂ＝ｆ（ｘ）

の有限体Ｆpにおける群の位数は，ルジャンドル記号を用いて

　　（ｆ（ｘ）／ｐ）＋１

のＦp＝｛０，１，・・・，ｐ−１｝をわたる和となります．あとの＋１は加法の単位元となる無限遠点です．

　

　ルジャンドル記号は（ｍｏｄ　ｐ）では平方根の逆数の如く振る舞います．これをシンボリックに

　　（ｆ（ｘ）／ｐ）＝１／√ｆ（ｘ）

と記すことにします．すると

　　＃Ｃ（Ｆp）＝ｐ＋１＋Σ１／√ｆ（ｘ）

となります．

　

　ところで，楕円関数の周期は

　　∫１／√ｆ（ｘ）ｄｘ

で表現できるのですが，このことから，有限群の位数は楕円関数の周期＝楕円積分に相当していることが理解されます．

　

　超幾何関数は楕円積分を一般化したものですが，有限体Ｆpにおける楕円曲線

　　ｙ^2＝ｘ^3＋ａｘ＋ｂ　　　（ワイエルシュトラスの標準形）

で定まる可換群の位数は，ガウスの超幾何関数を用いて，

　　ｐ＝４ｎ＋１のとき，ｚ^n2Ｆ1（1/12,5/12,1,1-z）

　　ｐ＝４ｎ−１のとき，ｚ^n2Ｆ1（7/12,11/12,1,1-z）

　　　　　　ｚ＝−４ｂ^2／２７ａ^3

と求められます．

　

　また，非特異３次曲線は，射影変換を用いれば，

　　ｙ^2＝ｘ（ｘ−１）（ｘ−λ）　　　（ルジャンドルの標準形）

に変換されます．この場合の可換群の位数は，

　　2Ｆ1（1/2,1/2,1,z），ｚ＝λ

すなわち，完全楕円積分

　　２／πＫ（√ｚ），ｚ＝λ

で与えられます．

　　2Ｆ1（1/2,1/2,1,x^2）=2/πＫ（x）

　　2Ｆ1（1/2,1/2,1,-x^2）=2/(π√(1+x^2))Ｋ（x/√(1+x^2)）

（この関数は２次元ランダムウォークの再帰確率の母関数としても登場します．）

　

　オイラー族：

　　ｙ^2＝ｘ^3＋ａｘ^2＋ｂｘ

の位数は

　　2Ｆ1(1/4,3/4,1,x)，ｘ＝−４ｂ／ａ^2

です．ここで，

　　2Ｆ1(1/4,3/4,1,x^2)=2/(π√(1+x))Ｋ(ｋ)，ｋ^2＝{1-√(1-x^2)}/2

　　2Ｆ1(1/4,3/4,1,-x^2)=2√(1-2k^2)/πＫ(ｋ)，ｋ^2＝1/2{1-1/√(1+x^2)}

　

　また，

　　ｙ^2＝ｘ^3＋ａｘ^2＋ｂ

の位数に対応するのが，

　　2Ｆ1(1/6,5/6,1,x)

です．

　

　ここでは，上部パラメータα，βの分母が２，４，６，１２の有理数となる場合を掲げましたが，

　　2Ｆ1(1/2,1/2,1,x)，2Ｆ1(1/4,3/4,1,x)，2Ｆ1(1/6,5/6,1,x)，

　　2Ｆ1(1/6,1/3,1,x)，2Ｆ1(1/6,1/2,1,x)，2Ｆ1(1/4,1/2,1,x)，

　　2Ｆ1(1/3,1/2,1,x)，2Ｆ1(1/6,1/2,1,x)，2Ｆ1(1/4,1/2,1,x)，

　　2Ｆ1(1/8,5/8,1,1-x)，2Ｆ1(3/8,7/8,1,1-x)，2Ｆ1(1/8,5/8,1,1-x)，

　　2Ｆ1(1/12,5/12,1,1-x)，2Ｆ1(7/12,11/12,1,1-x)，・・・・・

など，分母が２，３，４，６，８，１２の有理数となる楕円曲線の族が知られています．

　

　最後に，誤解のないように申し添えておきますが，有限体では上部パラメータ＜１となる超幾何関数2Ｆ1（α，β，１，ｘ）は常に有限のＦp係数多項式（＝代数的）になります．なお，代数的といっても，この場合，絵に描くことはできませんが・・・．

