微分方程式と可積分系

　微分方程式を解くことを「積分」するといいます．１７世紀にニュートンが解明したケプラー運動（２次曲線）をはじめとして，三角関数で解ける調和振動子，楕円関数で解ける単純振り子，コマの運動方程式（コワレフスカヤ）など，１９世紀には様々な解ける＝積分できる力学系が知られていました．

　１９世紀半ばにリュービルはこれらの力学系の本質が「保存量」の存在にあることを見抜き，可積分系の明確な定義を与えました．例えば，軌道に沿ってエネルギーが変化しない系（保存系）を表わす関数をハミルトン関数といい，物理の世界では運動の全エネルギーを表わすものとして有名です．

　可積分系とは元来力学用語で，線形化可能あるいは線形系と関連づけられる非線形力学の総称です．連続の世界（微分方程式）だけでなく離散の世界（差分方程式）においても可積分系の概念は存在し，コンピュータときわめて相性がよいことが知られています．セルオートマトンなどはその例でしょう．

　　『近年，物理学（可積分系）に現れて脚光を浴びているパンルヴェの微分方程式ＰVIも０，１，∞の動かない特異点以外に動く特異点をもつ重要な方程式となっています．余談ながら，フランスのパンルヴェはのちに政界に入り，最後は首相にまでなった数学者です．』

ですが，右辺に２次の項ｙ^2があるので，非線形方程式ということになります．非線形方程式では特異点の現れる場所が変わるという現象が起きるのですが，このことを指して「動く特異点」といいます．

　　ＰIV：ｙ”＝１／２（１／ｙ＋１／（ｙ－１）＋１／（ｙ－ｘ））ｙ’^2－（１／ｘ＋１／（ｘ－１）＋１／（ｙ－ｘ））ｙ’＋ｙ（ｙ－１）（ｙ－ｘ）／ｘ^2（１－ｘ）^2（α＋βｘ／ｙ^2＋γ（ｘ－１）／（ｙ－１）^2＋δｘ（ｘ－１）／（ｙ－ｘ）^2）

を満足するとき，関数ｆは線形であるといいます．ａ）の重ね合わせ（加法性），ｂ）の比例関係（斉次性）が満足されるならば，ｃ1 ，ｃ2 を任意の定数とする１次結合ｃ1 ｘ1 ＋ｃ2 ｘ2 に対し，

　自然界の法則の大部分は微分方程式の形で表現されますが，線形と非線形の違いを簡単（きわめて不正確）にいえば，非線形方程式は未知数の二乗の項を含むこと，線形方程式は一乗の項しか含まないことです．たとえば，ｙ’＝ｙのように１次の項しかない微分方程式は解の重ね合わせが成り立つ，すなわち，解の和もその解となるので線形，ｙ’＝ｙ－ｙ^2のように２次以上の高次項（ｙ^2など）や交差項（ｘｙなど）を含む微分方程式は解の重ね合わせの原理が成り立たないので非線形です．

　これらの古典解（線形微分方程式に帰着する解）としてＰIIではエアリー関数，ＰIVではガウスの超幾何関数がすぐに読みとれます．式は示しませんでしたが，ＰIII，ＰIV，ＰVの古典解はそれぞれベッセル関数，エルミートの直交多項式，クンマーの合流型超幾何関数となります．

　このような線形方程式や楕円関数の微分方程式に帰着するものを除外して，非線形微分方程式を分類すると，６個のいずれかに帰着されるというのがパルンヴェの結論です．このような分類が困難な作業であったことは，関数論や微分方程式論を（深くも浅くも）学んだ経験のない小生にとっても容易に想像されるところです．

　フランスの数学者ポール・パンルヴェはパンルヴェ方程式と呼ばれる微分方程式に名を残す偉大な数学者であったのですが，それと同時に著名な政治家でもありました．数学から政治に転じ，そのために多くの時間を奪われるようになったことは惜しまれるところですが，衆議院議長の要職にあっても，週に２回はソルボンヌで流体力学の講義をしていたというから驚かされます．

