６９１・ベルヌーイ数・保型形式

となる．ここでＢnはｎ番目のベルヌーイ数を指していて，ベルヌーイ数の最初のいくつかを書くと，

となる．Ｂ5，Ｂ7のは１となったのに対して，Ｂ6の分子は６９１となり，６で割り切れないことに注目してほしい．

に現れる素数６９１の数論的性質についての興味深い解説をみつけた．今回のコラムではあちこち寄り道しながら６９１の数論的性質を紹介したいと思う．

　フェルマーの問題『ｘ^n＋ｙ^n＝ｚ^nでｎ≧３のとき，ｘ，ｙ，ｚは正の整数解をもたない．』は，ｎ＝１のときにはｘ＋ｙ＝ｚという単なる足し算ですから，ｘとｙにどんな自然数を入れても自然数ｚは必ず存在します．ｎ＝２の場合はピタゴラス方程式：ｘ^2＋ｙ^2＝ｚ^2ですから，解は無限にあることがわかります．ｎ＝４の場合は，フェルマー自身が無限降下法という一種の背理法を用いて０と１の中間に整数が存在するという矛盾を導き出すことによって証明が与えられました．

　指数が３以上のフェルマー方程式については，ｎ＝３の場合はオイラー（１７７０年），ｎ＝５の場合はディリクレとルジャンドル（１８２５年），ｎ＝７の場合はラメ（１８３９年）によって証明が与えられ，それ以上のｎについては素数の場合だけを調べればよいのですが，初等的な方法では手続きが急速に複雑になって行き詰まりこれ以上進むことに限界がありました．

　個々のｎに対して攻略する時代はこれで終わり，あとは一般的なｎに対する攻略の道筋にまったく新しい方向性と理論を見いだす必要があったのですが，最大のブレークスルーは１８５１年，クンマーによってなされました．

　　(3)Ｑ（ζp）の類数がｐで割れなければ，ｘ^p＋ｙ^p＝ｚ^pを満たす自然数ｘ，ｙ，ｚは存在しない

　正則素数ｐはＢp-3 までのベルヌーイ数Ｂk の分子を割り切ることのできない素数として定義されていて，クンマーの定理によって正則素数であるすべてのｎに対してフェルマー予想が成立すること，たとえば，１００以下の非正則素数は３７，５９，６７ですべてですから，この３つの数以外では１００までのｎに対してフェルマー予想が正しいことが証明されたことになります．

　非正則素数は無限に多く存在し，６９１も非正則素数のひとつです．そして，クンマーの定理を精密化したもの（詳しく正確にいったもの）は岩澤理論と呼ばれています．

によって定義される有理数で，ｘ／（ｅｘｐ(x)－１）は数列｛Ｂn｝の指数型母関数になっています．」と書かれている場合は，奇数番目を飛ばさずに定義されているため，Ｂ1＝－１／２で，

は偶関数ですから，奇数項は第一項以外は０で，偶数項はＢ2＝１／６，Ｂ4＝－１／３０，Ｂ6＝１／４２，Ｂ8＝－１／３０，Ｂ10＝５／６６，Ｂ12＝－６９１／２７３０，Ｂ14＝７／６，Ｂ16＝－３６１７／５１０，Ｂ18＝４３８６７／７９８，・・・

　あとは分子が急速に大きくなり，たとえば，Ｂ32＝－７７０９３２１０４１２１７／５１０，Ｂ34＝２５７７６８７８５８３６７／６です．分母は必ず６で割り切れます．数論の本では，ベルヌーイ数の定義としてこれを採用しているものが多いのですが，この場合，よく知られた公式は，

に自然数解のないことはクンマーの定理からは証明できません．６９１は非正則素数６９１であり，ζ(12)／π^12の分子が６９１で割り切れるからです．

　また，このことは円分体Ｑ（ζ691）の類数が６９１で割り切れることを示しているのですが，６９１に対して，１２の方は保型形式の重みと関係しています．以下，保型形式について簡単に述べてみます．