　

［補］超幾何関数は普通超越関数ですが，ときどき代数的になることがあります．ガウスの超幾何関数2Ｆ1に対しては，これが起こる状況が１８７３年，シュワルツにより決定されています．それは大ざっぱにいって，リーマンスキーム（λ，μ，ν）の分母が２，３，４，５の有理数となることです．また，2Ｆ1→3Ｆ2→4Ｆ3→・・・と進んで，一般化された超幾何関数nＦn-1が代数的になる条件はボイカーズとヘックマンにより決定されています（１９８９年）．

　　→［参］コラム「超幾何関数とフックスの問題」

　

［参］難波完爾「数学と論理」朝倉書店

　

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【４】余白

　

　ヒルベルトは，リーマンのゼータ関数ζ（ｓ）の零点がランダム・エルミート行列の固有値のように分布していると推測しました．後になって，これと同種の行列はその固有値が核子のエネルギーレベルに対応している原子核物理学の研究によく出てくることがわかりました．このエネルギーレベルの差として得られる分布が「ウィグナー分布」と呼ばれるものです．

　

　１９２５年，ハイゼンベルグが行列力学を，シュレディンガーが波動力学を提唱しました．ハイゼンベルグとボルンが行列力学を発見したとき，同じ固有値をもつ微分方程式を探すべきだと，ヒルベルトは彼らに語ったと伝えられています．しかし，彼らはそれに従いませんでした．そのために波動方程式を発見し損なったのですが，結局，その栄誉はシュレジンガーに与えられることになったのです．

　

　ハイゼンベルグは電子が粒子であることを前提とし，行列方程式を導きました．一方，シュレディンガーは電子の波動的性質から波動方程式を導きました．行列力学と波動力学は，別々に独立に存在し，それぞれが前提としていたことが大幅に異なっていたのですが，形式こそ違え，物理的には等値で，「量子力学」という１つの理論を表現していることが証明されました．

　

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

　

　２変数ｘ，ｙの多項式ｆ（ｘ，ｙ）＝０で定義される曲線を平面代数曲線と呼びます．ｆ（ｘ，ｙ）＝０が２次式の場合，その一般式は，

　　ａｘ^2＋ｈｘｙ＋ｂｙ^2＋ｃｘ＋ｄｙ＋ｅ＝０

のごとく，項数６の多項式として書くことができます．２次曲線には楕円，放物線，双曲線があり，それらは円錐（必ずしも直円錐でなくてよい）を平面で切断したときの切り口として現れる一群の曲線，すなわち円錐曲線です．

　

　同様に，３次曲線とはｆ（ｘ，ｙ）＝０が２変数ｘ，ｙの３次あるいは３次以下の方程式で与えられた曲線です．３次曲線の一般式の項数は１０になります．平面内ｎ次曲線ｆ（ｘ，ｙ）＝０の一般式の項数は，

　　3Ｈn＝n+2Ｃn＝（ｎ＋２）（ｎ＋１）／２

で計算されます．

　

　ｎ次平面代数曲線の方程式ｆ（ｘ，ｙ）＝０は，（ｎ＋１）（ｎ＋２）／２個の係数をもっていますが，ｆに定数を掛けても曲線は変わりませんから，ｎ次曲線は

　　（ｎ＋１）（ｎ＋２）／２−１＝ｎ（ｎ＋３）／２

個のパラメータに依っていることになります．

　

　そこで，平面内に与えられたｎ（ｎ＋３）／２個の点（ｘi，ｙi）を通るという条件によって曲線を決定するという問題が自然に提起されます．ニュートンはこうした研究を応用して，２次曲線上の５点，３次曲線上の９点が与えられた場合にこれを作図する方法を見いだしています．

　

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

　

　２次曲線の分類については，３種類の円錐曲線，すなわち楕円，双曲線，放物線になることは既に述べたとおりですが，同じことをもっと高次の曲線に対して考えるのは自然なことでしょう．３次曲線の分類には，２次曲線とは異なった種類の難解さが要求されましたが，ニュートンはあらゆる場合を考察して，最終的に３次曲線は全部で７８種類が必要であることを示すに至り，さらに３次曲線の一般式が５個の標準形に帰することを示しました．（ニュートンは７２個の型を得，彼の後継者たちがニュートンの発見しなかった６個の型を追加しています．）

　

