コラム「デーン不変量と二面角の幾何学（その２１）」では，３次元空間での回転を記述する試みの中から，四元数を導入した．たとえば，

　　ω＝（１＋ｉ＋ｊ＋ｋ）／２

は，

　　ω^2＝（−１＋ｉ＋ｊ＋ｋ）／２

　　ω^3＝−１

　　ω^4＝−（１＋ｉ＋ｊ＋ｋ）／２

　　ω^5＝（１−ｉ−ｊ−ｋ）／２

　　ω^6＝１

より１の原始６乗根であり，ωは４次元空間内の６０°回転に対応していることになる．しかし，これにはいくつか問題点があることが阪本ひろむ氏より指摘された．

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［１］四元数環は非可環なので，ｑ^nはwell-definedではない．とりあえず，

　　ｑ^n＝ｑ・ｑ^(n-1)

と再帰的に定義するが，

　　ｑ^n＝ｑ^(n-1)・ｑ

という定義も成立する（こちらのほうがよいかも）

［２］ｑ＝ｘ＋ｙｉ＋ｚｊ＋ｗｋ，ｑ^3＝１をｘ，ｙについて解く（ｚ，ｗについては解けないし，ｘ，ｙ，ｚ，ｗについて解くと冗長になる）．根は

　　ｘ＝±１／２，ｙ＝±（３／４−ｚ^2−ｗ^2）^1/2

と複雑になってしまう．一般のｑ^n＝１に対する根の式はもっと複雑で，使いものにならないだろう．

［３］ｑ＝±１，ｑ＝±ｉ，ｑ＝±ｊ，ｑ＝±ｋ，

　　ｑ＝（±１±ｉ±ｊ±ｋ）／２

の２４個が１の約数である単数（単位四元数）である．この単数全体は原点を中心とする正２４胞体をなす．

［４］単数について，

　　ｑ^n＝ｑ・ｑ^(n-1)＝１

となるｑのリストを作ると，

１）ｎ＝２のとき

　　ｑ＝±１の２個，ｑ＝−１は１の原始２乗根

２）ｎ＝３のとき

　　ｑ＝１，ｑ＝（−１±ｉ±ｊ±ｋ）／２の９個，ｑ＝（−１±ｉ±ｊ±ｋ）／２は１の原始３乗根

３）ｎ＝４のとき

　　ｑ＝±１，ｑ＝±ｉ，ｑ＝±ｊ，ｑ＝±ｋの８個，ｑ＝±ｉ，ｑ＝±ｊ，ｑ＝±ｋは１の原始４乗根

４）ｎ＝５のとき

　　ｑ＝１の１個

５）ｎ＝６のとき

　　ｑ＝±１，ｑ＝（±１±ｉ±ｊ±ｋ）／２の１８個，ｑ＝（１±ｉ±ｊ±ｋ）／２は１の原始６乗根

６）ｎ＝７のとき

　　ｑ＝１の１個

７）ｎ＝８のとき

　　ｑ＝±１，ｑ＝±ｉ，ｑ＝±ｊ，ｑ＝±ｋの８個

８）ｎ＝９のとき

　　ｑ＝１，ｑ＝（−１±ｉ±ｊ±ｋ）／２の９個

９）ｎ＝１０のとき

　　ｑ＝±１の２個

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［雑感］四元数では結合法則は成立するが，交換法則は成立せず，たとえば，

　　ｉｊ＝ｋ，ｊｉ＝−ｋ

である．そこで，阪本氏に

　　ｑ^n＝ｑ^(n-1)・ｑ

と定義した場合の計算をお願いしたところ，差異はなかった．

　結局，mathematicaでは同じものの積を計算しているので，積に関する非可環性は問題にならないということだろう．

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