　大統領候補に立って落選しましたが，彼は初めは物理学者として後には航空相として航空界の発展にも偉大な貢献をしていて，ライト兄弟がパリの空を飛行したときの最初の乗客であったり，大西洋横断をはたしたリンドバーグと一緒に写った写真も残されているそうです．

　パンルヴェ方程式は１９１０年代に未完成のまま現代数学の表舞台から消えてしまったのですが，近年，再び物理学（可積分系）の問題に現れて復活し，脚光を浴びています．パンルヴェ方程式自身は１００歳になる現在でも新鮮さを失わず異彩を保ち続けているのです．

　ｘをある生態系におけるウサギの個体数，これをエサとするキツネの個体数をｙとします．それらの変化は被食者と捕食者の生存闘争モデルとして有名なロトカ・ヴォルテラ（Lotka-Volterra）の微分方程式：

　この式は，キツネがいなければウサギは微分方程式ｄｘ／ｄｔ＝ａｘにしたがって無制限に増え，ウサギがいなければキツネは微分方程式ｄｙ／ｄｔ＝－ｂｙにしたがって死滅していくと仮定し，生物種の相互作用の項をｃｘｙとしてモデル化したものです．すなわち，個体群間の相互作用を表す交差項ｘｙを含む非線形モデルです．

　餌食となるウサギが不足すればキツネの数は減少するが，一方，ウサギの個体数はキツネの減少のせいで増加が可能になる→ウサギの個体数がかなり増加するとキツネの個体数も増加が可能となる→キツネが大量に増えてウサギの個体数は減少するという時間経過をとることが予想されます．

　非線形項を含む３元の微分方程式の解は「カオス」と呼ばれる非常に複雑な挙動を示すことは次項で述べますが，ロトカ・ヴォルテラモデルは交差項ｘｙを含む２元の微分方程式であって，被食者と捕食者の変化は周期的，つまりある時間がたつと初めの状態に戻る非線形現象になります．

　生態系のロトカ・ヴォルテラ方程式は２変数の力学系と考えることができますが，変数の数が３より大きい力学系に拡張することは容易なことです．地球の表面には１０ｋｍ程度の空気の層があり，そこでの対流は気象現象という複雑な変化を生じます．気象現象のひとつの数学モデルが，１９６３年，アメリカの気象学者ローレンツにより提出された対流・乱流モデル（天気予報のモデル）です．

　ローレンツは，天候をシミュレートするために流体の運動を簡単な３個変数を含む非線形微分方程式系（一種の三体問題）にモデル化し，非線形項を含む３次元の微分方程式の解がパラメータのある値を境に対流から乱流へと非常に複雑な挙動（カオス）を示すということを明らかにしました．

　その研究中，ローレンツは，コンピュータを使って最初の計算のときはある数値を０．５０６１２７と入力したのですが，検算のときには０．５０６で打ち切ってしまいました．２本のシミュレーシュンカーブは最初のうち似通った振る舞いをしましたが，時間の経過とともに似ても似つかない結果になってしまいました．初期値はたった５０００分の１程度の誤差です．すなわち，ローレンツ方程式による気象計算はパラメータの初期条件に敏感に依存し，小数点以下の数字を四捨五入するかしないかでその後の天候の移り変わりがまったく異なり，解の振る舞いは本質的にクジ運的・確率論的であることから，ローレンツはこれをバタフライ効果－－－１匹の蝶が羽ばたいたことで明日の天気が変わる可能性があること－－－と呼んでいます．

　天文学と気象学は，どちらも私たちの頭上の世界を扱っている点では共通ですが，天文学上の現象は何世紀にもわたって予測できるのに対し，皮肉なことに，明日の天気を正確に予報することですら非常に困難なのです．