　ニュートンの３次曲線の分類に引き続いて，オイラーは４次平面曲線の分類を企てましたが，可能な場合の数が非常に多いという理由で断念しています．この問題に対する答えは長い間知られていなかったのですが，プリュッカーが１９世紀に４次曲線の１５２の型を数え上げることによって解かれました．

　

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

　

　２次曲線に続くものとして，３次曲線の数論的な性質の奥深さに触れることにしましょう．

　

ａ）整数係数のａｘ＋ｂｙ＝ｃは無数の有理数解をもちます．

　

ｂ）二次曲線ａｘ^2＋ｂｙ^2＝ｃのグラフは円錐曲線ですが，この方程式が有理数解を１つもてば，実は無数のもつことを示すことができます．たとえば，方程式ｘ^2＋ｙ^2＝１には，無限に多くの有理数解，（３／５，４／５），（５／１３，５／１２），（１２／３７，３５／３７）など・・・が存在します．

　

　ところが，半径が√３の円，ｘ^2＋ｙ^2＝３になると有理点は全くなってしまいます．このことは，互いに素な整数ａ，ｂに対する平方の和ａ^2＋ｂ^2は３で割れないということからわかります．２次曲線は有理点を無限のもつか，１つももたないかのどちらかです．→［補］

　

ｃ）三次曲線ａｘ^3＋ｂｙ^3＝ｃや楕円曲線ｙ^2＝ａｘ^3＋ｂｘ^2＋ｃｘ＋ｄなど，３次以上の不定方程式には一般に整数点が有限個しかありません（ジーゲルの有限性定理：１９２９年）．

　

ｄ）種数が２以上の代数曲線は有理点を有限個しかもたない（モーデル・ファルティングスの定理：１９８３年）．

　

　２次曲線のように有理点全体を１つの変数でパラメータ表示できる曲線を種数が０の曲線と呼んでいます．一方，種数が１である曲線に楕円曲線があります．したがって，有理点が無数にあるような曲線は種数が０か１ということになり，直線（種数０）か，円錐曲線（種数０）か，楕円曲線（種数１）に限られてきます．

　

　円錐曲線の有理点は無限です．楕円曲線の有理点はときには無数にあるのですが，有限個の有理点から２倍公式を繰り返し適用することによってすべて見つけることができます（モーデルの有限生成定理，１９２３年）．

　

　なお，１９７０年，ロシア人のマチアセビッチにより，すべてのディオファントス方程式（不定方程式）の解の存否を判定するアルゴリズムが存在しないことが証明されています．一般に３変数以上のディオファントス方程式を解く有力な方法はまったく見つかっておらず，たとえば，ｘ^3＋ｙ^3＋ｚ^3−３＝０が（１，１，１），（４，４，−５）とその並び換え以外の整数解をもつかどうかすらわかっていません．

　

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

　

［補］互いに素な整数ａ，ｂに対する平方の和ａ^2＋ｂ^2は３で割れない．

　

　　ａ＝３ｋ　　　→　ａ^2＝９ｋ^2

　　ａ＝３ｋ＋１　→　ａ^2＝９ｋ^2＋６ｋ＋１

　　ａ＝３ｋ＋２　→　ａ^2＝９ｋ^2＋１２ｋ＋４

より，ａ^2を３で割ったときの余りは０か１になります．０になるのはａが３の倍数のときです．

　

　ｂ^2に対しても同じことが成り立ちますから，ａ^2＋ｂ^2を３で割ると，余りは０＋０，０＋１，１＋０，１＋１にしかなりません．０＋０はａもｂも３の倍数であることに対応していて，仮定に反します．さらにまた，別の例を挙げてみましょう．

　

［補］４ｎ＋３の数はａ^2＋ｂ^2の形にならない．

　

　　ａ＝４ｋ　　　→　ａ^2＝０　　（ｍｏｄ　４）

　　ａ＝４ｋ＋１　→　ａ^2＝１　　（ｍｏｄ　４）

　　ａ＝４ｋ＋２　→　ａ^2＝０　　（ｍｏｄ　４）

　　ａ＝４ｋ＋３　→　ａ^2＝１　　（ｍｏｄ　４）

したがって，ａ^2＋ｂ^2を４で割ったときの余りは０＋０，０＋１，１＋０，１＋１にしかならないので，この主張が示されました．

　

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

　

［補］ｐ進数体Ｑp

　

