回転円（半径ｒ）が固定円（半径Ｒ）に接して滑ることなく転がっていくとき，回転円の周上の点の軌跡を考えます．回転円が固定円に外接するとき，その軌跡をエピサイクロイド，内接するとき，ハイポサイクロイドと呼びます．

　

　Ｒ／ｒ比が無理数ならば，回転円上の１点ａが固定円上の１点ｂと接した後，円が永久に転がり続けたとしても，両者は再び接することはありませんが，有理数ならば有限回の回転の後再び接します．

　

　整数ならば，ちょうど１回転後に再び接することになりますが，Ｒ＝ｎｒ（ｎは自然数）の場合，エピサイクロイドは

　　ｘ＝（ｎ＋１）ｒｃｏｓθ−ｒｃｏｓ（ｎ＋１）θ

　　ｙ＝（ｎ＋１）ｒｓｉｎθ−ｒｓｉｎ（ｎ＋１）θ

で与えられます．たとえば，固定円と回転円の半径が等しい場合（ｎ＝１），エピサイクロイドは心臓型曲線（カージオイド）を描きます．

　

　また，ハイポサイクロイドは

　　ｘ＝（ｎ−１）ｒｃｏｓθ＋ｒｃｏｓ（ｎ−１）θ

　　ｙ＝（ｎ−１）ｒｓｉｎθ−ｒｓｉｎ（ｎ−１）θ

で与えられます．

　

　今回のコラムでは，テーマにアステロイド（星形曲線）を取り上げますが，アステロイドは，固定円の半径が回転円の半径の４倍（ｎ＝４）になっているハイポサイクロイドです．エピサイクロイドとハイポサイクロイドの基礎的な事項を述べたあと，３次元アステロイドの表面積の問題，デルトイドと掛谷の問題について紹介したいと思います．

　

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（１）代数曲線

　

　ｒ＝１として，直交座標系におけるこの曲線の方程式を求めてみましょう．

　

　エピサイクロイドでは，

カージオイド：ｆ（ｘ，ｙ）＝（ｘ2＋ｙ2）2−６（ｘ2＋ｙ2）＋８ｘ−３＝０

ネフロイド：　ｆ（ｘ，ｙ）＝（ｘ2＋ｙ2）3−１２（ｘ2＋ｙ2）2＋４８ｘ2−６０ｙ2−６４＝０

　

　ハイポサイクロイドは，ｎ＝２のとき，

　　ｆ（ｘ，ｙ）＝ｙ　　　−２≦ｘ≦２

すなわち，固定円の直径と一致します．直径は２つの尖点をもっていて，その両端は退化した２つの尖点とみなすことができます．

　

デルトイド：　ｆ（ｘ，ｙ）＝（ｘ2＋ｙ2）2＋１８（ｘ2＋ｙ2）−８ｘ（ｘ2−３ｙ2）−２７＝０

アステロイド：ｆ（ｘ，ｙ）＝（ｘ2＋ｙ2）3−４８（ｘ2＋ｙ2）2＋４３２ｘ2ｙ2＋７６８（ｘ2＋ｙ2）−４０９６＝０

　

　いずれも簡単な形にはなりませんが，アステロイドでは

　　ｘ＝３ｒｃｏｓθ＋ｒｃｏｓ３θ

　　ｙ＝３ｒｓｉｎθ−ｒｓｉｎ３θ

　また，３倍角の公式

　　ｃｏｓ３θ＝４ｃｏｓ^3θ−３ｃｏｓθ

　　ｓｉｎ３θ＝３ｓｉｎθ−４ｓｉｎ^3θ

を用いると

　　ｘ＝４ｒｃｏｓ^3θ

　　ｙ＝４ｒｓｉｎ^3θ

より

　　ｘ2/3 ＋ｙ2/3 ＝（４ｒ）2/3＝ａ2/3

を得ることができます．ｒ＝１では，

　　ｘ2/3 ＋ｙ2/3 ＝４2/3

と表すことができるますが，このほうが一般的でしょう．

　

　ここで，

　　ｃｏｓθ＝（１−ｔ2）／（１＋ｔ2）

　　ｓｉｎθ＝２ｔ／（１＋ｔ2）

と表せば，エピサイクロイド，ハイポサイクロドは，サイクロイド

　　ｘ＝ｒ（θ−ｓｉｎθ）

　　ｙ＝ｒ（１−ｃｏｓθ）

とは異なり，代数曲線であることがわかます．

　

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（２）直線族の包絡線

　

　エピサイクロイド（カージオイド，ネフロイドなど），ハイポサイクロド（デルトイド，アステロイドなど）には，直線族の包絡線であるという共通の性質が知られています．

　

