本稿では，中川宏さんと金原博昭さんによる結晶と準結晶に関する新発見をレポートしたい．要約を先にいうと，中川さんの発見はあるジョンソン・ザルガラー多面体を介することによって立方体（結晶）と正１２面体（準結晶）と正多角形面をもつ立体（ジョンソン・サルガラー立体）だけによる空間充填，金原さんの発見は結晶と準結晶の中間体となるカタラン立体の亜種を考えることによって，黄金比と白銀比に相補性を見いだしたというものである．
内容から考えると，中川さんの発見は「正方形と正五角形の幾何学」あるいは「立方体と正１２面体の幾何学」，金原さんの発見は「黄金菱形と白銀菱形の幾何学」あるいは「菱形１２面体と菱形３０面体の幾何学」という題が妥当であったかもしれない．しかし，２つの意外な帰結に注力したものであるから，「結晶と準結晶の幾何学」というタイトルでも成り立つのではないかと思う．
そこに込められた彼らの思いから，幾何学とは幼児が大好きなおもちゃで何時間も飽きることなく遊び続けるように無邪気に遊ぶことが大切だということが見えてくる．幾何学＝戯画学の本質とはアタマだけでなく，目耳鼻手を働かせて真剣の遊ぶことが研究なのである．
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【１】結晶と準結晶
互いに合同な正三角形，正方形，正六角形は，平面をタイル貼りのように隙間なく埋め尽くすことができる．このうち正方形は碁盤，正六角形は蜂の巣などでおなじみであろう．しかし，七角以上になるとどんな正ｎ角形でも平面充填はうまくいかなくなる．共通の頂点に集まる内角の和が３６０°にならないからだ．
それでは正五角形の場合はどうなるのか，平面上で正五角形を連結させてみよう．正五角形を１０枚丸く並べるとちょうどひとつの輪になり，正１０角形の隙間が残る（デューラー・パターン）．また，正五角形を５枚を星形５角形の隙間が残るように並べることもできる（ケプラー・パターン）．正１０角形の隙間に可能な限り正五角形を詰め込むと，菱形や星形５角形の隙間が残る非周期的な平面充填ができあがる（ペンローズ・パターン）．ともあれ平面上で正五角形を配列させるとどうしても隙間を生ずるのである．
要素を配置するときの規則によって周期的配置（結晶），乱雑配置，準結晶的配置の３種類に分類される．準結晶とは厳密な規則によって配列が一意に決定されるが，周期的ではない配置である．ここでは，１種類のブロックを「平行移動」させて空間を隙間なく埋め尽くすことができるものを「結晶」，隙間を残しながら配列させることのできるものを「準結晶」と呼ぶことにする（実はこれにはボロノイ細胞，ディリクレ細胞，ブルユアン帯，ウィグナー・ザイツ細胞，ティーセン図形など研究分野によりいろいろな呼び名が使われているため，ここでは結晶を用いることにした）．正三角形は平面充填形であるが回転が必要となるので結晶ではない．結晶の定義に合致するのは正方形，正六角形に限られ，正五角形は準結晶ということになる．
平行多面体を空間結晶と定義するが，空間結晶には本質的に立方体，６角柱，菱形１２面体，長菱形１２面体，切頂８面体の５種類しかないことが証明されている（フェドロフの平行多面体，１８８５年）．立方体や菱形１２面体は結晶であるが，正１２面体や菱形３０面体は準結晶である．
［補］５回対称性を示す結晶
３次元空間の敷き詰め＜結晶＞についてみていきましょう．結晶学の常識では，原子が周期的に配列した結晶物質では２重，３重，４重，６重の対称性しか許されないというのが鉄則・大前提になっていました．なぜ５重，７重，８重などの対称が結晶に存在し得ないかは正五角形は平面を埋めつくすことができないことから容易に理解されるところです．３次元では５回対称軸をもつ正五角形の役割を正１２面体や正２０面体が果たしますが，正五角形が平面充填形でないのと同様に正１２面体・正２０面体は空間充填形ではありません．
ところが，１９８４年に５重の対称性を示す物質（アルミニウムとマンガンの人工合金）がアメリカのシェヒトマンによって発見され，結晶学の根底は揺るがされ，この大前提は覆されました．それはあたかも誰かが５角形の雪の結晶を発見したような事件であったのです．この物質はペンローズのタイル貼りと密接に関係していて，ペンローズが始めた５重の対称性をもつ敷きつめを３次元空間に一般化したものであり，ある規則性をもちながら周期配列をしないことから，準周期的結晶，あるいは簡単に準結晶と呼ばれます．
その当時，結晶とアモルファスの両方の物質の状態を共有しそのどちらでもない新しい状態があると思っている人はごく少なかったのですが，この準結晶は両方の性質をもっています．準結晶は物質の性質を変化させ，多くの場合，物質を硬化させます．
