４次元正多胞体の二面角（二胞角というべきか）は

　　正５胞体　→　ｃｏｓδ5＝１／４，ｓｉｎδa＝√１５／４　（７５°ほど）

　　正８胞体　→　ｃｏｓδ8＝０，ｓｉｎδ8＝１　（９０°）

　　正１６胞体　→　ｃｏｓδ16＝−１／２，ｓｉｎδ16＝√３／２　（１２０°）

　　正２４胞体　→　ｃｏｓδ24＝−１／２，ｓｉｎδ24＝√３／２　（１２０°）

　　正１２０胞体　→　ｃｏｓδ120＝−（√５＋１）／４，ｓｉｎδ120＝（１０−２√５）^1/2／４　（１４４°）

　　正６００胞体　→　ｃｏｓδ600＝−（３√５＋１）／８，ｓｉｎδ600＝（√１５−√３）／８　（１６５°ほど）

である．

　単独で空間を充填する平面充填正多角形は３種類（正三角形・正方形・正六角形），空間充填正多面体は１種類（立方体）であるが，４次元空間を１種類の正多胞体で埋めつくす図形は，正８胞体，正１６胞体，正２４胞体の３種類であり，４次元の最密規則的充填構造Ｄ4は，正２４胞体で埋めつくされているときであることが知られている．

　　［参］一松信「高次元の正面胞体」日本評論社

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【１】４次元の空間充填形

　二面角が重要なのはｎ＋１次元正多胞体（ｐ1，ｐ2，・・・，ｐn）が存在するための必要条件が

　　δｐn＜２π

で表されるからです．これは３次元正多面体の場合，１点のまわりの角錐の角の和が４直角未満という条件の一般化にあたります．

　空間充填形ができるための必要条件は，二面角δが４直角の整数分の１であることです．超立方体の二面角はつねに９０°ですから，これによる空間充填形は何次元でも可能ということになります．超立方体の二面角はつねに９０°ですが，４次元の正軸体（正１６胞体）の２面角は１２０°，３個併せて３６０°であり，実際に空間充填形（３，３，４，３）ができます．その双対（３，４，３，３）も空間充填可能ですが，その構成要素は（３，４，３）すなわち４次元正２４胞体です．正２４胞体の二面角も同じく１２０°で，空間充填形というわけです．

　正１２０面体の二面角は正確に１４４°であり，実際正１０角形の内角に等しいことは図形的にもわかります．正６００面体の二面角は

　　ｃｏｓδ600＝−（３√５＋１）／８，ｓｉｎδ600＝（√１５−√３）／８

で，１６５°ほどになります．

　以上より，１種類の正多胞体による空間充填形をまとめると，平面充填形３種類，３次元空間充填形１種類，４次元空間充填３種類，５次元以上の空間充填形は１種類ということになります．

