高次元空間では直観がほとんどきかず，座標で計算することが基本になる．４次元正多胞体の二面角もその例である．

　　正５胞体　→　ｃｏｓδ5＝１／４，ｓｉｎδa＝√１５／４　（７５°ほど）

　　正８胞体　→　ｃｏｓδ8＝０，ｓｉｎδ8＝１　（９０°）

　　正１６胞体　→　ｃｏｓδ16＝−１／２，ｓｉｎδ16＝√３／２　（１２０°）

　　正２４胞体　→　ｃｏｓδ24＝−１／２，ｓｉｎδ24＝√３／２　（１２０°）

　　正１２０胞体　→　ｃｏｓδ120＝−（√５＋１）／４，ｓｉｎδ120＝（１０−２√５）^1/2／４　（１４４°）

　　正６００胞体　→　ｃｏｓδ600＝−（３√５＋１）／８，ｓｉｎδ600＝（√１５−√３）／８　（１６５°ほど）

である．

　４次元の特殊性として，正５胞体と正６００胞体以外はすべて二面角が直角と有理比になっている．具体的にはそれらは１２０°と１４４°（４直角の１／３と２／５）である．したがって，それらから４次元の充填形ができそうである．このことから４次元正多胞体の元素数の下限は３であることを証明したつもりで安心していたのだが，祝杯をあげるのは早すぎたようである．

　正５胞体（ｃｏｓδ1＝１／４，ｓｉｎδ1＝√１５／４）と正６００胞体の二面角（ｃｏｓδ2＝−（３√５＋１）／８，ｓｉｎδ1＝（√１５−√３）／８）を足すと２４０°になるからである．

　　ｃｏｓ（δ1＋δ2）＝ｃｏｓδ1ｃｏｓδ2−ｓｉｎδ1ｓｉｎδ2＝−１／２

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【１】４次元の正多胞体元素定理

　空間充填形ができるための必要条件は，二面角δが４直角の整数分の１であることであるが，分解合同の場合は有理比をなすどうかが問題となる．

　　δ2＝４π／３−δ1

したがって，６種類の正多面体での分解合同（分解相似？）の関係式は，

　　Ｎ1δ5≠０　　（ｍｏｄ　π）

とより簡潔に書くことができる．

　ｕ＝１／４＋ｉ√１５／４については，

　　ｕ−１／４＝ｉ√１５／４

より，ｕは２次方程式２ｕ^2−ｕ＋２＝０の解であるから，

　　２ｕ^2＝ｕ−２

　　２^2ｕ^3＝−３ｕ−２

　　２^3ｕ^4＝−７ｕ＋６

　　２^m-1ｕ^m＝ａ1ｕ＋ｂ1　　　（ａ1，ｂ1は整数でａ1≠０，ｂ1≠０）

が成り立つと仮定すると，ｍ＋１のとき

　　２^mｕ^m+1＝２ａ1ｕ^2＋２ｂ1ｕ＝ａ1（ｕ−２）＋２ｂ1ｕ

　＝（ａ1＋２ｂ1）ｕ−２ａ1

であるから

　　ａ1≠０，ｂ1＝０　ｍｏｄ　２

を示すことができる．すなわち，

　　Ｚ＝ｎ^Ｎ1-1ｕ^Ｎ1≠０

であるから，４元の正多胞体の元素数は≧２であることがいえる．

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【２】雑感

　３次元では正四面体と正八面体の二面角が直角と有理比になる．４次元では正５胞体と正６００胞体の二面角が直角と有理比になる．５次元以上の空間では，正ｎ＋１胞体（ｃｏｓδ1＝１／ｎ，ｓｉｎδ1＝√（ｎ^2−１）／ｎ）と正２^n胞体の二面角（ｃｏｓδ2＝−（ｎ−２）／ｎ，ｓｉｎδ1＝（２√（ｎ−１））／ｎ）であるから，二面角はｎとともに増加しそれぞて９０°，１８０°に近づく．決して直角と有理比にならないが，二面角の和についても

　　ｃｏｓ（δ1＋δ2）＝ｃｏｓδ1ｃｏｓδ2−ｓｉｎδ1ｓｉｎδ2＝−（ｎ−２）／ｎ^2−２（ｎ−１）√（ｎ＋１）／ｎ^2

であるから，そうはならない．二面角が直角と有理比になるのは，４次元の特殊性というよりも４次元までの特殊性といったほうがよいだろう．

　ところで，私は自分にもわかる数学ネタを持ち前のサービス精神から他人にもわかるように解説記事を書いているアマチュアの数学愛好家にすぎないし，決して専門家ではないが，

　　［参］一松信「高次元の正多面体」日本評論社

には，専門家ではあっても主流を外れて忘れられた数学研究者（いまや名前さえも忘れられた数学者，生前にはあまり有名でなかった数学者）のささやかだが珠玉のような成果が予想外に多いことが紹介されている．たとえば，・・・

［１］群論がガロアの方程式論（１８３２年）に始まるという通説は正しいと思いますが，ガロアは決して無から突如として群の概念を創成したのではありません．ガロア群の発見が代数方程式論の面目を一新したのは事実ですが，群の考えそのものはすでに１８世紀末から１９世紀にかけて活用されています．ガロアの業績を過小評価するものではありませんが，底流をなす先駆者の成果を忘れて，天才が一夜にしてすべての歴史を書き換えたように思うのは，正しい科学史ではないと思います．

［２］「誰が初めて証明したか」についても，たとえば「Ａの証明には厳密にいうと不備があり，Ｂがそれらの完全な証明を最終的にまとめた」というような歴史では不完全な証明をどれだけ認めるかによっては大変厄介な問題をはらんでいます．私個人としては完全でない証明をすべて無価値だとして，先駆者たちを抹消し，最後の証明者のみを取り上げることには必ずしも共鳴できかねる気がします．

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