『ｋ（ｋ＋１）／２という形の整数を三角数，ｋ^2という形の整数を四角数，ｋ（３ｋ−１）／２という形の整数を五角数といいます．一般に，ｋ（（ｍ−２）ｋ−ｍ＋４）／２という形の整数をｍ角数という』がｍ角数の慣用の定義であるが，これらの数の類似性から負の値での同じ形の数，たとえば，
（３ｎ^2−ｎ）／２ → （３ｎ^2＋ｎ）／２ → （３ｎ^2±ｎ）／２
もまた五角数と呼ばれる．
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【１】オイラーの分割数
「分割数」とは与えられた整数にどれだけ多くの分割があるのか（4=1+1+1+1,4=3+1）という整数の分割理論のことです．整数の分割では，3=2+1と3=1+2のように足し算の順序が違うものは同じと見なすことにします．
たとえば，４を分割するには非増加数列で構成した５通りの方法，4=3+1=2+2=2+1+1=1+1+1+1がありますから，p(4)=5．同様にして，5=4+1=3+2=3+1+1=2+2+1=2+1+1+1=1+1+1+1+1よりp(5)=7となります．（分割を図形的に表す方法にヤング図形がある．ヤング図形は非増加な非負整数列を表現する印象的な方法である．）
ここで，正の整数ｎに対して，
ｎ＝ｋ1＋２ｋ2＋３ｋ3 （ｋ1≧０，ｋ2≧０，ｋ3≧０）
となる解（ｋ1，ｋ2，ｋ3）の個数をａnとします．ｎ＝５の場合，
1+1+1+1+1 → （５，０，０）
1+1+1+2 → （３，１，０）
1+1+3 → （２，０，１）
1+2+2 → （１，２，０）
2+3 → （０，１，１）
ですから，ａ5＝５となります．
ａ0＝１，ａ1＝１，ａ2＝２，ａ3＝３，ａ4＝４，ａ5＝５，・・・
このとき，母関数は
ｆ（ｘ）＝Σａnｘ^n＝Σｘ^(k1+2k2+3k3)＝Σｘ^k1Σｘ^2k2Σｘ^3k3
＝１／（１−ｘ）・１／（１−ｘ^2）・１／（１−ｘ^3）
となります．
（１−ｘ）（１−ｘ^2）（１−ｘ^3）Σａnｘ^n＝１
ですから，各項の係数を比較すると漸化式
ａn＝ａn-1＋ａn-2−ａn-4−ａn-5＋ａn-6
を得ることができます．
ａ6＝７，ａ7＝８，ａ8＝１０，ａ9＝１２，ａ10＝１４，ａ11＝１６，・・・
この問題を一般化して
ｎ＝ｋ1＋２ｋ2＋３ｋ3＋・・・ （ｋ1≧０，ｋ2≧０，ｋ3≧０，・・・）の個数ｐ（ｎ）を考えます．ｎ＝５の場合，ａ5に
1+4，5
が加わり，p(5)=7となります．
このことから，分割数は以下の公式によって代数的に定義することができることがわかります．
f(x)=Π(1-x^n)^(-1)={(1-x)(1-x^2)･･･(1-x^n)･･･}^(-1)
=(1+x+x^2+･･･)(1+x^2+x^4+･･･)(1+x^3+x^6+･･･)(1+x^4+x^8+･･･)･･･
=Σp(n)x^n=1+p(1)x+p(2)x^2+p(3)x^3+･･･
すなわち，f(x)は分割関数p(n)の母関数で，p(n)はｘ^nの係数になっています．
ｘ^k1を第１因子(1+x+x^2+･･･)の一般項，ｘ^2k2を第２因子(1+x^2+x^4+･･･)の一般項，ｘ^3k3を第３因子(1+x^3+x^6+･･･)の一般項，・・・とすると，
ｎ＝ｋ1＋２ｋ2＋３ｋ3＋・・・
となって，ｘ^nの項が整数ｎの分割に対応することになるのですが，オイラーはこのようにしてp(n)の母関数
f(x)=Π(1-x^n)^(-1)={(1-x)(1-x^2)･･･(1-x^n)･･･}^(-1)
=Σp(n)x^n=1+p(1)x+p(2)x^2+p(3)x^3+･･･
を得たというわけです．
オイラーの５角数定理を用いると，分割関数に対する再帰関係式
Σp(n-j(3j±1)/2)(-1)^j=0
p(n)=p(n-1)+p(n-2)-p(n-5)-p(n-7)+p(n-12)+･･･
が得られます．これより
p(0)=1,p(1)=1,p(2)=2,p(3)=3,p(4)=5,p(5)=7,p(6)=11,
p(7)=15,p(8)=22,p(9)=30,p(10)=41,p(11)=56,p(12)=77,･･･
を効率的に計算することができます．
ラマヌジャンはp(n)が満たす合同式について
ｐ（５ｎ＋４）＝０ ｍｏｄ５