　ヤコビの公式を経て，数論はラマヌジャンの保型形式論の時代（２４乗の場合）に突入します．オイラー数（オイラーの分割数）

すなわち，Π(1-x^n)^(-1)は分割数p(n)の母関数なのですが，それと同様にして，ラマヌジャン数が定義できます．

　無限積をベキ級数に展開した式（フーリエ展開）が登場しましたが，このΔ(z)は，重さ１２の保型形式

　このようにフーリエ係数がｎに関して乗法的性質をもつ保型形式は，ヘッケ固有形式と呼ばれるものなのですが，ここでも６９１が現れていることに注意して下さい．

の離散化ともみることができますが，この式はコラム「プランク分布と量子化の概念」で紹介したプランク分布（Bose-Einstein統計）そのものです．

　また，ラマヌジャンはラマヌジャン数のゼータについて考え，ある予想をたてました．ラマヌジャン数のゼータ，すなわち，

　ラマヌジャン数のゼータは，歴史上最初の２次のゼータといえるのですが，新種のゼータに関するこの予想は，翌年，モーデルによって証明されました（１９１７年）．

　また，τ(p)はｐが増加するとき，急激に増加するのですが，１９７４年，ドリーニュによって，ラマヌジャン予想（ハッセの定理のアナローグ），

が証明されています．ラマヌジャン予想はギリギリの予想であって，たとえばｐの指数を１１／２＝５．５からちょっと小さくして５．４９９としたとすると，｜τ(p)｜＜２ｐ^5.499とはならない素数ｐが存在するのです．

を予想しています．この予想は，１９５４年，アイヒラーが楕円曲線：ｙ^2＋ｙ＝ｘ^3－ｘ^2のゼータ関数と保型形式：F(z)=qΠ(1-q^n)^2(1-q^11n)^2のゼータ関数が，すべての素数に対して一致することを示すことによって解決されました（アイヒラー・井草）．

　アイヒラーが示したラマヌジャン予想「解析的ゼータ＝代数的ゼータ」は，ゼータの統一の先駆けであったのですが，これは谷山予想（谷山・志村・ヴェイユ予想）の特別な場合であって，「Ｑ上の任意の楕円曲線のＬ級数は重さ２の保型形式のヘッケＬ級数に等しい」という谷山予想は最近ワイルズらによって解かれました．

　すなわち，ラマヌジャン予想・谷山予想は，ワイルズのフェルマー予想の証明（１９９５年）に至る大きなステップであって，２０世紀の数論の原動力として重要な役割を果たしたといえるのです．また，オイラーの五角数定理は，左辺がイータ関数，右辺がテータ関数と呼ばれる保型形式の原型を与えていたので，１９世紀には，

　ＳＬ（２，Ｚ）群上，最も単純な（基本的・古典的）保型形式は重さｋのアイゼンシュタイン級数

　この保型性の定義は周期性f(x+1)=f(x)を含むので，任意の保型形式はq=exp(2πiz)とするフーリエ展開のもち，

とも表されます．これらはすべてのσk(n)を教えてくれる母関数であり，それが保型性を示しているという事実が，モジュラー関数は深淵といわれる所以です．

を構成しました．ｊ（ｚ）は最も簡単でよく知られているＳＬ（２，Ｚ）不変な保型関数で，ｑ＝ｅｘｐ（２πｉｚ）とおくと，

　　　　＝１／ｑ＋７４４＋１９６８８４ｑ＋２１４９３７６０ｑ^2＋８６４２９９９７０ｑ^3＋・・・

　ところで，１９７３年，イギリスのケンブリッジ大学で誕生し，コンウェイによりモンスターと命名・愛称された散在型有限単純群モンスターを線形群の中に埋め込むとすると，最低でも１９６８８３次の行列ＧＬ（１９６８８３，Ｒ）が必要になります．

となるのですが，ｊ関数のｑ展開に現れる係数１９６８８４とモンスター群の既約表現の最小次数１９６８８３がほとんど等しいことに注目すると，ｑ，ｑ^2，ｑ^3等の係数は

のようにモンスターの既約表現の簡単な線形結合となっていることを見いだされました．これは単なる偶然の一致なのでしょうか？

　ムーンシャイン予想の出発点の出発点であるマッカイ・トンプソン予想，コンウェイ・ノートン予想には，このような不思議な事実がたくさん収集されています．しかし，後にボーチャーズが，現代物理学の弦理論にその原点をもつヴィラソロ代数（頂点作用素代数）を用いることによって，これは単なる偶然の一致ではなく，そこに何か真実が隠されていることをつきとめます．