　ところで，「互いに素な整数ａ，ｂに対する平方の和ａ^2＋ｂ^2は３で割れない．」はｘ^2＋ｙ^2＝３が３進数体Ｑ3上で解をもたないことを証明したことにほかなりません．

　

　素数ｐをあらかじめ決めておいて，ａを素因数分解します．ｐのベキ乗部分を分離して，

　　ａ＝ｐ^n・ｂ／ｃ

とするとき，

　　｜ａ｜p＝ｐ^(-n)

という式によって，ａの新しい絶対値を決めます．例えば，ｐ＝３としておくと

　　｜１８｜3＝｜２・３^2｜3＝３^(-2)，｜１９｜3＝１，

　　｜１３／１８｜3＝｜３^(-2)・１３／２｜3＝３^2

などとなります．

　

　以上で定義した素数ｐごとに定まる絶対値をｐ進付値といいます．ｐ進付値は普通と違って，ｐ^nはｎが大きくなるとゼロに近づきます．すなわち，ｐ進数的に小さいとは，それが高いベキで割り切れるということです．

　

　ｐ進数は１９世紀にヘンゼルによって導入された非アルキメデス的数体系で，有理数体Ｑを｜｜pで完備化して得られます．ｐ進数の集合は

　　Ｑp＝｛ａ-nｐ^(-n)＋・・・＋ａ0＋ａ1ｐ＋ａ2ｐ^2＋・・・＋ａnｐ^n｝

　　　　　　０≦ａi≦ｐ−１

と書けるのですが，これらの数の中で四則演算ができますから，体をなすというわけです．

　

［補］ハッセの原理（局所−大域原理）

　

　有理数について成り立つことと，実数およびｐ進数について成り立つことが同値の場合，ハッセの原理が成り立つといいます．ハッセ原理（局所−大域原理）とは，すなわち，局所（ｐ進数）を全部集めれば全体（有理数）のことがわかるという原理です．

　

　２次曲線（種数０）に関してはハッセの原理が成り立ちますから，次の２つの主張は同値です．

　　(1)ａｘ^2＋ｂｙ^2＝１を満たす有理数の組（ｘ，ｙ）が存在する．

　　(2)ａｘ^2＋ｂｙ^2＝１を満たす実数の組（ｘ，ｙ）が存在し，各素数についても，ａｘ^2＋ｂｙ^2＝１を満たすｐ進数の組（ｘ，ｙ）が存在する．

　

例：２ｘ^2＋３ｙ^3＝１を満たすような有理数の組は存在するか？

　実数は存在します．たとえば，（ｘ，ｙ）＝（０，１／√３）．しかし，このような３進数（ｘ，ｙ）は存在しません．２ｎ^2−１が３で割れるような整数が存在しないからです．したがって，有理数は３進数の１部でもありますから，このような有理数の組も存在しないということになります．

　

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［補］３次曲線のｊ-不変量

　

　射影変換によって互いに写り合う３次曲線は同型とみなされます．そこで，３次曲線のｊ-不変量が定義されます．非特異３次曲線のルジャンドルの標準型：

　　ｙ^2＝ｘ（ｘ−１）（ｘ−λ）

のｊ-不変量は

　　ｊ＝２^8（λ^2−λ＋１）^3／λ^2（λ−１）^2

によって定義されます．

　

　この有理関数ｊは，１／λ，１−λで生成される位数６の群

　　｛λ，１−λ，１／（１−λ），１／λ，λ／（λ−１），（λ−１）／λ｝

のどの値を代入しても不変です．

　

　すなわち，

　　ｊ（λ）＝ｊ（１−λ）＝ｊ（１／λ）

　＝ｊ（１−１／λ）＝ｊ（１／（１−λ））＝ｊ（λ／（１−λ））

ですから，４個の点｛０，１，λ，∞｝の入れ替えに依存しないinvariantで，最も単純で重要な保型関数と考えられます．

　

　ワイエルシュトラスの標準形：

　　ｙ^2＝ｘ^3＋ａｘ＋ｂ　　　（２^2ａ^3＋３^3ｂ^2≠０）

のｊ-不変量を計算すると，

　　ｊ＝２^8・３^3ｂ^2／（２^2ａ^3＋３^3ｂ^2）

となります．ｊｰ不変量は，２つの楕円曲線が同じｊｰ不変量をもつかどうかなど，３次曲線を分類する（見分ける）ための指標になっているのです．

　

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