「方積問題」とは正方形をすべて異なる大きさの正方形で敷き詰める問題のことですが，この問題はどのようにすれば解けるのでしょうか？ 敷き詰める正方形の大きさと配置の候補があまりにも多すぎて，あらゆる可能性を試すことさえ不可能に感じられます．
長方形の正方形分割に対して，正方形を相異なる正方形に分割することは非常に難しい問題であって，一時は不可能であるとさえ考えられていたようです．何か系統だった方法が必要になるのですが，実はうまい方法がわかっていて，それは電気回路の理論を使うものです．
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【１】方積問題
１９０９年，モロンによって３３×３２の長方形を９枚の正方形（１，４，７，８，９１０，１４，１５，１８）で，６５×４７の長方形を１０枚の正方形（３，５，６１１，１７，１９，２２，２３，２４，２５）で敷き詰めました．
また，１９３９年，スプレーグが５５枚の正方形で正方形を敷き詰める例を見つだしました．しかし，この例では５５枚の異なる正方形が使われたのですが，内部に正方形を敷き詰めた長方形部分が含まれているため「純粋配置」ではありませんでした．
ブルックスが１１２×７５の長方形を１３枚の正方形を使い，２通りに敷き詰める配置を発見したことがきっかけとなって，１９４０年，ブルックス，スミス，ストーン，テュッテは正方形に正方形を敷き詰める系統だった手法を確立させました．
その方法（スミス・ネットワーク）はデーンの定理を電気回路とみなしてキルヒホッフの法則とオームの法則に帰着させて鮮やかに証明したものでした．この方法を用いて，ブルックスは正方形に６９枚の正方形を敷き詰める配置を発表し，さらに検討を加えて正方形の数を３９枚に減らしました．
１９４８年にウィルコックスは２４枚の正方形を使って正方形をを作る方法を見つけました．１９６２年，デゥイヴェスチジンは正方形に正方形を敷き詰めるのに少なくても２１枚の正方形が必要なことを証明し，１９７８年までに
５０，２９，３３，２５，４，３７，３５，１５，９，１６，２，７，１７，１８，４２，１１，６，２７，８，２４，１９
の２１個の正方形からなる単純（分断線ができないこと）かつ完全（分割を構成する正方形がすべて異なる大きさであること）な正方形分割が最小かつ唯一（他には存在しない）のものであることを証明しました．完成サイズは１１２×１１２．こうして方積問題解決されたわけのです．
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【２】方積問題の拡張
類似の問題，たとえば円筒やメビウスの帯，トーラス，クラインの壷，射影平面に正方形を敷き詰める問題も存在します．メビウスの帯では１９９３年，チャップマンにより発見された５枚の正方形を使う配置が最小のものであるとのことですが，射影平面に正方形を敷き詰める問題になると実質的に何もわかっていない状態だそうです．
（Ｑ）整数サイズのタイル（１，２，３，４，・・・）を１枚ずつ使って，無限の広さの平面を隙間なく敷き詰めることは可能だろうか？
（Ａ）難しい問題であるが，２００８年にヘンレが可能であることを証明した．
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【３】リュカの箱詰め問題
この節では類似の問題として，辺が相続く整数列１，２，３，４，５，・・・の大きさの異なる正方形による正方形充填問題について考えてみることにします．
１^2＋２^2＋３^2＋・・・＋２４^2＝２４（２４＋１）（２・２４＋１）／６＝７０^2
は，最初の２４個の平方数の合計が平方数になっているという面白い式です．驚異的ですらあります．
級数の公式：Σｋ^2＝ｎ（ｎ＋１）（２ｎ＋１）／６をご存じの方も多いでしょうが，１からｎまでの平方の和が平方数となるのはｎが１か２４の場合しかありません．四面体数＝四角数あるいは２５平方の等式ともいうべきこの等式はリュカの問題（１８７３年）として知られています．
