数の世界は、自然数から負の数へ、有理数から無理数へ、実数から複素数へと拡大してきました。如何にしてその数が発見されたのか、あるいは、数の概念を拡張するのにどれだけ長くかかったかなどは大変興味深いテーマです。
複素数は難解とか複雑な数ということではなく、実数と虚数という二つの項をもつ数（ｘ＋ｙｉ）のことで、ｙ＝０ならばこの数は実数ｘになります。複素数はすでに１６世紀に３次方程式の解の公式を発見したカルダノなどによって使用されていました。彼の頃までは代数方程式は実係数のものしか考えなかったばかりではく、負根は本当の根とは考えられていませんでした。普|１を表す記号ｉを使い始めたのはオイラーですが、それから、ベルヌーイとオイラーまで２００年間はほとんどだれも複素数の研究をしませんでした。
１８世紀末になって、ガウスは数学に本格的に複素数を導入し「実数あるいは複素数を係数にもつ代数方程式ｆ（ｘ）＝ａ0 ｘn ＋ａ1 ｘn-1 ＋・・・＋ａn ＝０は複素数の範囲に解をもつ」、「ｎ次方程式は複素数の範囲にｎ個の解をもつ」という代数学の基本定理（fundamental theorem of algebra）を証明しました（１７９９年）。
代数学の基本定理は任意の実数係数をもつ多項式は１次および２次の実数多項式の積である、あるいは任意の複素係数多項式は１次の複素数多項式に分解されうることを述べています。多くの数学者は基本定理を証明なしに信じてきたのですが、ガウスはこの定理を非常に重要と考えたので、生涯に４つの異なる証明を与えています（最後の証明は１８４８年になされた）。
数を実数から複素数に広げると大小の順序はまずくなりますが、平方根を常にとれるし、だから２次方程式は必ず解けるし、もっと一般に代数方程式は常に根をもつことになり、現象がずっと単純になって見通しよくなります。その意味で複素数は究極の数です。交流理論や相対論など物理学の進展の多くは複素数なしには成し遂げられなかったでしょう。
しかし、複素数は２次元平面上に存在すると考えてよい数体系であり、平面的あるいは曲面的な意味しかもちませんから、空間的な現象への応用を目指して、アイルランドの数学者ハミルトンは複素数を拡大した数体系を創造しました。
複素数ではかけ算は回転に相当し、平面上の回転をｅｘｐ（ｉθ）＝ｃｏｓθ＋ｉｓｉｎθとすればＺ’＝ｅｘｐ（ｉθ）Ｚと記述できますが、ハミルトンは３次元空間での回転を記述する試みの中から、複素数の類似である３個の実数の組からなる新しい数（ｘ＋ｙｉ＋ｚｊ）を導入して、（ａ＋ｂｉ＋ｃｊ）（ｘ＋ｙｉ＋ｚｊ）のような積を同じ空間内のベクトル（α＋βｉ＋γｊ）として表そうとしました。しかし、空間の回転をとらえるというはじめのアイデアは失敗に終わり、結局、４次元へ跳躍することによって４個の実数の組よるなる四元数（ｘ＋ｙｉ＋ｚｊ＋ｗｋ）を発明しました（１８４３年）。
四元数は複素数に似ていますが、ただ１つではなく３つの虚数をもつ数体系で、ｉ2
＝−１，ｊ2 ＝−１，ｋ2 ＝−１，ｉｊ＝ｋ，ｊｋ＝ｉ，ｋｉ＝ｊ，ｊｉ＝−ｋ，ｋｊ＝−ｉ，ｉｋ＝−ｊなる性質をもち、（ｘ＋ｙｉ＋ｚｊ＋ｗｋ）（ｘ−ｙｉ−ｚｊ−ｗｋ）＝ｘ2
＋ｙ2 ＋ｚ2 ＋ｗ2 となります。四元数ではかけ算の交換法則は成り立ちません（ａｂ≠ｂａ）。四則演算の法則に変更を加えない限り、３次元空間への拡張はできなかったのです。
