菱形のすべての稜は２方向，菱形六面体のすべての稜は３方向，菱形十二面体では４方向，菱形三十面体では６方向を向いているのですが，菱形二十面体では５方向，菱形十二面体（第２種）では４方向を向いています．一般にすべての稜がｎ方向を向くとき，面数はｆ＝ｎ（ｎ−１）となります．

　平行多角形のみで構成される多面体をゾーン多面体といいます．ゾーン多面体は無数にあるのですが，そのうち，ゾーン面は２枚ずつ増やせるので２（ｎ−１）面，天井面と床面はそれぞれ（ｎ−１）（ｎ−２）／２面で

　　２（ｎ−１）＋２（ｎ−１）（ｎ−２）／２＝ｎ（ｎ−１）

という構成になっています．

　　ｆ＝ｎ（ｎ−１）＝２，６，１２，２０，３０，４２，５６，・・・

　　ｅ＝２ｎ（ｎ−１）

　　ｖ＝ｎ（ｎ−１）＋２

　合同な菱形だけでできている菱形多面体では，最大１頂点に５つの角が集まることが可能でしたが，２種類以上の菱形でできている菱形多面体では，頂点に６つ以上の角が集まることも可能になります．菱形１３２面体（トランス型・シス型）は３種類の菱形（細い菱形４８枚，中間型３６枚，太った菱形４８枚）からなりますが，これら３種類の菱形は黄金・白銀菱形，黄金・白銀２乗菱形のどれに相当するのでしょうか．

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【１】ｎ次元立方体の投影

　０次元の点がまっすぐ動くと１次元の線分になる．１次元の線分が平面の上で自分と直角の方向に同じ長さだけ動くと，２次元の正方形になる．２次元の正方形が３次元空間の中で自分と直角方向に１辺の長さだけ動くと，３次元の立方体となる．この３次元立方体が４次元空間の中で自分と直角方向に１辺の長さだけ動くと，同じ大きさの８個の立方体からなる４次元の立方体（正８胞体）になる・・・．

　こうしてｎ次元立方体ができあがりますが，高次元空間の立方体（±１，±１，±１，・・・，±１）を２次元平面や３次元空間へ射影するとその投影図の稜線はかなり混み入ったものになります，そこで，必要な稜線だけを抽出すると菱形多面体が得られます．

　たとえば，菱形１２面体は４次元空間の立方体を３次元空間に射影して必要な稜線だけを抽出したものです．抽出の仕方を変えると正六角柱も得られます．同様に，菱形３０面体は６次元空間の立方体を３次元空間に射影したもの，菱形９０面体は１０次元空間の立方体を３次元空間に射影したもの，菱形１３２面体は１２次元空間の立方体を３次元空間に射影したものに相当する多面体です．

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【２】正２ｎ角形の菱形分割

　ｎ次元立方体［−１，１］^nを（１，１，１，・・・，１）方向の２次元平面に直投影すると，半径√ｎの円に内接する正２ｎ角形となります．このとき，正２ｎ角形は（ｎ，２）＝ｎ（ｎ−１）／２種類の菱形で満たされることになります．これは３次元空間への投影ですが，４次元空間への投影では（ｎ，３）種類の平行六面体で満たされることになります．

　また，正２ｎ角形は何種類かの菱形（正方形を含む）に分割することができます．たとえば，正方形は１種類の正方形，正六角形は１種類の菱形，正八角形は１種類の菱形と正方形，正十角形は２種類の菱形，正十二角形は２種類の菱形と正方形に分割することができます．

　その個数は（ｉπ／ｎ）＜π／２　　（ｉは整数）となるｎ個の菱形とさらにｎが偶数のときにはｎ／２個の正方形になります．たとえば，正十二角形の場合はπ／６菱形６個（幅の狭いもの），π／３菱形６個（中くらいの幅のもの），正方形３個に分解可能です．正十二角形の菱形分割の仕方は２通り以上ありますが，いずれのときでも菱形３種類をそれぞれ細めの菱形６個，太めの菱形６個，正方形３個を使います．

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【３】稜線抽出

　ｎ次元立方体は，

　　頂点数：　２^n，

　　稜数：　　２^(n-1)ｎ，

　　四角形数：２^(n-3)ｎ（ｎ−１）

からなっている．このうち，頂点は（±１，±１，・・・，±１）であるから，確かに２^n個あることがわかるだろう．ｎ次元立方体（正２ｎ胞体）では，各頂点のまわりにはｎ本の稜，ｎ（ｎ−１）／２本の正方形が集まっている．また，各稜のまわりにはｎ−１個の正方形が集まっている．

　ｎ次元立方体の各頂点からはｎ本の稜がでるのであるが，ｎ＝１２としてどのように稜線を抽出すれば菱形１３２面体が得られるのか，いまのところ，よいアイディアが浮かばない．今後の研究課題としたい．

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