「正６００胞体に正５胞体が含まれる」としたのは，私の早とちりであった．頂点の関係から，６種類の４次元正多胞体の包含関係（巡礼）をまとめると，

　　正１６胞体≦正８胞体≦正２４胞体≦正６００胞体≦正１２０胞体

　　正５胞体≦正１２０胞体

となる．すなわち，正１２０胞体の頂点をうまくとると，他の正５，８，１６，２４，６００胞体をすべて作ることができる．その意味で，正１２０胞体は４次元の「万有正多面体」である．

　これまでの検討で４次元空間の正多胞体では≧２と下限だけが与えられている（もちろん上限は６である）．今回のコラムでは，頂点による包含関係が確定したところで，４次元正多胞体の元素を構成することにしたい．

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【１】直角５胞体（right penta）

　４次元直角５胞体の各頂点の座標を

　　（０，０，０，０）

　　（２，０，０，０）

　　（０，２，０，０）

　　（０，０，２，０）

　　（０，０，０，２）

とおき，ＲＰ（right penta）と呼ぶことにする．このＲＰ２^4＝１６個で１辺の長さ２√２の正１６胞体ができる．また，ＲＰ４！＝２４個の体積は１辺の長さ２の正８胞体（体積：２^4＝１６）と等しくなるから，ＲＰの体積は２／３である．

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【２】正８胞体と正１６胞体

　正８胞体は１６頂点（±１，±１，±１，±１）を結んでできる．正１６胞体を構成するひとつの方法として，正８胞体の中心からひとつおきの頂点を結んだベクトルをとると，４本のベクトル（１，１，１，１），（１，１，−１，−１），（１，−１，１−，１），（１，−１，−１，１）は互いに直交し，長さは２すなわちもとの正８胞体の１辺の長さに等しい．この４頂点と中心に対する４頂点の合計８頂点±（１，１，１，１），±（１，１，−１，−１），±（１，−１，１，−１），±（１，−１，−１，１）は互いに直交する４本の軸上にあるから，正１６胞体をなすことになる．この正１６胞体の１辺の長さは２√２であるから，１６個のＲＰよりなり，体積は３２／３であることがわかる．

　正８胞体の残りの８頂点は±（−１，１，１，１），±（−１，１，−１，−１），±（−１，−１，１，−１），±（−１，−１，−１，１）であるが，たとえば，ベクトルの始点を（−１，１，１，１），終点を±（１，１，１，１），±（１，１，−１，−１），±（１，−１，１，−１），±（１，−１，−１，１）にとると，正８胞体から正１６胞体を取り除いた部分にＲＰ（−２，０，０，０），（０，−２，０，０），（０，０，−２，０），（０，０，０，−２）を構成することができる．このとき，８個のＲＰが構成できることは，

　　（１６−３２／３）／（２／３）＝８

からも確かめることができる．

　すなわち，３次元の立方体では８個の頂点をひとつおきに４個のright tetraをとると正四面体ができるが，４次元の特殊性として正８胞体では８個のright pentaをとると正１６胞体ができ，正８胞体は２４個のＲＰから構成されるというわけである．なお，この操作によって３次元では正四面体，４次元では正１６胞体になったが，５次元以上の空間では正多面体にならず，１種の準正多面体になる．

［注］正８胞体の双対では正８胞体の各胞の中心をとり，それらを頂点として結べば正１６胞体になるが，この場合，ＲＰとの相似比が１／２の図形（０，０，０，０），（１，０，０，０），（０，１，０，０），（０，０，１，０），（０，０，０，１）ができてしまう．しかし，この図形を２^4＝１６個積み重ねてもＲＰにはならないだろう．

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【３】正２４胞体

　正２４胞体の頂点の座標は

　　（±１，±１，±１，±１）・・・正８胞体の頂点

　　（±２，０，０，０），（０，±２，０，０），（０，０，±２，０），（０，０，０，±２）・・・正１６胞体の頂点

の２４点である．３次元空間で立方体の８頂点（±１，±１，±１）と正八面体の６頂点（±２，０，０），（０，±２，０），（０，０，±２）を結ぶと菱形１２面体ができるから，正２４胞体は３次元の菱形１２面体の４次元版と見ることができる．４次元ではその特殊性から本当に正多面体になるわけである．

　ここで（２，０，０，０）を頂点，（１，±１，±１，±１）を底とする「立方体錐」を考える．頂点と底面の頂点を結ぶベクトルをとると

　　（−１，−１，−１，−１），（−１，−１，１，１），（−１，１，−１，１），（−１，１，１，−１）

は互いに直交し長さは２，また，

　　（−１，１，１，１），（−１，１，−１，−１），（−１，−１，１，−１），（−１，−１，−１，１）

も互いに直交し長さは２であるから，「立方体錐」は２個のＲＰからなることがわかる．正２４胞体は正８胞体分２４個＋立方体錐分２×８個＝４０個のＲＰから構成されるというわけである．

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【３】正６００胞体

　正６００胞体の頂点の座標は，正２４胞体の頂点（±１，±１，±１，±１），（±２，０，０，０），（０，±２，０，０），（０，０，±２，０），（０，０，０，±２）の置換２４点とねじれ２４胞体の頂点（±τ，±１，±１／τ，０）の偶置換９６点で与えられる．

　（±τ，±１，±１／τ，０）は正８胞体の面の中心またはその双対として正１６胞体の辺の中点（±１，±１，０，０）をτ倍した（±τ，±τ，０，０）を１：τに黄金分割したものである．３次元の正八面体の各辺を黄金分割した１２点をとると，正２０面体の頂点になるが，この操作を正２４胞体の各胞（正八面体）に施すと１２０個の正四面体に囲まれた準正多面体ができ，正６００胞体はこの図形から作ることができるというわけである．

　この操作は３次元の場合でいえばright tetraをβとγに分割する操作に相当する．したがって，正６００胞体単独でひとつの元素とみなしても同じことである．

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【４】正５胞体と正１２０胞体

　正６００胞体は正２４胞体のroofをなすが，正１２０胞体は正６００胞体のroofをなすと同時に，正５胞体のroofもなす．３次元の場合でいえばδが２個あるようなもので，正５胞体と正１２０胞体をそれぞれ単独でひとつの元素とみなしても同じことである．

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【５】まとめ

　４種類の元素（ＲＰ，正５胞体，正６００胞体，正１２０胞体）があればすべての４次元正多胞体を構成できることを示しました．ここで行った構成法はbest possibleと考えられ，４次元正多胞体をどのように分割し，接合しても元素数は４より減らせそうにないことから

　　［予想］４次元正多胞体の元素数は４である．

と予想されます．

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【６】雑感

　　正１６胞体≦正８胞体≦正２４胞体≦正６００胞体≦正１２０胞体

　　正５胞体≦正１２０胞体

　頂点の包含関係だけならば４次元正多胞体の中で正５胞体は何か異端児である．ただし，辺心や面心にはいろいろの包含関係がありそうである．たとえば，正８胞体の２４枚の面の中心および正１６胞体の２４本の辺の中心はいずれも正２４胞体をなす．もちろん，各正多胞体の胞の中心はそれと双対な正多胞体になる．

　また，各辺の中点を結んだ図形は３次元の立方八面体や２０・１２面体のような準正多胞体になる．正５胞体の辺の中点を結ぶと１０頂点，３０辺，３０面，１０胞（５個ずつ正四面体と正八面体）というおもしろい立体ができるが，この種の４次元の準正多胞体はまだよくわかっていない点が多くある．ともあれ，４次元の図形は直接眼に見えないだけに扱いにくい点があるが，逆に意外におもしろい関係がありそうである．

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