複素数では加法、減法、乗法と０を除く除法が定義され、かつ、交換、結合、分配法則が適用できる数の集合＝体と呼ばれる代数的構造をなしています。実数は体を構成しますが、有理数は最小の体を、複素数は最大の体を構成します。したがって、複素数以上に数の世界を広げようとすると、われわれがなじんでいる交換法則などのどれかが壊れてしまいます。超複素数の世界ではある規則が犠牲にされなければなりませんが、ある規則を犠牲にする段になると、最も苦痛の少ないのは乗法の交換法則だったのです。
四元数は群、環、体などの代数的構造の理論という分野の中で不可欠な役割を担ったのですが、１８４３年、ハミルトンが発見して以来３次元運動の力学系を記述するために使われてきて、スペースシャトルの制御でも利用されています。また、電磁気学や相対性理論、三次元の非ユークリッド幾何学の法則を記述するのにも応用されています。
ハミルトンの有名な四元数は複素数の拡張ですが、さらに、イギリスの数学者ケイリーによって８個の基底元１，ｉ，ｊ，ｋ，ｌ，ｍ，ｎ，ｏをもつ代数＜八元数＞も発明されました（１８４５年）。
ｉ2 ＝ｊ2 ＝ｋ2 ＝ｌ2 ＝ｍ2 ＝ｎ2 ＝ｏ2 ＝−１，
ｉ＝ｊｋ＝ｌｍ＝ｏｎ＝−ｋｊ＝−ｍｌ＝−ｎｏ，
ｊ＝ｋｉ＝ｌｎ＝ｍｏ＝−ｉｋ＝−ｎｌ＝−ｏｍ，
ｋ＝ｉｊ＝ｌｏ＝ｎｍ＝−ｊｉ＝−ｏｌ＝−ｍｎ，
ｌ＝ｍｉ＝ｎｊ＝ｏｋ＝−ｉｍ＝−ｊｎ＝−ｋｏ，
ｍ＝ｉｌ＝ｏｊ＝ｋｎ＝−ｌｉ＝−ｊｏ＝−ｎｋ，
ｎ＝ｊｌ＝ｉｏ＝ｍｋ＝−ｌｊ＝−ｏｉ＝−ｋｍ，
ｏ＝ｎｉ＝ｊｍ＝ｋｌ＝−ｉｎ＝−ｍｊ＝−ｌｋ
八元数では、乗法の結合法則も破れていて（ａ（ｂｃ）≠（ａｂ）ｃ）、現在では幾何学の分類などに応用されています。さらに、１６個の基底元をもつ同様の代数を構成しようと試みられましたが、それは成功するはずはありませんでした。
複素数ｘ＝ａ＋ｂｉの絶対値は｜ｘ｜2 ＝ａ2 ＋ｂ2 ＝（ａ＋ｂｉ）（ａ−ｂｉ）で与えられますが、ここで、数の体系に「積のベクトルの大きさはベクトルの大きさの積に等しい」という条件が要請されているとしましょう。
複素数ｘ＝ａ＋ｂｉとｙ＝ｃ＋ｄｉの積
ｘｙ＝（ａ＋ｂｉ）（ｃ＋ｄｉ）＝（ａｃ−ｂｄ）＋（ａｄ＋ｂｃ）ｉ
は同じ空間内のベクトルとして表されますが、（ａ2 ＋ｂ2
）（ｃ2 ＋ｄ2 ）＝（ａｃ−ｂｄ）2
＋（ａｄ＋ｂｃ）2 より、｜ｘ｜・｜ｙ｜＝｜ｘｙ｜が満たされていることがわかります。、フィボナッチの等式としてよく知られている恒等式（ａ2
＋ｂ2 ）（ｃ2 ＋ｄ2 ）＝（ａｃ−ｂｄ）2
＋（ａｄ＋ｂｃ）2 は簡単に確認できます。この公式は２つの整数がともに平方数の和の形をしているなら、その２数の積も平方数で表されることを示していて、複素数と２平方和問題との関連を示しています。
また、４平方和問題（ａ2 ＋ｂ2 ＋ｃ2 ＋ｄ2 ）（ｐ2 ＋ｑ2 ＋ｒ2 ＋ｓ2 ）＝ｘ2 ＋ｙ2 ＋ｚ2 ＋ｗ2 は
ｘ＝ａｐ＋ｂｑ＋ｃｒ＋ｄｓ，
ｙ＝ａｑ−ｂｐ＋ｃｓ−ｄｒ，
ｚ＝ａｒ−ｂｓ−ｃｐ＋ｄｑ，
ｗ＝ａｓ＋ｂｒ−ｃｑ−ｄｐ
とおくと成り立ち、４つの平方数の和となっている数は積の演算で閉じていることを示しています。しかし、３平方和問題（ａ2
＋ｂ2 ＋ｃ2 ）（ｘ2 ＋ｙ2
＋ｚ2 ）＝ｕ2 ＋ｖ2 ＋ｗ2
は２平方和、４平方和の場合のようなわけにはいきません。３平方和の積が必ずしも３平方和とならないからです。
｜ａ｜・｜ｂ｜＝｜ｃ｜、すなわち
（ａ12＋ａ22＋・・・＋ａn2）（ｂ12＋ｂ22＋・・・＋ｂn2）＝（ｃ12＋ｃ22＋・・・＋ｃn2）
の恒等式はｎ＝１，２，４，８に対してだけ満たされるという驚くべき結果が１９世紀末、フルヴィッツにより証明されています（１８９８年）。したがって、ある条件のもとで、数の体系は八元数までですべてであることが知られていて、数の系列は実数（一元数）→複素数（二元数：ガウス）→四元数（ハミルトン）→八元数（ケイリー）というようになっているのです。
