R^2の正多角形は無限個ある．それに対して，R^3のなかの正多面体は５種類，R^4では６種類，５次以上では正（ｎ＋１）胞体（正４面体の拡張），正２ｎ胞体（正６面体の拡張），正２^n胞体（正８面体の拡張）の３種類しか存在しないことが知られている．
すなわち，五次元以上のｎ次元の場合は，２ｎ個の頂点と２^n個の辺をもつ双対立方体（三次元では正八面体），２^n個の頂点と２ｎ個の辺をもつ立方体，ｎ＋１個の頂点とｎ＋１個の辺をもつ正単体（三次元では正四面体）の３つですべての正多面体をつくしているのである．
今回のコラムでは，この３種類の正多胞体の二面角（注：二胞角というべきですが３次元の場合の用語を転用）を求め，それらの間に成り立つ元素定理について述べることにする．
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【１】高次元の正多胞体
ｎ次元空間において，標準正多胞体以外に正多胞体がなく，二面角がそれぞれ７２°，１２０°より大きければｎ＋１次元においても標準正多胞体以外にはあり得ません．二面角はｎとともに増加するので，ｎ次元以上の空間では３種類の標準正多胞体しかありえないことになります．このような状況はｎ＝５で生ずるので，６次元以上の空間でも３種類の標準正多胞体に限られることになります．
高次元の正多胞体といっても，５次元以上では３種類の標準正凸多胞体しかなく，５次元正多胞体の胞数は正６胞体，正１０胞体，正３２胞体になるというわけです．なお，５次元以上では凹正多胞体も存在しないわけですから，その意味では平凡な次元といってよいのですが，それに対して４次元は本質的に多彩です．三次元の場合はこれらの他に２つの正多面体＜正十二面体と正二十面体＞があり，四次元の場合は他に３つ＜正２４胞体，正１２０胞体，正６００胞体＞あるといったほうがわかりやすいかと思われます．その意味で，３次元・４次元は特殊な次元なのです．
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【２】ｎ次元立方体の二面角
０次元の点がまっすぐ動くと１次元の線分になる．１次元の線分が平面の上で自分と直角の方向に同じ長さだけ動くと，２次元の正方形になる．２次元の正方形が３次元空間の中で自分と直角方向に１辺の長さだけ動くと，３次元の立方体となる．この３次元立方体が４次元空間の中で自分と直角方向に１辺の長さだけ動くと，同じ大きさの８個の立方体からなる４次元の立方体（正８胞体）になる・・・．こうしてｎ次元立方体（正２ｎ胞体）ができあがる．
ｎ次元立方体は，
頂点数： ２^n，
稜数： ２^(n-1)ｎ，
四角形数：２^(n-3)ｎ（ｎ−１）
からなっている．このうち，頂点は（±１，±１，・・・，±１）であるから，確かに２^n個あり，各頂点からはｎ本の稜がでるということがわかるだろう．この超立方体の稜の長さは２である．
面心の座標は
（±１，０，・・・，０）
（０，±１，・・・，０）
・・・・・・・・・・・・
（０，０，・・・，±１）
で，体心の座標は
（０，０，・・・，０）
であるから，たとえば，隣接する２面の面心
（１，０，・・・，０）
（０，１，・・・，０）
を選べば，超立方体の二面角はつねに９０°になる．したがって，これによる空間充填形は何次元でも可能ということになる→超立方体による空間充填形（４，３，・・・，３，３，４）．
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【３】ｎ次元双対立方体の二面角