　パラメータの値をほんの少しずらした力学系の定性的性質を調べる方法を摂動法といいますが，特定のパラメータの場合のローレンツ系の解軌道を描くと，３次元空間に蝶の羽根を思わせるような８の字状の非常に複雑な往復運動をし，定常状態に達することはありません．この解の軌跡はストレンジアトラクタ（奇妙な引き込み領域：アトラクタとはプロットする点がある不動の対象に引き寄せられていくときの対象を指す）と名付けられています．

　カオスには周期性がないので有限の空間に無限の軌道を描き続けることになり，これを数学らしく言い換えるとローレンツの３次元微分方程式の解はｔ→∞で有界ではあるが周期的でないということになります．

　気象現象のように，カオスは一見秩序的な振る舞いをしない予測不可能な振る舞いをするランダム現象のようですが，実は決定論的な方程式によって記述されていて，その解は初期値により完全に決定されているものです．言い換えれば，複数の相互作用をもっているために非常に複雑でいかなる予測も許さない無秩序に見える現象で，ランダムネスを真似た決定論的システムであるがゆえに予測不可能なものと言い換えてもよい現象です．

　変な挙動を示す場合には，その系は例外なく非線形方程式に支配されていて，初期条件のわずかな違いに敏感に反応します．線形微分方程式に相互作用を表す非線形項を一つだけつけ加えた非線形微分方程式でも数学的には解けないことが証明されていて，コンピュータによって数値解が求められます．非線形方程式の解き方の研究は最近急速に進んでいますが，一般の非線形方程式の系統的な解き方はまだ知られていません．おそらく，今後もありえないことでしょう．ただし，非線形性は応用上重要な役割を演じており，カオスに対しては状況に応じてそれに最適な規則を取りだすことさえできればうまく対応できると考えられていて，すでに種々の応用範囲も創案されつつあります．

　ニュートンは逆２乗則にしたがう引力が，宇宙のどの場所においても，どんな２つの物体の間にも例外なく存在するはずだという，実に大きな知的飛躍を試みて大成功をおさめ，ニュートン以来の古典力学は解析力学という形で一応の完成をみました．もちろん，現在の科学はニュートン力学だけでは不十分で，光の速度に近いような非常に速い物体，原子とか量子とか非常に小さい物体の運動法則は，もはやニュートン力学ではうまく説明できません．そこで，アインシュタインの相対性理論という新しい力学が出現したのです．しかし，運動する速度があまり大きくない物体の運動，たとえば，人工衛星の運動ではニュートン力学は実にうまくあい，相対性理論を使う必要はまずありません．

　天体力学において，２つの物体まではニュートン力学によって解析的な計算を行うことができ，互いに引力を及ぼしあっている二つの物体は楕円，放物線，双曲線のうちのいずれかの軌道になることが証明されています．例えば，地球から打ち上げた人工衛星の初速が秒速７．９ｋｍ（第１宇宙速度）のとき円，それ以上で秒速１１．２ｋｍ（第２宇宙速度）以下のとき地球を焦点とする楕円，秒速１１．２ｋｍのとき放物線，それより速いときは双曲線を描くといった具合です．放物線軌道，双曲線軌道になると地球の重力圏を脱出し，もう地球に戻ってくることはありません．これらの曲線は円錐を異なる平面で切ることで得られる一群の曲線，すなわち円錐曲線で，天文学において重要な役割を果たすことになり，力学と幾何学の間には美しい調和が存在していることになります．

　ニュートンは２つの天体の間の運動方程式（微分方程式）を積分することによって解き，安定な周期解となることを導き出しました．この解がケプラーの法則です．次に，３つの天体間の運動方程式，すなわち３体問題（例えば，地球と太陽と木星しかない宇宙で，これら３つの星の運行を決める）に関心が移ってくるのは当然のことでしょう．ところが，天体の数が３つになると複雑でお手上げになることをご存じでしょうか．