［補］同じ形の多角形のタイルで床を敷き詰める場合を考えると分かりますが，それは５角形や７角形またはそれ以上の辺数の多角形ではあり得ない−−−と思われていたのですが，実際に，５回対称性を示すものには黄鉄鉱やフラーレンＣ60などがあります．また，ホウ素の単体の中には変わり種がたくさんあり，正２０面体上にホウ素原子が１２個ずつ結合したものがあるなど，５回対称性が自然界に実在する例が以前から知られていたのですが，それは例外であって，それまで知られていた結晶格子はすべて正四面体，立方体，正八面体から導かれていたのです．
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【２】正１２面体と立方体とＮ91による空間充填（中川宏）
正三角形面からなる多面体は無限にあるが，そのうち８つだけが凸である．８種類のうち３種類は正則であるが，ほかの５種類は正則ではない．同様に，正方形１種類では立方体のみ，正５角形１種類では正１２面体のみが得られ，正６角形以上の正多角形ばかりでは凸多面体はできない．結局，１種類の正多角形でできる凸多面体は合計１０種類あることになるが，１種類の正多面体を生み出すのは正方形と正五角形に限られる．このことは正方形と正五角形の特殊性のひとつと考えられる．
正方形面からなる立方体は結晶なので単独で空間充填可能であるが，正五角形面からなる正１２面体は準結晶なので空間内に配列させると，どうしても隙間が残ってしまう．ところが，つい最近，中川宏さんは正１２面体が加わった空間充填形を発見した．それをシンボリックに書くと
立方体（結晶）＋正１２面体（準結晶）＋ジョンソン・ザルガラー多面体Ｎ91→空間充填
正１２面体は黄金比に基づく立体であり，正１２面体が加わった空間充填形はこれまで発表されている空間充填形とは異なっている．おそらく新発見であると思われるが，中川さんの遊びの中で予想外のことが起こったのである．そのエピソードを紹介しよう．
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ジョンソン・ザルガラー多面体Ｎ91（３^8４^2５^4）は重月形重回転体として知られており，菱形１２面体と同じ２回回転対称性をもっている１４面体である．これはこれでなかなか趣きのある多面体である．ジョンソン・ザルガラー多面体のなかで一番美しいといってよいかもしれない．
どことなくβ１４面体に似ているということで，中川さんが積み木をしてみたところ，Ｎ91の正三角形面を合わせるように繋いでいくと，立方体と正十二面体の隙間が現れる．Ｎ91・立方体・正十二面体の３種類の立体を３：１：１で組み合わせると空間を隙間なく充填することができるのである．すなわち，Ｎ91は結晶（立方体）と準結晶（正１２面体）を結びつける役割をしているのであるが，水と油というまったく異質のものを結びつける石けんにたとえてもよいであろう．
平面では正五角形の配列による隙間を正１０角形や菱形・星形５角形で埋め尽くすことができる．デューラー，ケプラー，ペンローズはそのような正五角形の連結図を残しているが，中川さんはこの空間充填から逆に正方形と正五角形と１０角形からなる平面充填パターンを考案した（中川パターン）．
中川パターンでは，すべての正五角形が３つの正方形と隣り合い，すべての正方形が２つの正五角形と隣り合い，すべての１０角形が４枚の正五角形と６枚の正方形の辺で囲まれている．それに相当する空間版の中川パターンが正十二面体同士の隙間をＮ91と立方体で充填することだと考えることができよう．
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【３】黄金比と白銀比
金原さんの発見の話に移る前に，まずは基本的な事項のおさらいから・・・．１辺の長さが１の正多角形を考える．正三角形は対角線をもたないが，正六角形には長さ√３と２の２種類の対角線がある．対角線の長さが１種類なのは正方形の√２と正五角形の（１＋√５）／２に限られる（もうひとつの正方形と正五角形の特殊性）．
√２とφ＝（１＋√５）／２は１辺と対角線の長さの比である特別な値であって，それぞれ白銀比，黄金比と呼ばれている．つぎに縦横比が白銀比，黄金比の長方形を考える．白銀長方形を長辺を２等分するように２つ折りにすると，一回り小さな白銀長方形が現れる．このことから白銀長方形は紙のサイズの規格になっている．一方，黄金長方形から正方形を取り除くと一回り小さな黄金長方形が現れてくる．黄金長方形も自己再現型図形としてよく知られている．
