オイラーの多面体定理を使うと

［１］２次元細胞の辺数の平均は≦６であり，すべての細胞が６辺以上の辺をもつことは不可能である

［２］３次元細胞の面数の平均は≦１４であり，すべての細胞が１４面以上の面をもつことは不可能である

ことが証明される．

　２次元細胞の多くは６角形であり，３次元細胞の多くには１４面体であることはわかったが，４次元，５次元，・・・，ｎ次元での空間充填多面体の基本形はどうなるのだろう？　どのような形になるのかを知る人は（たとえいたとしても）非常に少ないであろう．そこで「ｎ次元の舗石定理」をまとめておきたい．

［１］ｎ次元空間充填では，各頂点の周りに少なくともｎ＋１個の多面体が集まる（ルベーグ）．

［２］ｎ＋１個のとき，ボロノイ細胞の面数は最大２（２^n−１）個で，安定な空間充填となる（ミンコフスキー）．

　今回のコラムではミンコフスキーの定理の簡単な証明について述べるが，そこには落とし穴があり，ｎ次元では２次元，３次元同様のレンガのブロック積みを考えてもうまくいかないのである．

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【１】ｎ次元多面体の構成要素数

　ｆkをｎ次元多面体のｋ次元面の数とし，

　　（ｆ0，ｆ1，・・・，ｆn-2，ｆn-1）

を構成要素とするｎ次元正多胞体では，組み合わせ的方法によって，ｋ次元胞数ｆkが求められる．たとえば，正単体では

　　ｆk＝（ｎ＋１，ｋ＋１）

なのですが，ｋ＝ｎ−１のときｆk＝ｎ＋１であって，胞数はｎ＋１と計算される．

　同様に，双対立方体では

　　ｆk＝２^k+1（ｎ，ｋ＋１），ｋ＝ｎ−１のとき，ｆk＝２^n

立方体では

　　ｆk＝２^n-k（ｎ，ｋ），ｋ＝ｎ−１のとき，ｆk＝２ｎ

となる．

　もちろん，

　　正単体：ｆk＝（ｎ＋１，ｋ＋１）

　　双対立方体：ｆk＝２^k+1（ｎ，ｋ＋１）

　　立方体：ｆk＝２^n-k（ｎ，ｋ）

はオイラー・ポアンカレの定理：

　　ｆ0−ｆ1＋ｆ2−・・・＋（−１）^(n-1)ｆn-1＝１−（−１）^n

すなわち，ｎが奇数なら２，偶数なら０を満たす．この定理は正多胞体に限らず，ｎ次元凸多胞体について常に成立する．

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【２】ヒントンの単体ブロックモデル

　ｎ次元空間充填ではどの頂点でも最低ｎ＋１個の多面体が出会わなければならない（ルベーグの舗石定理）．すべての頂点でｎ＋１個の多面体が出会う場合，ｎ次元ボロノイ細胞の１個の頂点の周りにｎ個のｎ−１次元面が集まることがわかる．すなわち，単体的多面体である．

　このことからｎ次元空間充填ではｎ次元立方体ではなく，ｎ次元正単体をイメージしたほうがわかりやすくなる．２次元の場合は正三角形を切頂した図形が正六角形になり，３次元空間でいえば，立方体を直接切頂して切頂八面体を作るのではなく，正四面体を切稜・切頂した図形として切頂八面体を作る操作を考えれば理解しやすくなるだろう．

　実際，切頂八面体は正方形面を上にして置くと立方体（あるいは正八面体）を切頂した図形にみえるが，正六角形面を上にして置くと正四面体を切稜・切頂した図形になっていることがわかる．同様に，４次元ではこの操作により頂点は切頂八面体，辺は六角柱の３０胞体となる．このように，４次元の空間充填の基本形は３０胞体となるのだが，一般にｎ次元空間の空間充填多胞体は正単体を切稜・切頂した２（２^n−１）胞体となるというのがヒントンモデルである．

　ヒントンモデルを定量的に表現すると，ｎ次元空間の空間充填多胞体を正（ｎ＋１）胞体から構成する場合，頂点数はｎ＋１個，辺数はｎ（ｎ＋１）／２個，面数は（ｎ−１）ｎ（ｎ＋１）／６個，・・・．

