（その１３）の証明でよいと思うのだが，最初の証明を試みたとき，次のように誤ってしまったことを白状しておく．しかもその誤りに長いこと気づかないでいたのだが，誤りは正１２０胞体が「万有正多面体」であることと関係している．興味のある読者は試してもらいたい．
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【１】失敗例
６種類の正多面体での分解合同（分解相似？）の関係式は，
Ｎ1δ5＋Ｎ2δ120＋Ｎ3δ600≠０ （ｍｏｄ π）
と書くことができる．
複素数の積
Ｚ＝ｎ^Ｎ1-1ｕ^Ｎ1・ｎ^Ｎ2-1ｖ^Ｎ2・ｎ^Ｎ3-1ｗ^Ｎ3-1
を考える．複素数の掛け算は偏角の足し算に対応し，実数ｎ^Ｎ1-1，ｎ^Ｎ2-1，ｎ^Ｎ3-1の偏角はすべて０であるから，Ｚの偏角
Ａｒｇ（Ｚ）＝Ａｒｇ（ｎ^Ｎ1-1ｕ^Ｎ1・ｎ^Ｎ2-1ｖ^Ｎ2・ｎ^Ｎ3-1ｗ^Ｎ3-1）＝Ａｒｇ（ｕ^Ｎ1）＋Ａｒｇ（ｖ^Ｎ2）＋Ａｒｇ（ｗ^Ｎ3）
がｎπにならないこと，すなわち，ｕ^Ｎ1・ｖ^Ｎ2・ｗ^Ｎ3の虚部
Ｉｍ（ｕ^Ｎ1・ｖ^Ｎ2・ｗ^Ｎ3）
が０にはならないことがいえればよいことになる．
結局
Ｚ＝（ａ1ｕ＋ｂ1）（ａ2ｖ＋ｂ2）（ａ3ｗ＋ｂ3）＝Ｒｅ＋Ｉｍｉ
Ｉｍ≠０
ａ1≠０，ｂ1≠０
ｃ2，ｄ2は同時に０とはならない，ｅ2，ｆ2は同時に０とはならない
ｃ3，ｄ3は同時に０とはならない，ｅ3，ｆ3は同時に０とはならない
ａ1≠０，ｂ1＝０ （ｍｏｄ ２）
ｍ＝２ → ｃ2≠０，ｄ2≠０，ｅ2＝０，ｆ2＝０ （ｍｏｄ ２）
ｍ≠２ → ｃ2＝０，ｄ2＝０，ｅ2＝０，ｆ2＝０ （ｍｏｄ ２）
ｍ＝２ → ｃ3≠０，ｄ3≠０，ｅ3＝０，ｆ3＝０ （ｍｏｄ ２）
ｍ≠２ → ｃ3＝０，ｄ3＝０，ｅ3＝０，ｆ3＝０ （ｍｏｄ ２）
に帰着されれば，Ｎ1δ5＋Ｎ2δ120＋Ｎ3δ600は有理係数で線形独立であり，必要な原子が最低４種類という結論が主張できることになる．
Ｉｍ＝Ａ1＋Ｂ1√３＋Ｃ1√５＋Ｄ1√１５＋（１０−２√５）^1/2（Ａ2＋Ｂ2√３＋Ｃ2√５＋Ｄ2√１５）
と展開される．
Ａ2＝−ａ2（４ａ1ａ3＋ａ3ｂ1−２ａ1ｂ3−８ｂ1ｂ3）／３２
Ｂ2＝０
Ｃ2＝−３ａ2ａ3ｂ1／３２
Ｄ2＝０
であるが，ａ2，ａ3，ｂ2，ｂ3のなかには√５が含まれるから，あらためて係数を書き下すと
Ａ2＝−（２ａ1ｃ2（ｃ3−ｅ3）＋１０ａ1ｄ2（ｄ3−ｆ3）＋ｂ1ｃ2（ｃ3−８ｅ3）＋５ｂ1ｄ2（ｄ3−８ｆ3））／３２−１５ｂ1（ｃ2ｄ3＋ｃ3ｄ2）／３２
Ｂ2＝０
Ｃ2＝−（２ａ1ｄ2（ｃ3−ｅ3）＋２ａ1ｃ2（ｄ3−ｆ3）＋ｂ1ｄ2（ｃ3−８ｅ3）＋ｂ1ｃ2（ｄ3−８ｆ3））／３２−３ｂ1（ｃ2ｃ3＋ｄ2ｄ3）／３２
Ｄ2＝０
Ｃ2＝０となるためには，ａ1≠０，ｂ1＝０（ｍｏｄ２）であるから
ｄ2（ｃ3−ｅ3）＋ｃ2（ｄ3−ｆ3）＝０かつ
ｄ2（ｃ3−８ｅ3）＋ｃ2（ｄ3−８ｆ3）−３（ｃ2ｃ3＋ｄ2ｄ3）＝０
すなわち，７（ｄ2ｅ3＋ｃ2ｆ3）＋３（ｃ2ｃ3＋ｄ2ｄ3）＝０
ｃ2（７ｆ3＋３ｃ3）＋ｄ2（７ｅ3＋３ｄ3）＝０
より
７ｆ3＋３ｃ3＝０かつ７ｅ3＋３ｄ3＝０
一方，Ａ2＝０となるためには
２ｃ2（ｃ3−ｅ3）＋１０ｄ2（ｄ3−ｆ3）＝０かつ
２ｃ2（ｃ3−８ｅ3）＋１０ｄ2（ｄ3−８ｆ3））−３０（ｃ2ｄ3＋ｃ3ｄ2）＝０
