（その１）（その２）の計算において，パラメータの値がずれていたので訂正しておきます．

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【１】フェルマー素数

　　Ｆn＝２^(2^n)＋１

の形の素数をフェルマー素数といいます．Ｆ0＝３，Ｆ1＝５，Ｆ2＝１７，Ｆ3＝２５７，Ｆ4＝６５５３７２５７は素数であることがわかります．

　３，５，１７が素数であることは明らかですが，たとえば，２５７については√２５７＝１６．０３・・・ですから，これより小さい素数２，３，５，７，１３が２５７を割らないことを確かめればよいことになりますし，６５５３７２５７については，√６５５３７２５７＝２５６．０・・・ですから，今度は２，３，５，・・・，２３３，２３９，２４１，２５１と５５個の素数で６５５３７２５７を割らないことを確かめます．

　フェルマーはこの型の数がすべて素数だと勘違いしていて必ず素数を与える式として考え出されたのですが，ｎ＝５であっけなく破綻してしまいました．

　　Ｆ5＝２^(2^5)＋１＝４２９４９６７２９７＝６４１×６７００４１７

　この間違いを発見したのはフェルマーから約１００年後のオイラーです．彼は約数６４１をたまたまあてずっぽうでみつけたのでも，２，３，５，７，・・・と割っていって執念で見つけたのでもありません．オイラーはＦnが合成数であるならば，それはあるｋに対してｋ・２^(n+2)＋１であることを知っていて，Ｆ5の中の因数６４１＝５・２^7＋１を見つけたのです（１７３２年）．

　ベネットは，実際に割り算することなしにこのことを確認しています．すなわち，

　　６４１＝５^4＋２^4＝５・２^7＋１

　　２^28（５^4＋２^4）／６４１＝２^28　（余り０）

　　（（５・２^7）^4−１）／６４１＝（５・２^7−１）（（５・２^7）^2＋１）　（余り０）

したがって，２^28（５^4＋２^4）−（（５・２^7）^4−１）＝２^32＋１も６４１で割り切れる．

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【２】オイラーとフェルマー素数

　Ｆnが合成数であるならば，素因数はあるｋに対してｋ・２^(n+2)＋１であることを認めると

　　ｐ｜Ｆ5ならば２^7｜ｐ−１

すなわち，ｐ＝１＋ｋ・２^7の形でなければならないことがわかります．ｋに１〜５まで入れると

　　　　ｋ　　　１＋ｋ・２^7　　　素数

　　　　１　　　　　１２９　　　　×

　　　　２　　　　　２５７　　　　○

　　　　３　　　　　３８５　　　　×

　　　　４　　　　　５１３　　　　×

　　　　５　　　　　６４１　　　　○

　ここで得られた素数２５７，６４１の中から，Ｆ5＝４２９４９６７２９７を割るものを探すと６４１が最初のものであることがわかります．このことから

　　Ｆ5＝４２９４９６７２９７＝６４１×６７００４１７

　　　 ＝（５・２^7＋１）（５２３４７・２^7＋１）

と分解されＦ5が素数でないことが証明されます（１７３２年）．

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【３】ランドリーとフェルマー素数

　　Ｆ5＝４２９４９６７２９７＝６４１×６７００４１７

　　　 ＝（５・２^7＋１）（５２３４７・２^7＋１）

のように，フェルマー数の素因数はすべてｋ・２^(n+2)＋１の形に表されます．

　１８８０年，ランドリーは（８２才という高齢にもかかわらず）

　　Ｆ6＝２７４１７７×６７２８０４２１３１０７２１

　　　 ＝（１０７１・２^8＋１）（２６２８１４１４５７４８・２^8＋１）

となることを示しました．

　オイラーの場合と同様に，ｋに１〜１０まで入れると

　　　　ｋ　　　１＋ｋ・２^8　　　素数

　　　　１　　　　　２５７　　　　○

　　　　２　　　　　５１３　　　　×

　　　　３　　　　　７６９　　　　○

　　　　４　　　　１０２５　　　　×

　　　　５　　　　１２８１　　　　×

　　　　６　　　　１５３７　　　　×

　　　　７　　　　１７９３　　　　×

　　　　８　　　　２０４９　　　　×

　　　　９　　　　２３０５　　　　×

　　　１０　　　　２５６１　　　　×

となります．

　素数の割合は次第に小さくなりますが，

　　２７４１７７＝１０７１・２^8＋１　　　（ｋ＝１０７１）

までこのような作業を続けることは容易ではありませんし，素因数２７４１７７が決して直観でわかるものではないことも理解されます．

　ランドリーがオイラーの1732年にやった方法を踏襲したとはとても思えないのですが，どうやってやったのかまったく予想がつきません．それで，ランドリーがとった戦略がいかなるものか調べてみたのですが，1880年に素因数が判明と記載されているだけで方法までは載っておらず，結局，わからずじまいでした．

　それに対して，１９０９年，モアヘッドとウェスタンはＦnが３^(Ｆn-1)/2＋１を割り切るとき（そしてそのときに限り）フェルマー素数となること用いて，Ｆ7，Ｆ8が合成数であることを示しました．

　　Ｆ7＝（１１６５０３１０３７６４６４３・２^9＋１）（１１１４１９７１０９５０８８１１４２６８５・２^8＋１）

　　Ｆ8＝（６０４９４４５１４２７７・２^11＋１）（ｋ・２^11＋１）

　　ｋは５９桁の数

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