　ニュートンの後継者たちは，物体が３つ以上ある系についても運動方程式を積分して解くことを試みたのですが，結局，積分不能で行き詰まってしまいました．３体問題の運動方程式を書くのは容易ですが，それを解くのは非常に難しく，方程式を正確に解く公式をどうしても見つけられなかったのです．

　２体問題は可積分であるのに対し，３体問題の技術的な困難は，ニュートンから２世紀以上経てもなお完全な答えは見つからなかったのですが，１９世紀末から２０世紀初頭にかけて，ポアンカレは３体問題を積分法で解くことは不可能であることを証明しています．

　３体問題は可積分でないという不存在証明が微分方程式論など数学に与えた影響は大きなものがあります．数学は数学内部から影響で進展するとともに，物理学，天文学，力学の強い外部的影響のもとで，関連しながら発展してきましたが，ヒルベルトは，ポアンカレを議長とする１９００年の国際数学者会議で「数学の諸問題」という講演を行っています．

　ヒルベルトのあげた２３の問題は数学のほとんど全分野にわたっていて，彼自身の研究と密接に関連しています．そのなかで，数学の発展をもたらした問題の例として，最速降下線の問題，フェルマーの問題，三体問題，正多面体の問題，代数関数論におけるヤコビの逆問題をあげていますが，フェルマーの問題がまったく純粋な思考の産物であるのに対して，三体問題は天文学上の必要性から生じたもので好対照をなしています．

　二体問題の運動方程式はニュートンによって解かれ，その解はよく知られたケプラーの法則になります．ケプラーの法則では，すべての惑星はどれも太陽を１つの焦点とする同心楕円上を運行し，地球は永久にその楕円軌道を保ちながら太陽の周りを回り続ける周期軌道をとります．このように，二体の系においては軌道が安定するのですが，その系にもう一つ惑星をつけ加えると地球はもはや時計仕掛けのように正確で不変な軌道を保つことができず，カオス的にゆらぎ，ゆがめられてしまいます．３体問題は可積分でないばかりかカオスをも生ずるのです．

　この問題は天体がそれ以上になるとさらに難しくなります．実際の惑星の運動は，太陽と惑星との二体問題ではなく，他の惑星の重力の影響も絡み合った多体問題になります．太陽系は太陽と９つの惑星が月や小惑星，彗星を伴って運動している大家族・大惑星系であり，その相互作用はかなり複雑となってしまうのです．

　１８８７年頃，最後の万能数学者と呼ばれたフランスの数学者ポアンカレは「すべての惑星は現在の軌道とほとんど同じ軌道上を今後も運動し続けるのだろうか．それとも，太陽系外に飛び去ってしまったり，太陽に衝突する惑星もあるのだろうか．」という太陽系の安定性について研究していました．

　ポアンカレによってスタートした力学系の研究から，多体問題の運動方程式を解くことは極めて難しいことが知られていて，周期的なものだけでなくで，不規則で予測できないもの－－－たとえば有界ではあるが周期的でない軌道や無限軌道－－－が現れることが証明されています．したがって，実際の惑星の運動はケプラーの法則が厳密には成立しないため，非常に複雑な運動になることがわかっていて，３つというごく少数の物体を記述する微分方程式を解くことさえ非常にむずかしく，その軌道計算は簡単には解けないのです．

　それに対するポアンカレの考え方は微分方程式の定量的な厳密解を求めることをあきらめ，微分方程式の解の大域的性質を幾何学的に研究すること，すなわち，解があるかないか，周期的かどうか，構造安定かどうかだけの定性的性質を調べるという位相幾何学的なものでした．現在，式の形でうまく解けなかった３体問題の微分方程式を数値的に解き，それをアニメーションの形で見ることができるようになりましたが，それでもまだ完全な解答には到達しておらず，近似的な結論ですが，「太陽系は安定か」という問いに対しては，大体周期的になる配置と惑星がさまよう出すような配置とが紙一重の差で混ざり合っているという答えが与えられています．