ｐ（７ｎ＋５）＝０ ｍｏｄ７
ｐ（１１ｎ＋６）＝０ ｍｏｄ１１
ｐ（５９９）＝０ ｍｏｄ５^3
ｐ（７２１）＝０ ｍｏｄ１１^2
を予想し，それらを証明しています．
（証）φ(q)=Π(1-q^k)とおく．
Σp(5n+4)q^n=5{φ(q^5)}^5/{φ(q)}^6
の右辺の展開を考えると合同式が証明される．
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【２】制限付き分割数
オイラー数は非制限分割数ですが，任意の正の整数に対して，ある一定の条件を満たす分割と別の分割が同数存在するという主張を分割恒等式といいます．１９４８年，オイラーは異なる数への分割と奇数への分割が同数あるという注目すべき結果を証明しています．
（証）
q(n)：ｎの奇数のみを用いた分割の総数
r(n)：ｎの互いに異なる数を用いた分割の総数
とすると
Σq(n)x^n=1/(1-x)(1-x^3)(1-x^5)･･･
Σr(n)x^n=(1+x)(1+x^2)(1+x^3)･･･
であり，
(1+x)(1+x^2)(1+x^3)･･･
=(1-x^2)/(1-x)･(1-x^4)/(1-x^2)･(1-x^6)/(1-x^3)･･･
=1/(1-x)(1-x^3)(1-x^5)･･･
と書き換えることができますから，両者の母関数は一致します．
例えば５を異なる数に分割するのは5,4+1,3+2の３通り，奇数に分割するのは5,3+1+1,1+1+1+1+1の３通りというわけです．オイラーの分割恒等式が最初のものですが，分割恒等式はいくらでも存在し，ここに掲げたもの以外にも多くの予期せぬ分割恒等式が存在するのです．
［１］ロジャーズ・ラマヌジャンの第１恒等式
「１の位が１，４，６，９の数への分割と各因子の差が２以上ある分割とは同数ある．」
１の位が１，４，６，９の数とはmod5で±１と合同になる整数のことです．分割の構成数の差が２以上という制限を設けた分割と構成数が５ｎ＋１または５ｎ＋４の分割は恒に等しいというののが第１恒等式で，例えば５を１，４，６，９に分割するのは4+1,1+1+1+1+1の２通り，各因子の差が２以上ある分割は5,4+1の２通り．
（証）ヤコビの３重積公式を使えば
Σs(n)x^n=Σq^(k^2)/(1-q)(1-q^2)･･･(1-q^k)=1/(1-q^5m-1)(1-q^5m-4)
すなわち
1+q/(1-q)+q^4/(1-q)(1-q^2)++q^9/(1-q)(1-q^2)(1-q^3)+･･･
=1/(1-q)(1-q^4)(1-q^6)(1-q^9)(1-q^11)(1-q^14)(1-q^19)･･･
である．
この分割恒等式は無名の数学者ロジャーズ(1894)，また彼とは独立にラマヌジャン(1913)によって得られました．ロジャース・ラマヌジャン恒等式は，最初ロジャースにより発見されたのですが，誰の興味も惹かず忘れ去られていたところ，ラマヌジャンにより別証明が与えられたというわけです．
［２］ロジャーズ・ラマヌジャンの第２恒等式
「１の位が２，３，７，８の数への分割と因子は２以上で各因子の差が２以上ある分割とは同数ある．」
これはmod5で±２と合同になる整数のことです．例えば５を２，３，７，８に分割するのは3+2の１通り，因子は２以上で各因子の差が２以上ある分割は5の１通り．
（証）ヤコビの３重積公式を使えば
Σt(n)x^n=Σq^(k(k+1))/(1-q)(1-q^2)･･･(1-q^k)=1/(1-q^5m-2)(1-q^5m-3)
［３］シューアの分割恒等式
「mod6で±１と合同になる整数への分割と，各因子の差が３以上あり，連続する３の倍数を含まないような分割とは同数ある．」
例えば５をmod6で±１と合同になる整数に分割するのは5の１通り，各因子の差が３以上あり，連続する３の倍数を含まないような分割は5の１通り．
（証）
Σu(n)x^n=Π1/(1-x^6k-1)(1-x^6k-5)
Σv(n)x^n=Π(1+x^3k-1)(1+x^3k-2)
Σw(n)x^n=Π(1+x^k+x^2k)
の母関数は一致する．