【補】２平方和定理（フェルマー・オイラーの定理）
（ａ2 ＋ｂ2 ）（ｃ2 ＋ｄ2 ）＝ｐ2 ＋ｑ2
ｐ＝ａｃ−ｂｄ，ｑ＝ａｄ＋ｂｃ
特別な素数である２を除外して、素数は４で割ると余りが１になるもの（５，１３，１７，２９，３７，４１，・・・）と３になるもの（３，７，１１，１９，２３，３１，・・・）の２種類に分けられます。このうち、４ｎ＋１の形の素数は２つの整数の平方の和として表されます。たとえば、５＝１2 ＋２2 ，１３＝２2 ＋３2 ，１７＝１2 ＋４2 ，２９＝２2 ＋５2
しかし、４ｎ＋３の形の素数は１つもこのようには表せないのです。
この定理はフェルマーの定理と呼ばれ、フェルマーは無限降下法でこれを証明しましたが、その証明は不十分で、１００年後のオイラーによって完全な証明がなされています。
【補】３平方和定理
４ｎ＋３の形の数は２個の平方数の和で表せませんが、同様にして、「８ｎ＋７の形の数は３個の平方数の和では表されない。」
【補】４平方和定理（オイラー・ラグランジュの定理）
任意の自然数は４つの平方数の和の形に表せる。
オイラーはこの定理の直前まで行きながら、最後の段階で成功しませんでした。ラグランジュはオイラーの研究成果からアイデアを得て、１７７２年、最後の段階を突破しました。その証明中で用いられる基本公式が（ａ2
＋ｂ2 ＋ｃ2 ＋ｄ2 ）（ｐ2
＋ｑ2 ＋ｒ2 ＋ｓ2 ）＝ｘ2
＋ｙ2 ＋ｚ2 ＋ｗ2 で、１７４８年にオイラーによって証明されています。
【補】ｍ角数和定理
すべての自然数はたかだかｍ個のｍ角数で表せる。
１／２・ｎ・｛２＋（ｍ−２）（ｎ−１）｝の形の自然数をｍ角数といいます。すなわち、三角数とはｎ（ｎ＋１）／２、四角数とはｎ2 の形の自然数、すなわち平方数です。
ガウスは１７９６年の日記に「わかった！ ｎ＝△＋△＋△」と書いていますが、それはすべての整数は３つの３角数の和によって表しうるという意味で、ｍ＝３の場合についての証明に相当します。ガウスの発見は８ｎ＋３の形をしたすべての整数を３つの奇数の平方の和として表せることを意味していて、３平方和定理「８ｎ＋７の形の自然数は３つの平方数の和では表せない」を用いるとｎ＝△＋△＋△を簡単に示すことができます。
（証明）
４k （８ｎ＋７）でない奇数は３平方和で表せますから、任意の自然数ｎに対して８ｎ＋３＝ｘ2
＋ｙ2 ＋ｚ2 と書けます。このとき、ｘ＝２ｏ＋１，ｙ＝２ｐ＋１，ｚ＝２ｑ＋１とおくとｎ＝ｏ（ｏ＋１）／２＋ｐ（ｐ＋１）／２＋ｑ（ｑ＋１）／２
この定理で、ｍ＝３の場合がガウスの定理「ｎ＝△＋△＋△」、ｍ＝４の場合がラグランジュの定理「ｎ＝□＋□＋□＋□」に相当します。フェルマーが遺して後世を悩ましていたこの命題は、オイラー、ラグランジュ、ルジャンドルなどの研究を経て、１８１３年、コーシーが証明しセンセーションを巻き起こしました。
【補】ウェアリングの問題
ウェアリングは４平方和定理を拡張して、「任意の整数はたかだか９個の３乗数の和として、あるいは１９個の４乗数の和として表される」ことを証明抜きで主張しました。この問題は多くの数学的思考を刺激し、１９０９年に至ってヒルベルトによって、どの数もいくつかのｎ乗数の和で表されることが証明されています。以下、３７個の５乗数の和、７３個の６乗数の和、・・・と続きますが、この最良値を完全に決めることはまだできていません。