　力学系の理論はもともと太陽系の運動を研究するところから出発したのですが，天文学に限らず，素粒子物理学の世界でも事情は同じで，素粒子の数が３つ以上になるとやはり解析的な計算は困難になり，コンピュータを使った近似計算に頼ることになります．しかし，さらに複雑な系ではコンピュータ処理にも適用限界があり，間違った相互作用仮説に基づいて解析すると当然のことながら誤った結論を導くことになるので注意が必要です．場合によってはまったく間違った結果を導く可能性があり，相互作用をどう仮定し，多体問題をどう処理したかによって，いろいろな方程式が提唱されているというのが現状です．

　微分方程式において，「解が存在する」ことと「解が解析的に求まる」ということは意味が違う．また，偏微分方程式と常微分方程式では，事情が異なっている．

　常微分方程式では，解は常に存在する．しかし，解析な解が求まる場合は限られている．大学初年程度で教わる微分方程式はこの範疇にある．解析的に解が求まらない常微分方程式でも，解の挙動を理論的に解明することができる．この場合，解の挙動を調べたうえで，数値計算で近似解を求めることになる．

　偏微分方程式の場合，事情が異なる．偏微分方程式の場合，古典的な意味での微分可能な関数だけを扱っていたのではらちがあかない．超関数の空間で解の存在などを論じたうえで，古典解の存在を証明しなければならない．偏微分方程式の場合，本当に解の存在しないような方程式が存在するのである．

　また，物理学などで現れる方程式でも，超関数解のみの存在が証明されているが，古典解の存在が証明されていないケースもある．偏微分方程式の場合，解が解析的に求まるケースは，常微分の場合よりも稀である．

　ニュートン力学は「ある時刻での宇宙のあらゆる情報が与えられれば未来はすべて計算できる．」，「世界全体を複雑で巨大な時計仕掛けとみなし，この仕組みを完全に知れば今から世の終わりまですべて見通せるはずである．」という決定論的思想・古典力学的自然観を生み出しました．しかし，実際には三つの天体の運動でさえ誰も予見できないのです．

　１９世紀後半のフランスの数学者ポアンカレは力学系理論の創始者・先駆者として名を知られ，その業績は数学や物理にコミットし深くて広いものがあります．ポアンカレは太陽系の運動に関する研究に関連してトポロジーを開発するとともに，もっとも単純な３体問題ですら厳密解が存在せず，力学系の理論は複雑極まりない軌道が現れる病理的（パソロジカル）な性質をもつことを証明しています．

　ポアンカレは太陽系の安定性に関する議論の中で解の安定性神話の崩壊ともいうべき複雑な現象＜カオス＞を指摘しましたが，太陽系のカオスはとても小さくあたかも解は安定で，コンピュータもなかった当時は目に見える形では示せなかったためほとんど注意を払われることはありませんでした．１９世紀の電子計算機がなかった時代に，米国のニューカムは海王星までの８個の惑星系の安定性を調べるのための八元連立一次方程式の固有値問題を解くのに１０年以上かかったといわれていますから，カオス現象を垣間みていたポアンカレは「心眼」でそれを見ていたということになります．

　ポアンカレによって，簡単な決定論的方程式に従う対象でも未来予測が不可能なことがあることが指摘されたことにより，決定論的プロセスと非決定論的プロセスとの境目はなくなり，決定論と非決定論という二分法は意味を失い，もはや成立しないものになりました．

　この事実は決定論的自然観に変革をもたらすものであり，新たに誕生した非決定論的自然観の中からハイゼンベルクの不確定性原理や物質本体の確率論的解釈をもとにした量子力学的自然観が登場します．ニュートン力学の不満な点を克服するのが統計力学や量子力学であり，これがやがて新しい突破口にもなっていくのですが，今日では，ニュートン的な考え方では捉えきれない非線形現象，カオス現象，フラクタルな現象などがさまざまな分野で発見されており，非線形現象を解析する数学の確立と進展が要請されています．決定論は神話に過ぎず，原則的に自然はカオティックであるのです．