４次元正１２０胞体の６００個の頂点の座標は

　　（±２，±２，０，０），（±√５，±１，±１，±１），（±τ，±τ，±τ，±１／τ^2），（±τ^2，±１／τ，±１／τ，±１／τ）の置換と（±τ^2，±１／τ^2，±１，０），（±√５，±１／τ，±τ，０），（±２，±１，±τ，±１／τ）の偶置換で与えられる．

　正６００胞体の頂点の座標は

　　（±１，±１，±１，±１），（±２，０，０，０），（０，±２，０，０），（０，０，±２，０），（０，０，０，±２）の置換と（±τ，±１，±１／τ，０）の偶置換で与えられる．

　正１２０胞体の頂点をうまくとると，他の正５，８，１６，２４，６００胞体をすべて作ることができるのであるが，どのようにすれば頂点が整合するのであろうか？

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【１】正１２０胞体の伸縮と回転

　４次元正１２０胞体の６００個の頂点の座標

［０］（±２，±２，０，０），（±√５，±１，±１，±１），（±τ，±τ，±τ，±１／τ^2），（±τ^2，±１／τ，±１／τ，±１／τ）の置換と（±τ^2，±１／τ^2，±１，０），（±√５，±１／τ，±τ，０），（±２，±１，±τ，±１／τ）

を１／√２倍して回転すると，

［１］（±２，０，０，０）の置換

［２］（±τ，±１，±１／τ，０）の置換

［３］（±１，±１，±１，±１）の置換

［４］（√５／２，√５／２，√５／２，１／２），（τ^2／２，τ^2／２，√５／２τ，１／２τ），（σ／２，１／２τ，１／２τ，１／２τ），（τ√５／２，τ／２，１／２τ^2，１／２τ^2）およびこれに偶数個の負号をつけた点の置換

［５］（σ’／２，τ／２，τ／２，τ／２），（３／２，√５／２，１／２，１／２）およびこれに奇数個の負号をつけた点の置換にも表される．

　　σ＝（３√５＋１）／２，σ’＝（３√５−１）／２

　正６００胞体の頂点の座標は

　　（±１，±１，±１，±１），（±２，０，０，０），（０，±２，０，０），（０，０，±２，０），（０，０，０，±２）の置換と（±τ，±１，±１／τ，０）の偶置換で与えられる．［１］＋［２］＋［３］

　正２４胞体の頂点の座標は

　　（±１，±１，±１，±１），（±２，０，０，０），（０，±２，０，０），（０，０，±２，０），（０，０，０，±２）で与えられる．［１］＋［３］

　正８胞体は１６頂点（±１，±１，±１，±１），正１６胞体は８頂点（±２，０，０，０），（０，±２，０，０），（０，０，±２，０）（０，０，０，±１）を結んでできる．［３］，［１］

　したがって，正６００胞体の１２０個の頂点をうまくとると正８，１６，２４胞体を作ることができる．

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　つぎに，４次元正単体の頂点の座標を

　　（１，０，０，０）

　　（０，１，０，０）

　　（０，０，１，０）

　　（０，０，０，１）

としよう．これらの頂点間距離は√２である．これらの座標が与えられたとき，残りの１点の座標は

　　（ｘ，ｘ，ｘ，ｘ）

とすることができる．他の頂点との距離は√２であるから，

　　（ｘ−１）^2＋３ｘ^2＝２

すなわち，

　　４ｘ^2−２ｘ−１＝０

を満たさなければならないことより，

　　ｘ＝｛１−√５）｝／４

が得られる．

　５個の頂点：

　　Ｖ1（１，０，０，０）

　　Ｖ2（０，１，０，０）

　　Ｖ3（０，０，１，０）

　　Ｖ4（０，０，０，１）

　　Ｖ5（ｘ，ｘ，ｘ，ｘ）

の中心座標（体心）

　　（（ｘ＋１）／５，・・・，（ｘ＋１）／５）

を原点に移動させてから伸縮すると，

　　Ｖ1（−σ／２，１／２τ，１／２τ，１／２τ）

　　・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・

　　Ｖ5（１，１，１，１）

すなわち，正５胞体は（−σ／２，１／２τ，１／２τ，１／２τ），（１／２τ，−σ／２，１／２τ，１／２τ），（１／２τ，１／２τ，−σ／２，１／２τ），（１／２τ，１／２τ，１／２τ，−σ／２），（１，１，１，１）を結んでできる．［３］＋［４］

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【２】まとめ

　以上のようにして正１２０胞体の頂点をうまくとると，他の正５，８，１６，２４，６００胞体をすべて作ることができる．その意味で，正１２０胞体は４次元の「万有正多面体」である．３次元の正１２面体の頂点からは正４面体と立方体を作ることができるが，正８面体と正２０面体は面の中心を使わなければ作ることができないから，正１２０胞体ほど完全な万有正多面体ではないのである．

　なお，ここでは４次元正１２０胞体の６００個の頂点の座標を［１］〜［５］で始めたが，［０］から始めるとどうなっていただろうか？　正２４胞体の構成には他の方法もあり，頂点の座標が（±１，±１，０，０）を置換した２４点，すなわち（±１，±１，０，０），（±１，０，±１，０），（±１，０，０，±１），（０，±１，±１，０），（０，±１，０，±１），（０，０，±１，±１）で与えられる（±１の個数は２つ）ことがわかるだけで，４次元の「万有正多面体」であるがどうかはまったくわからない．

　すなわち，（その１４）（その１５）で与えた頂点座標には２系列あり，系列１（正１２０胞体，正２４胞体）と系列２（正６００胞体，正１６胞体，正８胞体，正５胞体）が混在していたことになる．

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