正多面体，準正多面体，それらの複合多面体の中心から頂点に向かう基本ベクトルを使うと，正方形を含む菱形で覆われたゾノヘドロン（凸型ゾーン多面体を作ることができます．これらの立体は高次元空間から３次元空間への射影によって得られます．

　たとえば，菱形９０面体は１０次元空間の立方体を３次元空間に射影したもの，菱形１３２面体は１２次元空間の立方体を３次元空間に射影したものに相当する多面体です．今回のコラムでは菱形９０面体を計量してみることにします．

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【１】菱形９０面体の計量

　菱形９０面体は白銀菱形５枚からなるサクラの花を作り，それを正１２面体の各面に貼り合わせます．そして，正１２面体の各辺を黄金２乗菱形で覆った形をしています．そこで，

　　サクラの花の中心をＡ（０，０，ｈ）

　　白銀菱形の頂点をＢ（１／τ，０，ｈ／２）

　　正１２面体の正５角形面の頂点を

　　　Ｃ（τ／２，τ／２ｔａｎπ／５，０）

　　　Ｄ（τ／２，−τ／２ｔａｎπ／５，０）

とパラメトライズします．

　ピタゴラスの定理より，

　　ｈ＝√５−２

これより，

　　白銀菱形−白銀菱形間二面角は１６４．４７７°

　　白銀菱形−黄金２乗菱形間二面角は１５７．７６１°

になることが計算されます．

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【２】菱形多面体の頂点と二面角

　菱形の鋭角（acute）ｍ個と鈍角（obtuse）ｎ個が集まる頂点をａmｏnで表すことにすると，菱形の鋭角と鈍角の和は

　　ａ＋ｏ＝１８０°

ですから，頂点に４つ以上の鈍角が集まることは不可能です．頂点に集まる角がすべて鈍角である場合はｏ3で，菱形の鈍角が１２０°より小さいことが必要になります．

　ｏ＝１２０°（ａ＝６０°）の菱形では平面充填形となってしまいますから，ｏ3を有する菱形多面体の面は，正三角形を２個つなげた菱形（対角線の長さの比が１：√３）よりも太っていることが必要で，黄金比や１：√２の菱形などがその候補となるというわけです．

　また，この菱形（鋭角が６０°より大きい）が頂点に集まる角がすべて鋭角である場合は最大１頂点に５枚ですから，ａ3またはａ4またはａ5ということになります．また，鈍角と鋭角が混ざっている頂点がある場合，ａ＋ｏ＝１８０°ですから，ａ1ｏ1，ａ2ｏ2は存在し得ず，ａ3ｏ1，ａ2ｏ1，ａ1ｏ2のみが可能となります．

　実際には

　　扁長菱面体：ａ3＝２，ａ1ｏ2＝６

　　扁平菱面体：ａ2ｏ1＝６，ｏ3＝２

　　菱形十二面体：ａ4＝６，ｏ3＝８

　　菱形十二面体（第２種）：ａ4＝２，ａ3ｏ1＝４，ａ1ｏ2＝４，ｏ3＝４

　　菱形二十面体：ａ5＝２，ａ3ｏ1＝１０，ｏ3＝１０

　　菱形三十面体：ａ5＝１２，ｏ3＝２０

のようになっています．

　菱形三十面体からあるゾーン（菱形の連なった帯）を抜き取って押しつぶすと菱形二十面体，菱形二十面体からあるゾーンを抜くと菱形十二面体（第２種）になるので，これらは各面の対角線の長さの比が黄金比の菱形からなる一連のゾーン多面体と考えることができます．菱形３０面体→菱形２０面体の過程でいくつかのａ5は保持されるのですが，菱形２０面体→菱形１２面体（第２種）の過程ですべて消失してしまいます．そして，４個のｏ3だけが最後まで遺残します．

　　　　　　　黄金菱面体　　　　白銀菱面体　　　　

　　頂角 63.4350 70.5288

　　ａ3 72 75.5227

　　ａ2ｏ1 36,144 60,120

　　ａ1ｏ2 72,108 75.5227,104.477

　　ｏ3 144 120

　　ａ4 112.456 120

　　ａ3ｏ1 108,144 ×(124.101,144.16)

　　ａ5 144 ×(164.477)

　ａ3とａ1ｏ2，ｏ3とａ2ｏ1では同じ二面角が出現していますが，黄金菱面体ではさらにａ5とａ3ｏ1，ｏ3，ａ2ｏ1が同じになります．

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