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これらの分割恒等式は狭い範囲の興味の対象にすぎないと思われるかもしれませんが，もし，物理状態がｎ個の基本粒子の分割に関係しているとすると，驚くほど深い物理学への応用をもっていることが理解されます．
実際，整数の分割問題は，現在では，統計力学（Maxwell-Boltzmann統計，Bose-Einstein統計，Fermi-Dirac統計）など様々な分野で実際的な問題を解決するのに用いられています．
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【３】ヤコビの３重積公式
(a;q)n=(1-a)(1-aq)･･･(1-aq^(n-1))=Π(1-aq^k)
なる記号を導入すると
(q;q)n=(1-q)(1-q^2)･･･(1-q^n)=Π(1-q^k)
になるが，ヤコビの３重積公式
Σz^nq^(n(n+1)/2)=Π(1-q^n)(1+zq^n)(1+z^(-1)q^(n-1))
は
(x;q)∞(q/x;q)∞(q;q)∞=Σ(-1)^m･q^(m(m-1)/2)･x^m x=-z
と表現される．ヤコビの３重積公式はテータ関数そのものを表している．
［１］ヤコビの３重積公式において，ｑをすべてｑ^3に置き換え，ｘ＝ｑとすれば，左辺はΠ(1-q^3n)(1-q^3n-1)(1-q^3n-2)=Π(1-q^n)=(q;q)∞となり，
Π(1-q^n)=Σ(-1)^m･q^(m(3m+1)/2) （オイラーの５角数定理）
と表される．
オイラーは
(1)ｎが五角数でない限り，正の整数ｎを偶数個の異なる正の整数の和で表す方法の総数と奇数個の異なる正の整数の和で表す方法の総数が等しいこと，
(2)ｎが五角数ならば，正の整数ｎを偶数個の異なる正の整数の和で表す方法の総数−奇数個の異なる正の整数の和で表す方法の総数＝（−１）^k，ｎ＝ｋ（３ｋ＋１）／２
を示したことになる．
［２］また，ｑをすべてｑ^2に置き換え，ｘ＝ｑとすれば，左辺は
Π(1-q^2n)(1-q^2n-1)^2
ここで，異なる数への分割と奇数への分割が同数あるという結果に対応する
Π(1-q^2n-1)=Π1/(1+q^n)
より，
Π(1-q^n)/(1+q^n)=Σ(-1)^m･q^(m^2) （ガウスの４角数定理）
［３］今度はｘ＝−ｑとすれば，(-1;q)∞=2Π(1+q^n)より，左辺は
2Π(1-q^2n)(1+q^n-1)=2Π(1-q^2n)/(1-q^2n-1)
右辺はΣ(-∞~∞)q^(m(m+1)/2)であるが，m(m+1)/2はm=-1/2について対称であるから和を取る範囲をm:-∞~∞からm:0~∞に狭めることができて
Σ(-∞~∞)q^(m(m+1)/2)=2Σ(0~∞)q^(m(m+1)/2)
これより
Π(1-q^2n)/(1-q^2n-1)=Σq^(m(m+1)/2) m:0~∞ （ガウスの３角数定理）
［４］ｘ＝δとすれば，
(x;q)∞(q/x;q)∞(q;q)∞=(1-δ)(δq;q)∞(q/δ;q)∞(q;q)∞
Σ(-1)^m･q^(m(m-1)/2)･x^m=Σ(1~∞)(-1)^m･q^(m(m-1)/2)･(δ^m-δ^-m+1)=Σ(0~∞)(-1)^m+1･q^(m(m+1)/2)･δ^-m(δ^2m+1-1)
両辺を(1-δ)で割り，δ→１とすれば，
左辺→Π(1-q^n)^3
右辺→Σ(0~∞)(-1)^m-1･(2m+1)q^(m(m+1)/2)
より，
Π(1-q^n)^3＝Σ(-1)^m(2m+1)q^((m^2+m)/2) （ヤコビの３角数定理）
［５］三角数等式
ヤコビの三重積公式
Σz^nq^(n(n+1)/2)=Π(1-q^n)(1+zq^n)(1+z^(-1)q^(n-1))
において，ｚ＝１とすれば，
Σq^(n(n+1)/2)=Π(1-q^2n)(1+q^(n-1))
が得られる．ここで，右辺が第０項から始まるようにパラメータをずらすと，
Π(1+q^n)(1-q^2n+2)=Σq^(m(m+1)/2) m:-∞~∞
［６］七角数等式
ｑをすべてｑ^5に置き換え，ｚ＝−１／ｑとすれば，
Σ(-1)^mq^(m(5m+3)/2)=Π(1-q^5n)(1-q^5n-1)(1-q^5n-4)
が得られる．ここで，右辺が第０項から始まるようにパラメータをずらすと，