　ボーチャーズはその功績によりフィールズ賞を受賞するのですが，さらに，ボーチャーズは一般化されたカッツ・ムーディー・リー代数を導入して，マクドナルド恒等式を導いた論法を適用することにより，分母公式は

となることを示しました．この等式は１９世紀のデデキントのイータ関数の変形のようでもあり，ヤコビの３重積公式

　これにより，ムーンシャイン予想の一応の解決となったわけですが，ムーンシャイン予想は保型関数論のように古典的なものでもあり，また，物理学の弦理論のように新しいものでもあったというわけです．

　ゼータ関数の世界は，保型形式や代数幾何学と結びついて広大な世界を形成しているのですが，１９８７年にウィッテンにより，素粒子の超弦理論はアデール理論として捉えられたことにより，最近では素粒子の超弦理論との関連も研究されています．さらに，ベルヌーイ数とは何の関係のなさそうに見える微分トポロジーとも関連性が示されています．

　どんなＢn／ｎの約数にもならない素数は正則素数と呼ばれるのですが，与えられた素数ｐの正則性を確かめるためには，クンマーの合同式により，

について，Ｂnの分子を調べればよいことになります．１８５０年，クンマーはどんなＢn／ｎの分子の約数にもならない素数（正則素数）をベキ指数とする場合に，フェルマーの最終定理を証明して以来，正則素数の判定にも顔を出す興味深い数となりました．

　Ｂn／ｎを既約分数で表したときの分母を求めることは，１８４０年，クラウセンとフォン・シュタウトの定理により，厳密に求めることが容易になったのですが，Ｂn／ｎの分子はｎに対して急激に増加するため，計算はずっと難しかしくなります．

のオーダーとなりますから，ｎ＞πｅ＝８．５３９・・・のとき，分子は急激に大きくなることが示されます．

　この分子の値は，平行化可能な多様体の境界となるエキゾチック（４ｎ－１）次元球面の微分同相からなる群が，位数

の巡回群であることから，微分トポロジーの研究者の注意を引くものとなっていたのですが，・・・

という具合に変数を増やしていくだけですから，そこには本質的な違いは生じないような気がします．

　ところが，ある次元を境にして奇妙なことが起こることが知られています．奇妙なことというのは，米国の数学者ミルナーが発見した７次元球面（８次元球の表面）では，微分同型写像で互いに移ることができない孤立した微分構造が２８個もあるというものです（ミルナーの定理：１９５６年）．

　ミルナーはエキゾチックな球面Σ^7を構成し，それが通常の７次元球面Ｓ^7とは異なることを，ヒルツェブルフの指数定理を用いて証明しました．Ｍ^8の交点行列の指数は８であるが，微分同相であると仮定すると７で割り切れなければならず，背理法でミルナーの主張がいえるのです．

　結局，Ｂ7の分子が７で割り切れることが，ミルナーがエキゾチック球面の証明に用いた方法に繋がったのですが，ミルナーの定理は微分トポロジーにおける定理であり，一方，ベルヌーイ数は主に数論の世界で用いられる定数であって，意外なものが顔を出すところに，ベルヌーイ数の奥深さが感じられます．

　通常の微分構造が球面を除いた２７個はエキゾチックな球面と呼ばれます．「７次元球面には８次元ユークリッド空間の単位球面とは異なる微分構造が入る」といっても，これだけでは何が何だか意味不明ですが，Σ^7とＳ^7は位相同型であっても微分同相にならない，すなわち，なめらかさの構造がまったく異なるというのです．

　しかし，微分構造とか微分同型写像とかの意味はよくはわからなくても，ミルナーの発見が衝撃的な事実であることはすぐに理解できます．われわれは，微分という言葉を何気なく使っていますが，微分が１種類とは限らないというのは直観に反していて実に驚くべきことであり，当時，ほとんどだれも予想し得なかったことだからです．ミルナーはこの業績でフィールズ賞を受けました．