　　Σ(k=0~n-1)（ｎ＋１，ｋ＋１）＝２^(n+1)−２

すなわち，構成要素数は計２（２^n−１）個であり，そしてこれが圧縮されると構成要素の数だけ（ｎ−１）次元面ができる．

［補］ヒントンは，１９世紀終わりから２０世紀初めにかけて，ケルビンと同じころのイギリスの数学者である(1853-1907)．

　　ヒントン（宮川雅訳）「科学的ロマンス集」国書刊行会

を読むと，モーリー，ハミルトン，ケイリーの仕事に関する純粋な数学論文も著したが，彼の主要な関心は４次元空間であり，４次元についての最初の著作「第４の次元とが何か」が発表されたのは１８８０年，ヒントンが２７才のときのことだったとある．

　テッサラクト（４次元立方体）は彼の造語であり，ペンネームでもあった．お雇い外国人数学者として日本（横浜山手）に滞在していたという記録も残されている．また，ヒントンは４次元空間の１種類だけの多胞体による空間充填図形として，３次元の六角柱と切頂八面体を組み合わせた３０胞体を提案していたとのことである．

　ヒントンは異端の神秘主義的傾向ゆえ悪名が高かったが，コクセターは１３才の頃にヒントンの著作に出会い「第４の次元とは何か」を繰り返し読んで，超空間への思考を培ったという．

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【３】コンウェイの単体ブロックモデル

　ｎ次元の空間充填図形が立方格子を基にして導出されるという考え方からすれば，ヒントンの考察は頗る意外なものであろう．ヒントンの考察「はじめに単体ありき」は答えとしてはあっているのだが，自然な発想「はじめに格子ありき」とかけ離れていて，意外すぎて（少なくとも私にとっては）心理的抵抗感が大きく，面食らうばかりである．

　コンウェイは平行多面体の概念を取り入れて，立方体モデルと単体モデルの統合を図っている．ｎ次元立方体には２ｎ個の面があり，それに対して正単体の面数はｎ＋１である．２つの正単体を底面で２つ併せることによって，面数は

　　２（ｎ＋１）−２＝２ｎ

となるが，これは立方体の面数に等しい．すなわち，定量的には立方体モデルとヒントンモデルの折衷になっていることがわかる．

　そして，コンウェイモデルでは，ヒントンモデルとは違って単体の１つの頂点だけに注目する．１つ頂点の周りにはｎ−１次元超平面がｎ個，ｎ−１次元超平面の辺（ｎ−２次元超平面）がｎ（ｎ−１）／２個，ｎ−１次元超平面の角（ｎ−３次元超平面）がｎ（ｎ−１）（ｎ−２）／６個，・・・

　　Σ(k=1~n)（ｎ，ｋ）＝２^n−１

で計２^n−１個．平行多面体ではこれが２つ併合されて計２（２^n−１）個の構成要素があることになる．

　２次元の場合は正三角形を切頂した図形（台形）を２つ併せて正六角形になる．一般にｎ次元空間の空間充填多胞体は正（ｎ＋１）胞体を２つ併せたような２ｎ面体から得られる２（２^n−１）胞体となるというのがコンウェイモデルである．

　コンウェイモデルはボロノイベクトルを使ったアイディアである．ｎ次元ボロノイ細胞の決定に関与する基底ベクトルは２^n−１個あり，したがって平行多面体の面の数は最大で２（２^n−１）個であることに由来している．くどくなるので詳細な説明は差し控えるが，ボロノイベクトルを使うと面の形を知ることもできる．

　たとえば，３次元では４組（８枚）の六角形面と３組（六枚）の四角形面からなる１４面体が得られる．３次元空間を充填するとき，切頂八面体は各頂点の周りに４個ずつ集まる．１点に４個の多面体が会すると頂点や辺だけで接している多面体がなくなり，ボロノイ分割に対して安定となる．４次元では５組（１０個）の切頂八面体と１０組（２０個）の六角柱からなる３０胞体となる．これはケルビンの立体の４次元版で，各頂点の周りに５個ずつ集まることになるといった類である．

　また，立方体モデルやヒントンの単体モデルはｎ−１次元の面をｎ次元の空間の中に収まっているものとしてみたモデルであるが，それに対して，コンウェイの単体モデルは単純に立方体を単体で置き換えたものではなく，その面がその内部情報からその面を離れられない生物にとって何がわかるかという内在的幾何学の例になっている．この点がコンウェイモデルの最大の特長である．局所情報から大域的な情報を引き出す幾何学の例といってもよいであろう．

　コンウェイモデルの方が心理的抵抗感の少ない導入が可能と思われるが，この多胞体は安定かつ面数が最大の空間充填多胞体となる．

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