Π(1-q^5n+1)(1-q^5n+4)(1-q^5n+5)=Σ(-1)^mq^(m(5m+3)/2) m:-∞~∞
［７］ｍ角数等式
ｑをすべてｑ^m-2に置き換え，ｚ＝−１／ｑとすれば，
Σ(-1)^nq^(n((m-2)n+m-4)/2)=Π(1-q^(m-2)n)(1-q^(m-2)n-1)(1-q^(m-2)n+1)
が得られる．ここで，右辺が第０項から始まるようにパラメータをずらすと，
Π(1-q^(m-2)(n+1))(1-q^(m-2)(n+1)-1)(1-q^(m-2)(n+1)+1)=Σ(-1)^nq^(n((m-2)n+m-4)/2) m:-∞~∞
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【４】ラマヌジャンの関数
ラマヌジャンは，
Δ(z)＝η(z)^24＝qΠ(1-q^n)^24＝Στ(n)q^n
ｚは虚部が正の複素数で，q=exp(2πiz)
η(z)はデデキントのイータ関数，η(z)=q^(1/24)Π(1-q^n)
を考え，そのフーリエ係数τ(n)を計算しました．
τ(1)=1,τ(2)=-24,τ(3)=252,τ(4)=-1472,τ(5)=4830,τ(6)=-6048,
τ(7)=-16744,τ(8)=84480,τ(9)=-113643,τ(10)=-115920,
τ(11)=534612,τ(12)=-370944,･･･
無限積をベキ級数に展開した式（フーリエ展開）が登場しましたが，このΔ(z)は，重さ１２の保型形式
Δ(az+b/cz+d)=(cz+d)^12Δ(z)
と呼ばれるものになっていて，オイラーの五角数公式の拡張（２４乗版）と考えられます．
ラマヌジャン数は，オイラーの分割数のアナローグであり，
(1)ｍとｎが素ならば，τ(m)τ(n)＝τ(mn)
τ(2)*τ(3)=-6048=τ(6)，τ(2)*τ(5)=-115920=τ(10)
τ(3)*τ(4)=-370944=τ(12)，τ(2)*τ(9)=2727432=τ(18)
τ(4)*τ(5)=-7109760=τ(20)，τ(3)*τ(7)=-4219488=τ(21)
(2)τ(p^(n+1))-τ(p^n)τ(p)=-p^11τ(p^(n-1)) （漸化式）
(3)τ(n)＝σ11（ｎの約数の１１乗の総和） （ｍｏｄ ６９１）
(4)τ(n)＝ｎ^2σ7 （ｍｏｄ ２７）
(5)τ(n)＝ｎσ3 （ｍｏｄ ７）
など，驚くような性質をもっています．
１９１６年，ラマヌジャンはラマヌジャン数のゼータについて考え，ある予想をたてました．ラマヌジャン数のゼータ，すなわち，
Ｌ(s)＝Στ(n)n^(-s)
とおくと（オイラー積のアナローグ）
Ｌ(s)＝Π{1-τ(p)p^(-s)+p^(11-2s)}^(-1)
が成り立つことを予想したのです．
歴史上最初のゼータであるオイラー積
ζ(s)＝Σｎ^(-s)＝Π（１−ｐ^(-s)）^(-1)
は積の中身がｐ^(-s)の１次式であり，本質的には１次のゼータでしたが，Ｌ関数では，ｐ^(-1)の１次式から２次式に進化しているのです．ラマヌジャン数のゼータは，歴史上最初の２次のゼータといえるのですが，新種のゼータに関するこの予想は，翌年，モーデルによって証明されました（１９１７年）．
また，τ(p)はｐが増加するとき，急激に増加するのですが，１９７４年，ドリーニュによって，ラマヌジャン予想，
｜τ(p)｜＜２ｐ^(11/2)
が証明されています．この式はp^(-s)=ｘとおいた２次式
1-τ(p)ｘ+p^11ｘ^2
の虚根条件（判別式：τ(p)^2-4p^11＜０）となっていることに注意して下さい．
このようにして，
τ(p)＝２ｐ^(11/2)ｃｏｓθp （０≦θp≦π）
なるθpがただひとつとれます．そこで，任意に固定された０≦ａ≦ｂ≦πに対して，偏角θpが［ａ，ｂ］となる素数密度は
2/π∫(a,b)sin^2θdθ
で与えられるだろうという佐藤幹夫予想がたてられています．すなわち，θp＝π／２のあたりに多く分布していることを予想しているというわけです．この予想は２００９年，テイラーにより証明されました．
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