ジョンソン・ザルガラー立体のうち，５個のデルタ多面体とＪ14，Ｊ15，Ｊ16，Ｊ1，Ｊ86はタイル貼り可能であることが確認されています．一様タイルからは５個のデルタ多面体とＪ14，Ｊ15，Ｊ16，非一様タイルからはＪ1，Ｊ86がタイルになることが導き出されます．

　Ｊ14，Ｊ15，Ｊ16，Ｊ1，Ｊ86はいずれも正三角形と正方形でできるジョンソン立体ですが，ジョンソン立体で正三角形と正方形でできるものは全部で２３種類あります．これらはデルタ多面体に次いで単純なわけですが，今回のコラムではＪ14，Ｊ15，Ｊ16，Ｊ1，Ｊ86以外に展開図が平面充填可能となる正三角形と正方形でできるジョンソン立体が存在するかどうか検討してみることにしたいと思います．

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【１】非一様タイル（二様タイル？）

　正三角形と正方形が２種類の頂点周りの状態を示しながら集まるタイル貼りを考えます．正三角形と正方形でできるタイル貼りには本質的に異なる並べ方が２種類あり，平行対称性だけをもつものをＴ型，回転対称性（あるいは鏡映対称性）ももつものをＲ型とします．

［１］Ｔ型

　Ｔ型には１列の正方形の帯の両側に２列の正三角形の帯があるもの，１列の正方形の帯の両側に３列の正三角形の帯があるもの，１列の正方形の帯の両側にｎ＋１列の正三角形の帯があるものなどがあり，それぞれ三角形：正方形比が４：１のもの，６：１のもの，８：１のもの，２ｎ：１のものなどがタイルになるための必要条件を満たします．Ｊ85は１２：１ですが，正方形が辺で連結していないのでＮＧです．

　　４：１→Ｊ1

　　６：１→Ｊ86，Ｊ89

　　８：１→Ｊ88

　　１０：１→Ｊ50

　　１２：１→Ｊ10

　　１６：１→Ｊ87

　実際，Ｊ1（３^4４^1），Ｊ86（３^12４^2）はタイルになることが確かめられていますが，Ｊ50，Ｊ87，Ｊ88，Ｊ89は実際に模型で確かめたわけではありません．

　また，Ｔ型には１列の正三角形の帯の両側に２列の正方形の帯があるもの，１列の正三角形の帯の両側に３列の正方形の帯があるもの，１列の正三角形の帯の両側にｎ列の正方形の帯があるものなどがあり，それぞれ三角形：正方形比が２：２のもの，２：３のもの，２：４のもの，２：ｎのものなどがタイルになるための必要条件を満たします．Ｊ26は２：２ですが，正方形が辺で連結していないのでＮＧです．

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［２］Ｒ型

　Ｔ型ではすべての正方形が辺で連結していましたが，Ｒ型は辺で連結していない正方形があります．

　それにはアルキメデスの平面充填形（３４^2６）（基本領域は正三角形：正方形：正六角形＝２：３：１）の正六角形を正三角形６個で置き換えたもの（正三角形：正方形＝８：３）やアルキメデスの平面充填形（３１２^2）（基本領域は正三角形：正十二角形＝２：１）の正十二角形を正三角形１２個，正方形６個で置き換えたもの（正三角形：正方形＝１４：６），アルキメデスの平面充填形（４６１２）（基本領域は正方形：正六角形：正十二角形＝３：２：１）の正六角形を正三角形６個で，正十二角形を正三角形１２個，正方形６個で置き換えたもの（正三角形：正方形＝２４：９）などがあります．

　これらの正方形はすべて単独で他の正方形と頂点で連結していますが，Ｊ85，Ｊ26を含め，この基本領域に一致するジョンソン立体は存在しません．

　また，辺で繋がった正方形２個が１個の正方形と頂点で連結しているもの（正三角形：正方形＝６：３）や辺で繋がった正方形２個同士が頂点で連結しているもの（正三角形：正方形＝４：２）はアルキメデスの平面充填形（３^3４^2）と同じ基本領域（正三角形：正方形＝２：１）であって，この基本領域に一致するジョンソン立体は存在しません．

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【２】まとめ

　かくしてＪ10，Ｊ50，Ｊ87，Ｊ88，Ｊ89が本当にタイル貼り可能であるかどうかは実際に模型で確かめなければなりませんし，確かめてはじめてわかることなのです．

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