非常に単純だが，深淵な数学的発見が今日なお可能である一つの例として，平面充填や空間充填があげられる．平面充填の必要条件は一つの頂点の回りの内角の和が３６０°であるのに対し，空間充填では一辺の回りの二面角の和が３６０°となることである．
ここでは平行多面体（周期的空間充填多面体）の例をあげるが，平行移動のほかに回転や鏡映操作も許せば，さらに多くの多面体が空間充填可能となる．ちなみに現在は４≦ｆ≦３８であるすべてのｆに対し，空間充填可能な凸ｆ面体が存在することが判明している．さらにそれらに伸縮変形やねじり変形を加えたもの，曲面をもつ空間充填多面体，非周期的空間充填多面体なども知られている．
＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝
【１】複数の種類による空間充填例
一種類の合同な正多面体による空間充填では立方体だけが空間充填形なのですが，もし２種類以上を使ってよければ，正四面体と正八面体の二面角が互いに補角ですから，両者を組み合わせて空間充填が可能になります．正多面体同士の組合せでは，正四面体と正八面体を組み合わせたものだけが空間を充填します．
２種類以上の多面体による空間充填例は正四面体と正八面体の組み合わせ以外にもたくさん知られています．たとえば，切頂四面体と正四面体の組み合わせ，切頂立方体と正八面体の組み合わせ，立方八面体と正八面体の組み合わせ，切頂八面体と大菱形立方八面体と立方体の組み合わせ，小菱形立方八面体と立方八面体と立方体の組み合わせ等々．
プラトン立体とアルキメデス立体による空間充填を分類してみましょう．
［１］プラトン立体のみによるもの・・・立方体，正四面体＋正八面体
［２］アルキメデス立体のみによるもの・・・切頂八面体，
［３］プラトン立体とアルキメデス立体の組み合わせによるもの・・・切頂四面体＋正四面体，切頂立方体＋正八面体，切頂八面体＋大菱形立方八面体＋立方体，小菱形立方八面体＋立方八面体＋立方体
［４］アルキメデス立体とアルキメデス角柱によるもの
［５］アルキメデス角柱のみによるもの
つい最近，中川宏さんはジョンソン・ザルガラー多面体Ｊ91が加わった空間充填を発見しました．Ｊ91は４個の正五角形面，２個の正方形面，８個の正三角形面をもつ双月形双円形体として知られており，菱形１２面体と同じ２回回転対称性をもっています．Ｊ91の正三角形面を合わせるように繋いでいくと，立方体と正十二面体の隙間が現れます．すなわち，Ｊ91・立方体・正十二面体の３種類の立体で空間充填することが可能であることがわかったのですが，これまで知られていなかった空間充填例が見つかったことは奇跡的といってもよく，これこそ非常に単純だが深淵な数学的発見が今日なお可能である一つの例となっているのです．
＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝
【２】単一種による空間充填の例
１種類のブロックを使って，空間を隙間なく埋め尽くすにはどうすればいいでしょうか？ レンガはそのひとつの答えなのですが，どんな形のブロックなら空間を埋め尽くせるでしょうか？ そのようなブロックをすべて決定せよというならばこれは大変な難問です．空間充填四面体の場合ですら無数にあることが知られているからです．
［１］正三角柱の切断によって得られる空間充填立体
ここでは面白い性質をもっている空間充填四面体を紹介しましょう．まず，２：√３：√３の合同な二等辺三角形４枚からできる三角錐ですが，この三角錐を８個組み合わせるともとと同じ形で２倍（体積は８倍）の一回り大きい四面体になります．３個組み合わせると三角柱ができますが，この三角柱を垂直に切った断面は正三角形になります．この三角錐の展開図は二等辺三角形あるいは平行四辺形ですから，展開図が平面充填可能という特徴があります．
また，展開図が平面充填五角形になる空間充填四面体は
［参］中村義作「数理パズル」中公新書４２７
に紹介されていますが，この三角錐も正三角柱を切断することによって作ることができます．ついでにいうと，正三角柱を切断して側面が正方形の２つの正三角柱を作り，正方形面に沿ってねじって貼り合わせるとジョンソン多面体Ｊ26を得ます．この多面体も単一空間充填多面体として知られています．
［２］正四面体の切断によって得られる空間充填立体