この操作は無限に続けることができるが，このことは黄金比，白銀比がそれぞれ，無限級数
１＋１／φ＋１／φ^2＋１／φ^3＋１／φ^4＋・・・＝φ^2
１＋１／２＋１／２^2＋１／２^3＋１／２^4＋・・・＝２
無限連分数
φ＝［１：１，１，１，，１，・・・］
√２＝［１：２，２，２，２，・・・］
で表されることと同義である．
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［補］わが国の仏教寺院建築，たとえば大和の法隆寺は白銀比長方形の区画の上に建てられている．函館戦争で榎本武揚が立てこもった五稜郭には黄金比がみられるが，古代エジプトのピラミッドの底面の１辺の長さと高さの比や古代ギリシャのパルテノン神殿の外形にも黄金長方形が使われていることが知られている．
正六角形の場合，辺と対角線の長さの比は１：√３，１：２となる．１：２はドミノや日本の畳の形であるが，細長すぎて安定しない形といえるかもしれない．１：√３には白金比という呼び名もあるらしい．
１＋１／３＋１／３^2＋１／３^3＋１／３^4＋・・・＝３／２
√３＝［１：１，２，１，２，・・・］
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【４】３次元的な黄金比と白銀比（金原博昭）
菱形十二面体，菱形三十面体はいずれも準正多面体の双対ですから球に外接します（内接球をもちます）が，それ以外に共通点はないようにみえます．前者には立方体の性質が遺伝し，後者は正１２面体の性質を受け継いでいるからです．
ここで，金原博昭さんがちょっとした悪戯心で作った亜種多面体の中からの発見した性質を紹介することにします．金原さんは菱形十二面体の白銀菱形を黄金菱形で，菱形三十面体の黄金菱形を白銀菱形で置き換えることを思いつきました．この思いつきは結晶の準結晶化，準結晶の結晶化といい換えることができますが，結晶を準結晶化し，準結晶を結晶化することによってどのようなことが起こるのでしょうか？
いままで余り見たことのない多面体と思われるのもそのはず，それらは平面とはならず，菱形を対角線で折り曲げた空間４角形を構成します．そうしないと閉じた多面体にならないからです．実際の形は黄金比二等辺三角形２枚で置き換えた２４面体と菱形三十面体の黄金菱形を白銀比二等辺三角形２枚で置き換えた６０面体になりますが，各々，対角線で折り曲げる方向（mountain fold, valley fold）から２種類の多面体，
(1)黄金菱形を長軸で山折りにしたｍ２４面体
(2)黄金菱形を短軸で谷折りにしたｖ２４面体
(3)白銀菱形を長軸で谷折りにしたｖ６０面体
(4)白銀菱形を短軸で山折りにしたｍ６０面体
の計４種類ができます．
そして，おもしろいことに対角線の長軸方向で折り曲げられた２つの多面体(1)(3)において，ｍ２４面体の凸部はｖ６０面体の凹部にはぴったりはまりこみます．その部分の二面角δを計算してみると，
ｔａｎδ＝−２（√５−√２）／３
より１５１．２８１°となって，両者は完全に一致します．
すなわち，両者は相互補完的な関係にあることが判明したわけです．黄金比は西洋人に愛される形，白銀比は東洋人に好まれる形といわれますが，実際，黄金比と白銀比は対比されるばかりでこれまで接点が論じられたことがなかったように思われます．西洋的・東洋的の対比はともかく，このような相補関係は気づきにくく，おそらく初めての発見だと思われます．
結晶の準結晶化と準結晶の結晶化によって両者の二面角が一致しましたが，
(1)凹２４面体と凸６０面体でも二面角は一致しないこと
(2)凧型２４面体の黄金化と凧型６０面体の白銀化，５角２４面体の黄金化と５角６０面体の白銀化では二面角の一致は起こらないこと
より保持される頂点が関係していることは確かですが，それでも一致する真の理由はいまでもわからないままです．
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［補］対角線の長さの比がω＝（７＋√２−√５＋√１０）^1/2／２＝１．５２８１１の菱形を用いた凸２４面体，凹６０面体はぴったりはまりこみ，より空間充填に適した形になります．このとき二面角は
ｔａｎδ＝（−１＋√２＋√５−√１０）／２
より１６５．６４１°となります．ω＝１．５２８１１を白銅比あるいは青銅比という名で呼ぶことを提案したいと思います．
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