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【２】４次元の正多胞体元素定理

　　正５胞体　→　ｃｏｓδ5＝１／４，ｓｉｎδa＝√１５／４

　　正１２０胞体　→　ｃｏｓδ120＝−（√５＋１）／４，ｓｉｎδ120＝（１０−２√５）^1/2／４　（１４４°）

　　正６００胞体　→　ｃｏｓδ600＝−（３√５＋１）／８，ｓｉｎδ600＝（√１５−√３）／８　（１６５°ほど）

より，

　　ｕ＝１／４＋√１５／４ｉ

　　ｖ＝−（√５＋１）／４＋（１０−２√５）^1/2／４ｉ

　　ｗ＝−（３√５＋１）／８＋（√１５−√３）／８ｉ

とおく．｜ｕ｜＝１，｜ｖ｜＝１，｜ｗ｜＝１

　６種類の正多面体での分解合同（分解相似？）の関係式は，

　　Ｎ1δ5＋Ｎ3δ600≠０　　（ｍｏｄ　π）

とより簡潔に書くことができる．

［１］ｕ＝１／４＋ｉ√１５／４については，

　　ｕ−１／４＝ｉ√１５／４

より，ｕは２次方程式２ｕ^2−ｕ＋２＝０の解であるから，

　　２ｕ^2＝ｕ−２

　　２^2ｕ^3＝−３ｕ−２

　　２^3ｕ^4＝−７ｕ＋６

　　２^m-1ｕ^m＝ａ1ｕ＋ｂ1　　　（ａ1，ｂ1は整数でａ1≠０，ｂ1≠０）

が成り立つと仮定すると，ｍ＋１のとき

　　２^mｕ^m+1＝２ａ1ｕ^2＋２ｂ1ｕ＝ａ1（ｕ−２）＋２ｂ1ｕ

　＝（ａ1＋２ｂ1）ｕ−２ａ1

であるから

　　ａ1≠０，ｂ1＝０　ｍｏｄ　２

を示すことができる．

［２］ｖ＝−（√５＋１）／４＋ｉ（１０−２√５）^1/2／４については，

　　ｖ＋（√５＋１）／４＝ｉ（１０−２√５）^1/2／４

より，ｖは２次方程式２ｖ^2＋（√５＋１）ｖ＋２＝０の解である．

　　２ｖ^2＝−（１＋√５）ｖ−２

　　２^2ｖ^3＝２（１＋√５）ｖ＋２（１＋√５）

　　２^3ｖ^4＝−１８ｖ−４（１＋√５）

　　２^m-1ｖ^m＝ａ2ｖ＋ｂ2　　　（ａ2≠０，ｂ2≠０）

を考える．この場合，ａ2＝ｃ2＋ｄ2√５（ｃ2，ｄ2は整数で同時に０とはならない），ｂ2＝ｅ2＋ｆ2√５（ｅ2，ｆ2は整数で同時に０とはならない）の形となる．ｍのとき