つぎに，正四面体を切断することによって得られる空間充填をとりあげます．正四面体に切頂率：ｔ＝１／３の切頂を施すと準正多面体である切頂四面体が得られます．しかし，ここでは切頂率と切頂する尖端数を変えた
(1)４つの尖端からｔ＝１／４の相似形を切り取った８面体
(2)３つの尖端からｔ＝１／３の相似形を切り取った７面体
(3)２つの尖端からｔ＝１／２の相似形を切り取った６面体
も，空間充填体になります．
［参］別宮利昭「忍者もおどろくマキビシの術」別冊・数理科学「創作パズルＶＩ」サイエンス社，１９８１年
これらの空間充填体の平行多面体と異なる特徴は面をずらさなけれならないということです．平行多面体に限らなければもっと多くの空間充填が考えられるということなのでしょうが，ちょっと意外な首をかしげたくなるような空間充填です．
［３］立方体の切断によって得られる空間充填立体−−−九章算術の幾何（角錐台の体積公式）−−−
魏の時代に書かれた劉徽の「九章算術」の体積計算では棊（き）と呼ばれる４種類のブロックを利用して，角錐や角錐台の体積公式を得ている．４種類のブロックとは立方体，塹堵（ぜんと：１／２立方体），陽馬（１／３立方体），鼈臑（べつどう：１／６立方体）である．鼈臑とはすっぽんのすね（前足の骨）の意であるそうだ．
たとえば，正四角台は中央にある立方体，側面にある４つの塹堵，各隅に１つずつある４つの陽馬に細分される．それらをうまく組み換えることによって，３個の三角錐（Ｖ＝ａ^2ｈ／３，ａｂｈ／３，ｂ^2ｈ／３）に転化させることができる．このことは角錐台の体積公式が
（ａ^2＋ａｂ＋ｂ^2）ｈ／３
となることを示している直接的な証明法である．
劉徽の「九章算術」では，台形の面積公式
（ａ＋ｂ）ｈ／２
が台形を２個の三角形（Ｓ＝ａｈ／２，ｂｈ／２）に転化させて得られるのと同様のアイディアで角錐台の体積を求めているのである．すなわち，「九章算術」の立方体，塹堵（ぜんと），陽馬，鼈臑（べつどう）はピースを並べ替えて等積変形により立体の体積を求積するもので，同じく中国生まれの「タングラム」の立体版と考えられる．
なお，鼈臑（テトラドロン）はペンタドロン２原子を凧型面で接合させた２原子分子σ2であるが，それ自体を１個の原子とみなすこともできる．σ2にはいくつかの空間充填異性体が存在することになる．
＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝
【３】平行多面体の５種とミンコフスキーの定理
フェドロフの平行多面体とは平行移動するだけで３次元空間を埋めつくすことのできる単独の多面体であって，平行辺（したがって平行四辺形面，平行六辺形面に限られる），平行面から構成されている多面体である．フェドロフの平行多面体には立方体，６角柱，菱形１２面体，長菱形１２面体，切頂８面体の５種類しかないことが証明されている（１８８５年）．
立方体は単独で空間全体を格子状に埋めつくすことができる．単純立方格子状配置，すなわち角砂糖の箱の封を切ったときに見えるパターンについてはこれ以上説明するまでもないだろう．立方体以外の単一多面体による空間充填体としては，菱形十二面体や切頂八面体がよく知られている．両者はしばしば対比され，どちらも単独で空間充填可能な立体図形であるが，菱形十二面体が面心立方格子のボロノイ図であるのに対して，切頂八面体は体心立方格子のボロノイ図となっている．
これら５種類の図形は３次元格子の幾何学的分類であり，５種類の正多面体（プラトン立体）ほどよく知られていないが，少なくとも同じ程度に重要であるし，結晶学の観点からすると平行多面体は正多面体以上に重要であると考えられる．結晶格子には面心立方格子，体心立方格子，単純立方格子，六方晶格子などの別があるが，結晶の骨格の基本形はフェドロフの平行多面体に限定されるといってよいからである．
平行多面体のうち１４面体は切頂８面体だけであるが，切頂八面体には６組の平行な辺があり，６次元立方体と相同と考えることができる．切頂８面体（ｆ＝１４，ｄ＝６）の辺を点に縮めることによって，長菱形１２面体（ｆ＝１２，ｄ＝５）→菱形１２面体（ｆ＝１２，ｄ＝４），６角柱（ｆ＝８，ｄ＝４）→立方体（ｆ＝６，ｄ＝３）ができる．すなわち，６角柱，菱形１２面体は４次元立方体，長菱形１２面体は５次元立方体，切頂８面体は６次元立方体を３次元空間に投影したものとなっていて，空間充填図形の基本形は切頂８面体と考えることができる．同様に２次元充填の基本形は６角形である．