　たとえば，アステロイドは長さ４ｒの棒の両端をｘ軸，ｙ軸にのせながら動かしたときの包絡線となっています．「アステロイド：ｘ2/3 ＋ｙ2/3 ＝ａ2/3 において曲線状の任意の点における接線がｘ軸，ｙ軸と交わる点をそれぞれＡ，ＢとすればＡＢ＝ａであることを証明せよ．」は高校の教科書にも取り上げられていて，ご存知の方も多いでしょうが，その逆問題「曲線上の任意の点における接線のｘ軸，ｙ軸とで切り取られる部分の長さが一定であるような曲線を求めよ．（クレローの微分方程式）」を取り上げたものは少ないようです．この微分方程式は簡単に解けて，アステロイドという解曲線が得られます．

　

　デルトイドは３つの尖点をもつ図形ですが，「デルトイドの接線が曲線に挟まれる部分の長さは一定である．」という性質があります．これは，デルトイドでは長さ４ｒの棒をデルトイドに接しながら１回転することができるというのと同一です．→（掛谷の問題）

　

　また，ネフロイドは平行光線が円の内側で反射されるときの包絡線，カージオイドは光が周上の１点から発して円周で反射されたときにできる包絡線であることがわかっています．

　

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（３）３次元アステロイドの表面積

　

　アステロイドを拡張する方向としては，ひとつには次元を増すこと，もうひとつは尖点数を変えることが考えられます．アステロイドの次元を増すと，３次元アステロイド

　　ｘ2/3 ＋ｙ2/3 ＋ｚ2/3 ＝ａ2/3

となりますが，この図形は６つの尖点を持っています．

　

　ところで，アステロイドの表面積はなかなか解けない問題として，悪名高いものです．ベータ関数を除いてはせいぜい初等関数がでてくるだけなのに，置換積分を何度も行っているうちに，そのつど係数が長くなってしまい，前途多難．−−−計算の原理は難しくはなく，私も解決に至るシナリオ，ストーリーはわかっているのですが，いくら手計算しても「解析学大要」養賢堂と答えが合いません．

　

　具体的な計算の方法までわかっているのに，答えが合わない．計算というのは不可解なものです．そこで，話を２次元アステロイド

　　ｘ2/3 ＋ｙ2/3 ＝ａ2/3

に戻して，その周長Ｌ・面積Ａ・回転体の表面積Ｓ・回転体の体積Ｖを計算してみましょう

　

　　Ｌ＝∫｛１＋（ｙ’）^2｝^1/2ｄｘ

　　Ａ＝∫ｙｄｘ

　　Ｓ＝２π∫ｙ｛１＋（ｙ’）^2｝^1/2ｄｘ

　　Ｖ＝π∫ｙ^2ｄｘ

　

　これらの積分は，

　　ｘ＝ａｃｏｓ^3θ

　　ｙ＝ａｓｉｎ^3θ

とパラメトライズすることによって，いずれも

　　∫ｓｉｎ^mθｃｏｓ^nθｄθ

に帰着します．この積分は，一般には，ベータ関数

　　Ｂ（ｘ，ｙ）＝２∫(0-π/2)ｓｉｎ^(2x-1)θｃｏｓ^(2y-1)θｄθ

　　　　　　　　＝∫(0-1)ｔ^x（１−ｔ）^yｄｔ

ですが，例えば

　　∫ｓｉｎ^4θｃｏｓθｄθ＝ｓｉｎ^5θ／５＋Ｃ

のように高校レベルで解けるものもあります．

　

　計算の結果，

　　Ｌ＝６ａ

　　Ａ＝３／８πａ^2

　　Ｓ＝１２／５πａ^2

　　Ｖ＝３２／１０５πａ^3

が得られました．ただし，この数値は筆者が数式処理ソフトを用いずに，手計算で求めた値ですから，信頼率はかなり低いと思われます．読者諸賢の検算をお願いいたします．

　

【問】デルトイド

　　ｘ＝２ｒｃｏｓθ＋ｒｃｏｓ２θ

　　ｙ＝２ｒｓｉｎθ−ｒｓｉｎ２θ

の面積を求めよ．　　（答）２πｒ^2→（掛谷の問題）

　

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　さて，一般に，多次元ユークリッド空間の点（x1,x2,x3,･･･,xn）は，ｒ＞０，０≦θ1,θ2,･･･,θn-2≦π，０≦θn-1≦２πを満たすｒ,θ1,θ2,･･･,θn-1によって，

　　ｘ1＝ｒｃｏｓθ1

　　ｘ2＝ｒｓｉｎθ1ｃｏｓθ2

　　ｘ3＝ｒｓｉｎθ1ｓｉｎθ2ｃｏｓθ3

　　・・・・・・・・・・・・・・・・・・・

　　ｘn-1＝ｒｓｉｎθ1ｓｉｎθ2・・・ｓｉｎθn-2ｃｏｓθn-1

　　ｘn　＝ｒｓｉｎθ1ｓｉｎθ2・・・ｓｉｎθn-2ｓｉｎθn-1

と表すことができます．ただし，ｎ＝２のときは，周知のとおり，

　　ｘ1＝ｒｃｏｓθ1

　　ｘ2＝ｒｓｉｎθ1

とします．（ｒ,θ1,θ2,･･･,θn-1）がｎ次元極座標です．また，そのときヤコビアンD(x1,･･･,xn)/D(r,θ1,･･･,θn-1)は

　　ｒ^(n-1)sin^(n-2)θ1･･･sin^2θn-3sinθn-2

となります．

　