それに対して，ｎ次元双対立方体では
頂点数： ２ｎ，
稜数： ２ｎ（ｎ−１），
三角形数：２ｎ（ｎ−１）^2／３
であり，各頂点からは２（ｎ−１）本の稜，すなわち，ｎ＝３では４本，ｎ＝６では１０本の稜がでる．各頂点のまわりには（ｎ−１）^2個の三角形，また，各稜のまわりにはｎ−１個の三角形が集まっている．
また，ｎ次元双対立方体の各頂点の座標は
（±１，０，・・・，０）
（０，±１，・・・，０）
・・・・・・・・・・・・
（０，０，・・・，±１）
で表される．
例えば，６次元双対立方体の頂点が
（＋１， ０， ０， ０， ０， ０）
の場合，１０個ある稜の対蹠点の座標は
（ ０，±１， ０， ０， ０， ０）
（ ０， ０，±１， ０， ０， ０）
（ ０， ０， ０，±１， ０， ０）
（ ０， ０， ０， ０，±１， ０）
（ ０， ０， ０， ０， ０，±１）
であり，稜の長さは√２である．
もう１個ある頂点
（−１， ０， ０， ０， ０， ０）
との距離は２であり，これとは結ばれない．すなわち，中心を通るもの以外のすべての対角線を入れればよいことがおわかり頂けるであろう．
面心の座標は
（±１／ｎ，±１／ｎ，・・・，±１／ｎ）
で，体心の座標は
（０，０，・・・，０）
であるから，たとえば，隣接する２面の面心
（１／ｎ，１／ｎ，・・・，１／ｎ）
（−１／ｎ，１／ｎ，・・・，１／ｎ）
を選べば，面心間距離は
ｃｏｓθ＝（ｎ−２）／ｎ
二面角はその補角であるから
ｃｏｓδ＝−（ｎ−２）／ｎ
と計算される．ｎ＝２のとき９０°→正方形による平面充填形（４，４）．ｎ＝４のとき１２０°→４次元正１６胞体による空間充填形（３，３，４，３）．
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【４】ｎ次元正単体の二面角
線分，三角形，四面体（三角錐）はそれぞれ最も簡単な１次元図形，２次元図形，３次元図形であるが，次元数ｎより１つ多い数の頂点によって作られる高次元図形を単体（シンプレックス）と呼ぶ．線分は一次元単体，三角形は二次元単体，三角錐は三次元単体とも呼ばれる所以である．
ｎ次元正単体の場合，
頂点数： ｎ＋１，
稜数： （ｎ＋１）ｎ／２，
三角形数：ｎ（ｎ^2−１）／６
である．すなわち，各頂点からはｎ本の稜がでて，すべての頂点を結ぶと単体ができあがることになる．各頂点のまわりにはｎ（ｎ−１）／２個の三角形，また，各稜のまわりにはｎ−１個の三角形が集まっている．
ｎ次元正単体の頂点の座標を
（１，０，・・・，０）
（０，１，・・・，０）
・・・・・・・・・・・
（０，０，・・・，１）
としよう．これらの頂点間距離は√２である．
これらの座標が与えられたとき，残りの１点の座標は
（ｘ，ｘ，・・・，ｘ）
とすることができる．他の頂点との距離は√２であるから，
（ｘ−１）^2＋（ｎ−１）ｘ^2＝２
すなわち，
ｎｘ^2−２ｘ−１＝０
を満たさなければならないことより，
ｘ＝｛１−√（１＋ｎ）｝／ｎ
が得られる．
ｎ＋１個の頂点：
Ｖ1（１，０，・・・，０）
Ｖ2（０，１，・・・，０）
・・・・・・・・・・・
Ｖn（０，０，・・・，１）
Ｖn+1（ｘ，ｘ，・・・，ｘ）
の中心座標（体心）は
（（ｘ＋１）／（ｎ＋１），・・・，（ｘ＋１）／（ｎ＋１））
底面
（１，０，・・・，０）
（０，１，・・・，０）
・・・・・・・・・・・
（０，０，・・・，１）