３次元充填の基本形は１４面体であることはわかったが，それでは４次元，５次元，・・・，ｎ次元での空間充填多面体の基本形はどうなるのだろう？ どのような形になるのかを知る人はたとえいたとしても非常に少ないであろう．そこで（証明抜きで）次元論の敷石定理について解説する．
「ｎ次元の舗石定理」
［１］ｎ次元空間充填では，各頂点の周りに少なくともｎ＋１個の多面体が集まる（ルベーグ）．
［２］ｎ＋１個のとき，空間充填の基本細胞の面数は最大２（２^n−１）個である（ミンコフスキー）．
すなわち，平行多面体の最多面数は２次元では６角形，３次元では１４面体，４次元では３０胞体，５次元では６２房体となるのである．
＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝
【４】面数最多の空間充填多面体とは？
平行移動するだけで３次元空間を埋めつくすことのできる５種類の平行多面体（フェドロフ）はよく知られている．平行多面体のなかでは切頂八面体が面数最大の空間充填多面体であるが，平行移動のほかに回転や鏡映操作も許せば，さらに多くの多面体が空間充填可能となる．面数の多い単独空間充填多面体の例をいくつか紹介しよう．
［１］Foepplの１６面体（１９１４年）
正四面体は単独では空間充填できない．同様に，正四面体の辺の３等分点で切頂すると切頂四面体となるが，切頂四面体も空間充填多面体ではない．しかし，切り取った小正四面体を各面と底面として中心から四等分した三角錐片を切頂四面体の切頂面に載せた形は単独で空間充填し得るようになる．
すなわち，切頂４面体の正三角形部分に正４面体を４分割した扁平な４面体をくっつけたものであるが，扁平な４面体の二面角は１２０°であり，１２０°は３つの多面体が合して１稜をつくる際の重要な二面角になっている．
［２］Loeckenhoff and Hellnerの１８面体（１９７１年）
この空間充填１８面体は１２個の４角形面と６個の８角形面からなる多面体である．３回回転対称性を有しているものの直観ではとらえきれないほど複雑な形をしているが，二面角を計算すると７０．５２８８°（正四面体の二面角）や１２０°と計量され，馴染み深い値が得られる．
この多面体では正四面体の場合とは違って，回転対称軸同士が交わらずにねじれの位置にあり，３回対称軸の周りで１２０°回転させると回転操作に伴って４軸がどれかの４軸に移るという関係になっている．このことから，この空間充填１８面体が合同な円柱だけを寄せ集めた周期的４軸構造をなしていることが理解される．なお，４軸をどれかの４軸に移す回転操作全体は正４面体群をなし，その位数は１２である．
［３］Engelの３８面体（１９８０年）
１９８０年，エンゲルは２つの異なる３８面体の存在を示している．ひとつは２６^1２２^1１６^1１２^1６^4５^4４^14３^12（頂点数７０），もう一つは２６^1２２^1１６^1１０^1６^4５^8４^18３^14（頂点数７０）である．前者をタイプ１，後者をタイプ２と呼ぶことにするが，エンゲルはその後，さらに２つの異なる３８面体（タイプ３，タイプ４）の存在も示している．
意外なことに，エンゲルの３８面体を６個を組み合わせると空間充填１８面体に酷似した多面体が得られる．
−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−
切頂八面体（ケルビンの１４面体４^2６^8，１８８７年）は
(1)面数最多の空間充填多面体
(2)唯一の空間充填１４面体
(3)最小表面積の空間充填多面体
と信じられていたが，(1)に対する反例がここに掲げた多面体である．空間充填可能な凸ｆ面体すべてを決定することは現在でも未解決になっている．現在は４≦ｆ≦３８であるすべてのｎに対し，空間充填可能な凸ｆ面体が存在することが判明している．
ｆ＝３８に対してはエンゲルが４つの異なる３８面体の存在を示したのであるが，この空間充填３８面体はどのような着想で得られたものなのだろうか．それはコクセター群（鏡映により生成される群）と関係している．鏡映とは折り返しのことであるが，ｎ次元空間の平行移動も回転運動も高々ｎ＋１個の鏡映の積として表すことができることが証明されている．３次元の場合は高々４つの鏡映の積ということになるが，その詳細を述べると
定理：等長変換は１，２，３または４つの鏡映の積である，
２つの鏡映の積は平行移動または回転である．
３つの鏡映の積は映進または回転鏡映である．
