（その１４）では４次元正多胞体の座標構成を示し，正１２０胞体が４次元の「万有正多面体」となることを述べようとしたのであるが，座標を構成する仕方は他にもあり，その方がわかりやすいらしい．今回のコラムでは
［参］一松信「高次元の正多面体」日本評論社
に従った構成法を述べてみることにしたい．
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【１】４次元正多胞体の構成（補遺）
［１］正８胞体（４次元超立方体）は１６頂点（±１，±１，±１，±１）を結んでできる．３次元の立方体では８個の頂点をひとつおきにとると正四面体ができるが，４次元立方体では正１６胞体（４次元の正八面体）ができる．
正８胞体の中心からひとつおきの頂点を結んだベクトルをとる．４本のベクトル（１，１，１，１），（１，１，−１，−１），（１，−１，１−，１），（１，−１，−１，１）は互いに直交し，長さは２すなわちもとの正８胞体の１辺の長さに等しい．この４頂点と中心に対する４頂点の合計８頂点は互いに直交する４本の軸上にあるから，正１６胞体をなすことになる．（なお，３次元では正四面体，４次元では正１６胞体になったが，５次元以上の空間では正多面体にならず，１種の準正多面体になる．）
［２］正２４胞体の頂点の座標は
（±１，±１，±１，±１）・・・正８胞体の頂点
（±２，０，０，０），（０，±２，０，０），（０，０，±２，０），（０，０，０，±２）・・・正１６胞体の頂点
の２４点である．３次元空間で立方体の８頂点（±１，±１，±１）と正八面体の６頂点（±２，０，０），（０，±２，０），（０，０，±２）を結ぶと菱形１２面体ができるから，正２４胞体は３次元の菱形１２面体の４次元版と見ることができる．４次元ではその特殊性から本当に正多面体になるわけである．正２４胞体の頂点をうまくとると正１６胞体をなし．その代表的な軸は
（１，１，１，１），（１，１，１−１），（２，０，０，０）
で，これらは互いに６０°をなす．
たとえば，ひとつの面（２，０，０，０），（１，１，１，１），（１，１，１，−１）の中心（４／３，２／３，２／３，０）に対し，この面を境とする胞（正八面体）の中心（１，１，０，０），（１，０，１，０）を結ぶ形となるから，正２４胞体の二面角は１２０°になることがわかる．
正２４胞体の構成には他の方法もあり，（その１４）で述べた（±１，±１，０，０）を置換した２４点から作るものである．これは正８胞体の２次元面２４この中心をとったものである．
［３］３次元の正八面体の各辺を黄金分割した１２点をとると，正２０面体の頂点になるが，この操作を正２４胞体の各胞（正八面体）に施すと１２０個の正四面体に囲まれた準正多面体ができる．正６００胞体はこの図形から作ることができる．最初の正２４胞体の頂点をτ倍して（±τ，±τ，０，０）の置換と（±τ，±１，±１／τ，０）の偶置換をとるのであるが，正６００胞体の１２０個の頂点をうまくとると，正５，８，１６，２４胞体を作ることができる．
４次元正１２０胞体の構成は４次元正正多胞体のなかでも最も厄介であるが，６００個の頂点の座標は
（±２，±２，０，０），（±√５，±１，±１，±１），（±τ，±τ，±τ，±１／τ^2），（±τ^2，±１／τ，±１／τ，±１／τ）の置換と（±τ^2，±１／τ^2，±１，０），（±√５，±１／τ，±τ，０），（±２，±１，±τ，±１／τ）の偶置換で与えられる．
これを√２倍して回転すると
（√５，√５，√５，１），（τ^2，τ^2，√５／τ，１／τ），（（３√５＋１）／２，１／τ，１／τ，１／τ），（τ√５，τ，１／τ^2，１／τ^2）およびこれに偶数個の負号をつけた点の置換，（（３√５−１）／２，τ，τ，τ），（３，√５，１，１）およびこれに奇数個の負号をつけた点の置換，（±４，０，０，０），（±２τ，±２，±２／τ，０），（±２，±２，±２，±２）の置換で与えられる．
興味深いことに，正１２０胞体の頂点をうまくとると，他の正５，８，１６，２４，６００胞体をすべて作ることができる．その意味で，正１２０胞体は４次元の「万有正多面体」である．３次元の正１２面体の頂点からは正４面体と立方体を作ることができるが，正８面体と正２０面体は面の中心を使わなければ作ることができないから，正１２０胞体ほど完全な万有正多面体ではないのである．
正１２０胞体の胞の中心は正６００胞体の頂点をなし，それらを繋ぐ線分７２０本は正６００胞体の辺と同じ配置である．ところが，正６００胞体の辺はちょうど７２個の平面上の正１０角形をなし，その内角は１４４°，したがって正１２０胞体の二面角も１４４°となる．正１２０胞体の二面角が正確に１４４°であることはいささか意外であろう．
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