　円周上の座標は，

　　ｘ＝ｒｃｏｓθ

　　ｙ＝ｒｓｉｎθ

と表され，２次元アステロイドでは，

　　ｘ＝ｒｃｏｓ^3θ

　　ｙ＝ｒｓｉｎ^3θ

とパラメトライズしました．

　

　同様に，球面上の座標は

　　ｘ＝ｒｓｉｎθｃｏｓφ

　　ｙ＝ｒｓｉｎθｓｉｎφ

　　ｚ＝ｒｃｏｓθ

で定まります．　したがって，３次元アステロイドでは

　　ｘ＝ｒｓｉｎ^3θｃｏｓ^3φ

　　ｙ＝ｒｓｉｎ^3θｓｉｎ^3φ

　　ｚ＝ｒｃｏｓ^3θ

と変数変換して，これをもとにヤコビアンを求め，

　　Ｓ＝∫∫｛１＋（∂ｚ／∂ｘ）^2＋（∂ｚ／∂ｙ）^2｝^1/2ｄｘｄｙ

の置換積分を繰り返すことになります．

　

　　Ｊ1＝Ｄ（ｘ，ｙ）／Ｄ（θ，φ）

　　Ｊ2＝Ｄ（ｙ，ｚ）／Ｄ（θ，φ）

　　Ｊ3＝Ｄ（ｚ，ｘ）／Ｄ（θ，φ）

とおくと

　　∂ｚ／∂ｘ＝−Ｊ2／Ｊ1

　　∂ｚ／∂ｙ＝−Ｊ3／Ｊ1

より，

　　Ｓ＝∫∫｛Ｊ1^2＋Ｊ2^2＋Ｊ3^2｝^1/2ｄθｄφ

　

　その際，

ａ）φに関する積分をｃｏｓ^2φ＝ｕと置換して先に計算する．

ｂ）その結果生ずるθの積分のうち，逆三角関数を含む項ではｓｉｎ^2θ＝ｖと置換してから部分積分し，あらゆる無理関数を有理関数化する．

と「解析学大要」養賢堂には指示されています．また，答は

　　Ｓ＝１７／１２πａ^2

とあります．

　

　私は大量の計算用紙を浪費したあげく，この答えを出すことを断念しました．すなわち，この問題はマイ未解決問題のひとつなので，手計算で答えを出した読者諸賢に対しては敬意を表したいと思います．一方，次の問題は簡単に解けました．

　

【問】３次元アステロイドの体積

　　Ｖ＝∫∫ｚｄｘｄｙ

を求めよ．　　（答）４／３５πｒ^3

　

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（４）デルトイドと掛谷の問題

　

　アストロイドの尖点数を減らすと，３つの尖点をもつ図形：デルトイドが得られます．デルトイドは掛谷の問題の答として予想されていた図形として，よく知られています．

　

　１９１７年，日本の数学者掛谷宗一は「長さが１である線分を１回転させるのに必要な最小面積の図形は何か」という問題（掛谷の問題）を提出しました．この問題は多くの予想を生み出しました．

　

（例１）線分ＡＢをＡの回り１８０°回転した半円：面積π／２

（例２）ＡＢを中点Ｏの回りに３６０°回転した円：面積π／４

（例３）ルーローの三角形（正三角形の各頂点を中心として他の２頂点を通る円弧を描いてできる図形）：面積（π−√３）／２

（例４）高さが１の正三角形：面積√３／３

　

　ところが，これらより面積が小さい図形が考えられました．デルトイドでは長さ４ｒの棒をデルトイドに接しながら１回転することができるのですが，したがって，

　

（例５）直径３／２の円を固定しておいて，その円に直径１／２の円を内接させて転がしたときにできるデルトイド：面積π／８

　

　掛谷自身，π／８が最小値であると予想しましたし，多くの数学者も答はデルトイドではないかと予想していました．ところが驚いたことに，１９２７年，ベシコビッチによって「前後を方向転換できるいくらでも面積の小さい図形を作ることができる」ことが証明されたのです．

　

　ハンドルを細かく切り返すジグザグ運動を続けることで，１ｋｍの長さの針でも，切手１枚分の面積の図形の中で頭と尻尾を逆に方向転換できるというのですから，ベシコビッチの証明は直観に反しています．常識ではとても受け入れられものではありませんが，多くの数学者にとっても予想が裏切られる結果になりましたから，その驚きはいかに大きかったであろうかと推察されます．

　

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