４つの鏡映の積は２つの半回転の積である．
コクセターはｎ次元の万華鏡を探求する方法を発見したのである．
ｆ≧３９に対して空間充填凸ｆ面体が存在するか否かはいまだ不明である．なお，(2)に対する反例がウィリアムスのβ１４面体（４^2５^8６^4，１９６８年）であり，(3)に対する反例がウィア・フェランの極小曲面（１２面体と１４面体が１：３の割合で並ぶもの，１９９４年）である．ウィリアムスのβ１４面体，ウィア・フェランの極小曲面は曲面をもつ空間充填多面体である．
＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝
【５】非周期的空間充填多面体
［１］黄金菱形多面体による非周期的空間充填
要素を配置するときの規則によって周期的配置（結晶），乱雑配置，準結晶的配置の３種類に分類されるます．準結晶とは厳密な規則によって配列が一意に決定されるのですが，周期的ではない配置のことを指します．３次元空間の非周期的充填では５種類の黄金平行多面体によるものが知られています．
ケプラーは，すべての面が合同な菱形である菱形多面体は，対角線の比が白銀比になっている菱形を１２個組み合わせてできる菱形十二面体と対角線の比が黄金比になっている菱形を３０個組み合わせてできる菱形三十面体以外にはないことを証明しようとしたのですが，実はあと２つ，１８８５年，フェドロフが発見した菱形二十面体と１９６０年にビリンスキーが発見した菱形十二面体第２種があります．
黄金菱形平行６面体には２種類（太った菱面体とやせた菱面体）あって，細めで尖ったほうがacute（扁長菱面体），太めで平たいほうがobtuse（扁平菱面体）と呼ばれていますが，２つずつacute とobtuse が集まれば菱形十二面体（第２種），５つずつ集まれば菱形二十面体，１０個ずつ集まれば菱形三十面体となります．このうち，菱形二十面体と菱形三十面体は５重の対称軸をもっています．
これらはコクセターにより，Ａ6（acute），Ｏ6（obtuse），Ｂ12（Bilinsky），Ｆ20（Fedrov），Ｋ30（Kepler）と名づけられていて，それぞれ３次元から６次元までの立方体の投影の外殻になっています．すなわち，黄金平行多面体は５種類あり，黄金菱形をある方向に平行移動させたものがＡ6，Ｏ6であり，それをさらに平行移動させるとＢ12が，続いてＦ20が，最後にＫ30が生まれます．
したがって，Ａ6とＯ6は３次元の，Ｂ12は４次元の，Ｆ20は５次元の，Ｋ30は６次元の立方体とそれぞれ同等になります．また，Ｂ12の中には２つずつのＡ6とＯ6が，Ｆ20の中にはひとつのＢ12と３つずつのＡ6とＯ6が（いいかえればＦ20の中には５つずつのＡ6とＯ6が），Ｋ30の中にはひとつのＦ20と５つずつのＡ6とＯ6が（いいかえればＫ30の中には１０個ずつのＡ6とＯ6が）それぞれ入っていることになります．
２種類の黄金平行多面体を用いて，３次元を隙間なく埋める非周期的構造を作ることができることは前述したとおりですが，この黄金平行多面体による充填図形の平面への投影はペンローズ・パターンと呼ばれる準周期性平面充填となります．すなわち，ペンローズのタイル貼りは，三次元空間を２種類の黄金菱面体で非周期的に埋めつくしたときの平面への投影図であり，５回対称性という物質の新しい状態を２次元的に模似したものになっています．
［２］コンウェイの二重プリズム
１９７４年にイギリスの数理物理学者ペンローズの発見した２種類の菱形を組み合わせて平面を非周期的に敷きつめるものが最も構成要素の少ないものです．それでは空間の非周期的タイル貼りについてはどうでしょうか？
１９９３年に１種類の凸多面体の非周期的な仕方だけで空間全体を完全に埋めつくすことができる立体「二重プリズム」が英国の数学者コンウェイによって発見されました．この立体は４枚の合同な三角形と４枚の合同な平行四辺形からなっていて，２個の傾斜した三角プリズムをねじって接合したものとみなせるため「二重プリズム」と呼ばれています．
平面全体を一種類だけで非周期的に埋めつくすことのできる図形はまだ知られていません．したがって，非周期的なタイル張りに関しては３次元の場合（コンウェイの二重プリズム）のほうが２次元の場合（ペンローズ・タイル）を超えているといえるのです．
＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