すなわち，３ｃ2ｅ3＋１４ｄ2ｆ3＋１０（ｃ2ｄ3＋ｃ3ｄ2）＝０
ｃ2（３ｅ3＋１０ｄ3）＋ｄ2（１４ｆ3＋１０ｃ3）＝０
より，
３ｅ3＋１０ｄ3＝０かつ１４ｆ3＋１０ｃ3＝０
両者が同時に０となるのは
ｃ3＝ｄ3＝０，ｅ3＝ｆ3＝０
の場合で，これは条件に反する．このことから，Ａ2とＣ2が同時に０とはならないことがわかる．よって，Ｉｍ≠０がいえる．すなわち，４次元の正多胞体の元素数は≧４である．
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【２】正多面体の構成
立方体は８点（±１，±１，±１）を頂点とする立体として，正八面体は６点（±１，０，０），（０，±１，０），（０，０，±１）を頂点とする立体として作ることができる．正四面体は立方体のひとつおきの頂点（１，１，１），（１，−１，−１），（−１，１，−１），（−１，−１，１）を結んでできる．
正二十面体は正八面体の各辺を黄金分割した点を結んでできるから，その頂点は１２点（±τ，±１，０），（±１，０，±τ），（０，±τ，±１）でである．正十二面体の頂点は立方体の頂点（±１，±１，±１）と（±τ，１／τ，０）の巡回置換で表される点２０個を結んでできる．
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【３】４次元正多胞体の構成
正８胞体は１６頂点（±１，±１，±１，±１），正１６胞体は８頂点（±１，０，０，０），（０，±１，０，０），（０，０，±１，０）（０，０，０，±１）を結んでできる．正５胞体は（１，０，０，０），（０，１，０，０），（０，０，１，０），（０，０，０，１），（（１−τ）／２，（１−τ）／２，（１−τ）／２，（１−τ）／２）を結んでできる．
正２４胞体の頂点の座標は
（±１，±１，０，０），（±１，０，±１，０），（±１，０，０，±１），（０，±１，±１，０），（０，±１，０，±１），（０，０，±１，±１）で与えられる（±１の個数は２つ）．正２４胞体は３次元空間の菱形１２面体であるが，４次元の場合には空間の特殊性から正多面体なるというわけである．
正６００胞体の頂点の座標は
（±１，±１，±１，±１），（±２，０，０，０），（０，±２，０，０），（０，０，±２，０），（０，０，０，±２）の置換と（±τ，±１，±１／τ，０）の偶置換で与えられる．正６００胞体の１２０個の頂点をうまくとると，正５，８，１６，２４胞体を作ることができる．
４次元正１２０胞体の構成は４次元正正多胞体のなかでも最も厄介であるが，６００個の頂点の座標は
（±２，±２，０，０），（±√５，±１，±１，±１），（±τ，±τ，±τ，±１／τ^2），（±τ^2，±１／τ，±１／τ，±１／τ）の置換と（±τ^2，±１／τ^2，±１，０），（±√５，±１／τ，±τ，０），（±２，±１，±τ，±１／τ）の偶置換で与えられる．正１２０胞体の頂点をうまくとると，他の正５，８，１６，２４，６００胞体をすべて作ることができる．その意味で，正１２０胞体は４次元の「万有正多面体」である．３次元の正１２面体の頂点からは正４面体と立方体を作ることができるが，正８面体と正２０面体は面の中心を使わなければ作ることができないから，正１２０胞体ほど完全な万有正多面体ではないのである．
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