と同型になるのですが，ｎ＝８ではこの情勢が覆り同型ではなくなります．このように，微分構造に関しては次元に関する制約がでてくるので，７次元以上では本質的に異なっていると考えられるのです．トポロジーは曲げたり伸ばしたりの連続変形を施しても変わらないようなもの（＝位相不変量）を研究するのですが，空間の性質は，次元が変わるごとに劇的といってよいほど変わります．しかし，それは単にオイラー標数の話だけでなく，そこにはもっと深い幾何学的な事情があったのです．

　ベルヌーイ数が整数論にとって欠かすことができない存在なのは，ゼータ関数との関係にその理由があり，リーマンのゼータ関数

を求めるために１７１３年に考案されたものですが，次のようなベキ級数展開に現れる係数として定義されます．

　母関数は，整数の性質を調べるのにベキ級数の問題（関数論）に翻訳することによって答えを見つけることができる強力な発見手段となっているのですが，これらの式はベルヌーイ数の別の形の母関数表示を与えているものと考えられ，実際，数論的に面白い性質を証明するのに利用することができます．

　この展開式は，ベルヌーイ数の別の形の母関数表示を与えています．すなわち，三角関数の展開公式にもベルヌーイ数がでてくるのですが，三角関数（円関数）を楕円関数に置き換えても，展開係数はベルヌーイ数と似たような数論的性質をもってくることが予想されます．

とおくことにしましょう．これはレムニスケート積分と呼ばれるものですが，2ωがレムニスケートの全長です．すなわち，レムニスケート積分は周期2ωをもつことがわかります．円に類比すると，レムニスケートの定数ωは円に対するπと同じ役割を演じていることになります．

　さらにまた，レムニスケートには円に共通する性質があり，定規とコンパスだけで奇数のｎ等分することができる必要十分条件は，ｎがフェルマー素数（ｎ＝２2^m＋１の形の素数：３，５，１７，２５７，６５５３７）であることです．

　このような考え方は三角関数についての現象を一般化するときの常套手段となっているのですが，その展開係数がフルヴィッツ数Ｈnです．三角関数の場合のベルヌーイ数

　ａがｘ^2＝２の解ならばａ＝２／ａが成り立ちます．ａがいくらか不正確，たとえば過小評価であるならば，２／ａは過大評価となります．過小評価と過大評価の中間（算術平均）はａと２／ａのいずれよりもよい評価となります．

によって定義される数列は√2に収束することになります．この場合，２の平方根をニュートン法x:=x-f(x)/f'(x)で求めるのと同じことになります．ニュートン法の幾何学的意味は「初期値ｘ0における関数の勾配を求めて，接線とｘ軸の交点を求める．この点において，同様の作業を行うとｘは順次解に近づいていく．」と解釈されます．

「２数ａ0 ，ｂ0 をとり，それらの算術平均ａ1 ＝（ａ0 ＋ｂ0 ）／２，幾何平均ｂ1 ＝√ａ0 ｂ0 を計算する．次に，ａ1 ，ｂ1 の算術平均と幾何平均を計算し，ａ2 ＝（ａ1 ＋ｂ1 ）／２，ｂ2 ＝√ａ1 ｂ1 とする．すると，ａn とｂn は急速に同じ極限Ｍ（ａ，ｂ）に到達する．」

と繰り返す算法を算術幾何平均法と呼びます．ラグランジュ，ガウス，ルジャンドルは１８世紀に算術幾何平均を熟知していたようです．ガウス・ルジャンドルの算術幾何平均法では，反復のたびに有効数字は２倍になりますから，数値計算アルゴリズムの強力な武器となりえます．

　楕円積分の二重周期は算術幾何平均法を使って計算されます．実際，東京大学の金田康正氏のグループは楕円積分の計算と関係した算術幾何平均法を用いて円周率πの計算の世界記録を樹立しました．その計算量はＯ（ｎｌｏｇｎ）となり，計算能率はtan^(-1)（ｘ）の展開公式Ｏ（ｎ^2）よりも格段に優れています．円周率πの計算や巨大な素数の発見はコンピュータシステムの信頼性や処理速度といった性能をテストするのに最適ということです．