　　２^m-1ｖ^m＝ａ2ｖ＋ｂ2＝（ｃ2＋ｄ2√５）ｖ＋（ｅ2＋ｆ2√５）

が成り立つと仮定すると，ｍ＋１のとき

　　２^mｖ^m+1＝２ａ2ｖ^2＋２ｂ2ｖ

＝−ａ2（（１＋√５）ｖ＋２）＋２ｂ2ｖ

＝（−ａ2（１＋√５）＋２ｂ2）ｖ−２ａ2

＝（（−ｃ2−５ｄ2＋２ｅ2）＋（−ｃ2−ｄ2＋２ｆ2）√５）ｖ−２（ｃ2＋ｄ2√５）

であるから，

　　ｍ＝２　→　ｃ2≠０，ｄ2≠０，ｅ2＝０，ｆ2＝０　　　（ｍｏｄ　２）

　　ｍ≠２　→　ｃ2＝０，ｄ2＝０，ｅ2＝０，ｆ2＝０　　　（ｍｏｄ　２）

がいえる．

［３］ｗ＝−（３√５＋１）／８＋（√１５−√３）／８ｉの場合は

　　ｗ＋（３√５＋１）／８＝ｉ（√１５−√３）／８

より，ｗは２次方程式４ｗ^2＋（３√５＋１）ｗ＋４＝０の解である．

　　４ｗ^2＝−（１＋３√５）ｗ−４

　　４^2ｗ^3＝６（５＋√５）ｗ＋４（１＋√５）

　　４^3ｗ^4＝−８（１３＋１０√５）ｗ−２４（５＋√５）

　　４^m-1ｗ^m＝ａ3ｗ＋ｂ3　　　（ａ3≠０，ｂ3≠０）

を考える．ｍのとき

　　４^m-1ｗ^m＝ａ3ｚ＋ｂ3＝（ｃ3＋ｄ3√５）ｖ＋（ｅ3＋ｆ3√５）

（ｃ3，ｄ3は整数で同時に０とはならない．ｅ3，ｆ3は整数で同時に０とはならない）が成り立つと仮定すると，ｍ＋１のとき

　　４^mｗ^m+1＝４ａ3ｗ^2＋４ｂ3ｗ

＝−ａ3（（１＋３√５）ｗ＋４）＋４ｂ3ｗ

＝（−ａ3（１＋３√５）＋４ｂ3）ｗ−４ａ3

＝（（−ｃ3−１５ｄ3＋４ｅ3）＋（−３ｃ3−ｄ3＋４ｆ3）√５）ｗ−４（ｃ3＋ｄ3√５）

であるから，

　　ｍ＝２　→　ｃ3≠０，ｄ3≠０，ｅ3＝０，ｆ3＝０　　　（ｍｏｄ　２）

　　ｍ≠２　→　ｃ3＝０，ｄ3＝０，ｅ3＝０，ｆ3＝０　　　（ｍｏｄ　２）

がいえる．

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

　ここで，複素数の積

　　Ｚ＝ｎ^Ｎ1-1ｕ^Ｎ1・ｎ^Ｎ3-1ｗ^Ｎ3-1

を考える．複素数の掛け算は偏角の足し算に対応し，実数ｎ^Ｎ1-1，ｎ^Ｎ3-1の偏角はすべて０であるから，Ｚの偏角

　　Ａｒｇ（Ｚ）＝Ａｒｇ（ｎ^Ｎ1-1ｕ^Ｎ1・ｎ^Ｎ3-1ｗ^Ｎ3-1）＝Ａｒｇ（ｕ^Ｎ1）＋Ａｒｇ（ｗ^Ｎ3）

がｎπにならないこと，すなわち，ｕ^Ｎ1・ｗ^Ｎ3の虚部

　　Ｉｍ（ｕ^Ｎ1・ｗ^Ｎ3）

が０にはならないことがいえればよいことになる．

　結局

　　Ｚ＝（ａ1ｕ＋ｂ1）（ａ3ｗ＋ｂ3）＝Ｒｅ＋Ｉｍｉ

　　Ｉｍ≠０

　　ａ1≠０，ｂ1≠０

　ｃ3，ｄ3は同時に０とはならない，ｅ3，ｆ3は同時に０とはならない

　　ａ1≠０，ｂ1＝０　　　（ｍｏｄ　２）

　　ｍ＝２　→　ｃ3≠０，ｄ3≠０，ｅ3＝０，ｆ3＝０　　　（ｍｏｄ　２）

　　ｍ≠２　→　ｃ3＝０，ｄ3＝０，ｅ3＝０，ｆ3＝０　　　（ｍｏｄ　２）

に帰着されれば，Ｎ1δ5＋Ｎ3δ600は有理係数で線形独立であり，必要な原子が最低４種類という結論が主張できることになる．

　　Ｉｍ＝Ａ1＋Ｂ1√３＋Ｃ1√５＋Ｄ1√１５

と展開される．

　　Ａ1＝０

　　Ｂ1＝−ａ1ａ3／２−ａ3ｂ1／８

　　Ｃ1＝０

　　Ｄ1＝ａ3ｂ1／８＋ａ1ｂ3／４

であるが，ａ3，ｂ3のなかには√５が含まれるから，あらためて係数を書き下すと

　　Ａ1＝−ｃ3（４ａ1＋ｂ1）／８

　　Ｂ1＝（ｃ3ｂ1＋１０ｆ3ａ1）／８

　　Ｃ1＝−ｄ3（４ａ1＋ｂ1）／８

　　Ｄ1＝（ｄ3ｂ1＋２ｅ3ａ1）／８

　Ｂ1とＤ1が同時に０となるのは

　　ｃ3＝ｄ3＝０，ｅ3＝ｆ3＝０

の場合で，これは条件に反する．このことから，Ｂ1とＤ1が同時に０とはならないことがわかる．よって，Ｉｍ≠０がいえる．すなわち，４次元の正多胞体の元素数は≧３である．

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