ｙ^2＝ｘ（ｘ＋１）（２ｘ＋１）／６の唯一自明でない整数解は（２４，７０）で，それ以外の自明な解がないことは楕円関数やペル方程式を使って証明されています．すなわち，１より大きい数でこれが起こるのは２４だけで，それ以外の数では決して最初の２個の平方の和は平方数にはならないのです．
この等式は辺の長さが相続く整数列１，２，・・・，２４の正方形を１辺の長さ７０の正方形の中に詰め込める可能性があることを示唆しています．それでは，実際に，７０×７０の正方形を辺が１から２４の相続く正方形によって埋めつくすことができるでしょうか．この問題の答えは否定的（不可能）です．１辺の長さ７の正方形を除くすべての正方形は詰め込めるのですが・・・．それならば，無駄な空間の割合を最小にして，辺の長さが１，２，・・・，ｎの正方形を全て詰め込むことができる最小の正方形の辺の長さはいくつでしょうか．また，相続く整数辺の正方形を使って長方形を充填できるでしょうか．
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【４】モーザーの箱詰め問題
［Ｑ１］縦，横それぞれ１／ｋ，１／（ｋ＋１）の長方形を単位正方形の中に詰め込むことができるか？
幾何学的に考慮すれば，級数Σ１／ｎ（ｎ＋１）は縦、横それぞれ１／ｋ，１／（ｋ＋１）の長方形を単位正方形の中に詰め込む問題になります．
級数Σ１／ｎ（ｎ＋１）は，優雅な公式Σ１／ｎ^2＝π^2／６に表面的にはよく類似していますが，
Σ１／ｎ（ｎ＋１）＝Σ（１／ｎ−１／（ｎ＋１））
＝（１−１／２）＋（１／２−１／３）＋（１／３−１／４）＋・・・
＝１
となり，両者の間には大きな格調の差があるという有名な例になっています．
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［Ｑ２］１辺の長さが１／２，１／３，１／４，・・・の正方形を１辺の長さが√（π^2／６−１）の正方形の中に詰め込むことができるか？
オイラーのゼータ関数ζ（２）＝Σ１／ｎ^2＝π^2／６を幾何学的に考慮すれば，１辺の長さが１／２，１／３，１／４，・・・の正方形を１辺の長さが√（π^2／６−１）の正方形の中に詰め込む問題になります．
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［Ｑ３］１辺の長さが１／３，１／５，１／７，・・・の正方形を１辺の長さが√（π^2／８−１）の正方形の中に詰め込むことができるか？
オイラーのゼータ関数Σ１／（２ｎ＋１）^2＝π^2／８を幾何学的に考慮すれば，１辺の長さが１，１／３，１／５，１／７，・・・の正方形を１辺の長さが√（π^2／８−１）の正方形の中に詰め込む問題になります．
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Ｑ１に関しては辺長５０１／５００の正方形に詰め込めることが証明されています．また，Ｑ３に関しては面積
（１／３＋１／５）（１／３＋１／９）＝３２／１３５
の長方形に詰め込めることが示されています．
以上の同趣向の３つの問題はいまだに解かれていません．もし肯定的に解かれるならばそれ以上の改良はできないことは明らかです．しかしながら，以下の２つの問題は正確な結果が得られています．
［Ａ４］１辺の長さが１／２，１／３，１／４，・・・のすべての正方形を１辺の長さが５／６の正方形の中に詰め込むことができる．
［Ａ５］半径が１，１／２，１／３，１／４，・・・のすべての円を半径３／２の円の中に詰め込むことができる．
ところで，Ｑ２は１辺の長さが１，１／２，１／３，１／４，・・・の正方形を１辺の長さがπ／√６の正方形の中に詰め込む問題，Ｑ３は１辺の長さが１，１／３，１／５，１／７，・・・の正方形を１辺の長さがπ／√８の正方形の中に詰め込む問題と等価になるのでしょうか？
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