一種類の合同な正多面体による空間充填では立方体だけが空間充填形なのですが，もし２種類以上を使ってよければ，正四面体と正八面体の二面角が互いに補角ですから，両者を組み合わせて空間充填が可能になります．正多面体同士の組合せでは，正四面体と正八面体を組み合わせたものだけが空間を充填します．

　２種類以上の多面体による空間充填例は正四面体と正八面体の組み合わせ以外にもたくさん知られています．たとえば，切頂四面体と正四面体の組み合わせ，切頂立方体と正八面体の組み合わせ，切頂八面体と大菱形立方八面体と立方体の組み合わせ，小菱形立方八面体と立方八面体と立方体の組み合わせ等々．

　プラトン立体とアルキメデス立体による空間充填を分類してみましょう．

［１］プラトン立体のみによるもの・・・立方体，正四面体＋正八面体

［２］アルキメデス立体のみによるもの・・・切頂八面体，

［３］プラトン立体とアルキメデス立体の組み合わせによるもの・・・切頂四面体＋正四面体，切頂立方体＋正八面体，切頂八面体＋大菱形立方八面体＋立方体，小菱形立方八面体＋立方八面体＋立方体

［４］アルキメデス立体とアルキメデス角柱によるもの

［５］アルキメデス角柱のみによるもの

　今回のコラムでは，空間充填可能なジョンソン立体をいくつかピックアップしてみることにします．

［６］ジョンソン立体を含むもの

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　正八面体は２つの正四角錐（Ｊ1）にわけることができる．また，Ｊ1を立方体のひとつの面上に貼るとＪ8，または二つの反対側の面上に貼るとＪ15ができる．正三角錐を正三角柱のひとつの面上に貼るとＪ7，または二つの反対側の面上に貼るとＪ14ができる．したがって，Ｊ1＋正四面体，Ｊ8＋正四面体，Ｊ15＋正四面体，Ｊ1＋切頂立方体，Ｊ1＋立方八面体，Ｊ7＋正八面体などは空間充填可能となる．

　小菱形立方八面体の中央部分の八角柱を切り離し，上下の帽子（Ｊ4）を２つの異なるやり方で貼り合わせるとＪ28，Ｊ29を作ることができる．ここで，小菱形立方八面体について一言．もし上の帽子を４５°回転させると新しい図形Ｊ37を得ることができる．それは頂点（３，４，４，４）をもつ準正多面体（擬小菱形立方八面体，ミラーの多面体）であるが，１９３０年にやっと発見されている．あるいは，立方八面体を赤道部分で切り離し，上下の帽子（Ｊ3）をねじった形（Ｊ27）を得ることもできる．これより，Ｊ3＋正八面体，Ｊ3＋Ｊ1，Ｊ3＋Ｊ4＋立方体，Ｊ4＋正四面体，Ｊ4＋Ｊ1＋正四面体なども空間充填可能となる．

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　ついでにいうと，正三角柱を切断して側面が正方形の２つの正三角柱を作り，正方形面に沿ってねじって貼り合わせるとジョンソン多面体Ｊ26を得ます．この多面体も単一空間充填多面体として知られています．

　以上の多面体はアルキメデス立体やアルキメデス角柱に分解されるのですが，面正則多面体に切り分けることのできないジョンソン立体による空間充填も紹介しておきます．つい最近，中川宏さんはジョンソン・ザルガラー多面体Ｊ91が加わった空間充填を発見しました．Ｊ91は４個の正五角形面，２個の正方形面，８個の正三角形面をもつ双月形双円形体として知られており，菱形１２面体と同じ２回回転対称性をもっています．Ｊ91の正三角形面を合わせるように繋いでいくと，立方体と正十二面体の隙間が現れます．すなわち，Ｊ91・立方体・正十二面体の３種類の立体で空間充填することが可能であることがわかったのですが，これまで知られていなかった空間充填例が見つかったことは奇跡的といってもよいでしょう．

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