の重心（面心）は
（１／ｎ，１／ｎ，・・・，１／ｎ）
それに隣接する面
（ｘ，ｘ，・・・，ｘ）
（０，１，・・・，０）
・・・・・・・・・・・
（０，０，・・・，１）
の重心（面心）は
（ｘ／ｎ，（ｘ＋１）／ｎ，・・・，（ｘ＋１）／ｎ）
であるから，２つの連接する面心ベクトルは
（１／ｎ−（ｘ＋１）／（ｎ＋１），１／ｎ−（ｘ＋１）／（ｎ＋１），・・・，１／ｎ−（ｘ＋１）／（ｎ＋１））
（ｘ／ｎ−（ｘ＋１）／（ｎ＋１），（ｘ＋１）／ｎ−（ｘ＋１）／（ｎ＋１），・・・，（ｘ＋１）／ｎ−（ｘ＋１）／（ｎ＋１））
より，面心間距離は
ｃｏｓθ＝−１／ｎ
二面角はその補角であるから
ｃｏｓδ＝１／ｎ
と計算される．ｎ＝２以外のときは４直角の整数分の１にならないが，これは正三角形による平面充填形（３，６）に他ならない．
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【５】ｎ（≧５）次元の正多胞体元素定理
正ｎ＋１胞体 → ｃｏｓδa＝１／ｎ，ｓｉｎδa＝√（ｎ^2−１）／ｎ
正２ｎ胞体 → ｃｏｓδb＝０，ｓｉｎδb＝１
正２^n胞体 → ｃｏｓδc＝−（ｎ−２）／ｎ，ｓｉｎδc＝２√（ｎ−１）／ｎ
より，
ｕ＝１／ｎ＋√（ｎ^2−１）／ｎｉ
ｖ＝ｉ
ｗ＝−（ｎ−２）／ｎ＋√（ｎ−１）／ｎｉ
とおく．｜ｕ｜＝１，｜ｖ｜＝１，｜ｗ｜＝１
３種類の正多面体での分解合同（分解相似？）の関係式
ｎ1δa＋ｎδb＋ｎ3δc≠ｋπ
ｎ1δa＋ｎδb＋ｎ3δc≠０ （ｍｏｄ π）
は，δb＝π／２より，
Ｎ1δa＋Ｎ2δc≠０ （ｍｏｄ π）
とより簡潔に書くことができる．
ｕ＝１／ｎ＋ｉ√（ｎ^2−１）／ｎについては，
ｕ−１／ｎ＝ｉ√（ｎ^2−１）／ｎ
より，ｕは２次方程式ｎｕ^2−２ｕ＋ｎ＝０の解である．
ｎｕ^2＝２ｕ−ｎ
ｎ^2ｕ^3＝２ｎｕ^2−ｎ^2ｕ＝２（２ｕ−ｎ）−ｎ^2ｕ
＝（４−ｎ^2）ｕ−２ｎ
帰納法により
ｎ^m-1ｕ^m＝ａ1ｕ＋ｂ1 （ａ1≠０，ｂ1＝０ ｍｏｄ ｎ）
を示すことが出来る．
同様に，ｗ＝−（ｎ−２）／ｎ＋２√（ｎ−１）／ｎｉについては，
ｗ＋（ｎ−２）／ｎ＝ｉ２√（ｎ−１）／ｎ
より，ｗは２次方程式ｎｗ^2＋２（ｎ−２）ｗ＋ｎ＝０の解であり，
ｎ^m-1ｗ^m＝ａ2ｗ＋ｂ2 （ａ2≠０，ｂ2＝０ ｍｏｄ ｎ）
がいえる．
ここで，複素数の積
Ｚ＝ｎ^Ｎ1-1ｕ^Ｎ1・ｎ^Ｎ2-1ｗ^Ｎ2
を考える．複素数の掛け算は偏角の足し算に対応し，実数ｎ^Ｎ1-1，ｎ^Ｎ2-1の偏角はすべて０であるから，Ｚの偏角
Ａｒｇ（Ｚ）＝Ａｒｇ（ｕ^Ｎ1・ｗ^Ｎ2）＝Ａｒｇ（ｕ^Ｎ1）＋Ａｒｇ（ｗ^Ｎ2）
がｎπにならないこと，すなわち，ｕ^Ｎ1・ｗ^Ｎ2の虚部
Ｉｍ（ｕ^Ｎ1・ｗ^Ｎ2）
が０にはならないことがいえればよいことになる．
結局
Ｚ＝（ａ1ｕ＋ｂ1）（ａ2ｗ＋ｂ2）＝Ｒｅ＋Ｉｍｉ
Ｉｍ≠０
ａ1≠０，ｂ1＝０ （ｍｏｄ ｎ）
ａ2≠０，ｂ2＝０ （ｍｏｄ ｎ）
に帰着されれば，Ｎ1δa＋Ｎ2δcは有理係数で線形独立であり，必要な原子が最低３種類という結論が主張できることになる．実際，
Ｉｍ＝√（ｎ−１）／ｎ^2｛２ａ2（ａ1＋ｂ1ｎ）＋ａ1（ａ2＋ｂ2ｎ）√（ｎ−１）｝
と展開されるが，ａ1（ａ2＋ｂ2ｎ）≠０により，Ｉｍ≠０がいえる．すなわち，ｎ（≧５）次元の正多胞体の元素数は≧３である．
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