すでに中川宏さんの手によってすべての正多面体・準正多面体の木工模型が完成していますが，今回のコラムではこれらのなかから切頂・切稜型の計量について考えてみることにします．

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【１】切頂・切稜型多面体の計量

　まず，切頂優位型（切稜多面体のｑ角錐の根本よりも深く切頂する場合）について説明しますが，

　　［参］一松信「正多面体を解く」東海大学出版会

にしたがって，もとになる立体の１辺の長さをａ，切稜パラメータをｘ，切頂パラメータをｙとおくと，

(1)２ｐ角形面と４角形面に挟まれる辺の長さは

　　ｂ＝ａ＋２ｘｃｏｓ（２π／ｐ）−２ｘ−２ｙ

(2)２ｐ角形面と２ｑ角形面に挟まれる辺の長さは

　　ｃ＝２ｙｃｏｓ（π／ｐ）

(3)４角形面と２ｑ角形面に挟まれる辺の長さは

　　ｄ＝２ｘｃｏｓ（π／ｐ）

で与えられます．

　また，正多面体のある頂点から隣接する頂点までの距離のどのくらいを切稜，切頂するのか，その切稜率をｓ，切頂率をｔとおくと

　　ｓａ＝ｘ，ｔａ＝２ｘ＋ｙ　　　（０≦ｓ≦０．５，０≦ｔ≦１）

ですから

　　ｘ＝ｓａ，ｙ＝（ｔ−２ｓ）ａ

　準正多面体になるための条件は，ｂ＝ｃ＝ｄですから

　　１＋２ｓｃｏｓ（２π／ｐ）−２ｓ−２ｔ＋４ｓ

　＝２（ｔ−２ｓ）ｃｏｓ（π／ｐ）

　＝２ｓｃｏｓ（π／ｐ）

より

　　ｔ−２ｓ＝ｓ　→　ｔ＝３ｓ

　これを代入すると

　　１＋２ｓｃｏｓ（２π／ｐ）−４ｓ＝２ｓｃｏｓ（π／ｐ）

となり，

　　ｓ＝１／（４−２ｃｏｓ（２π／ｐ）＋２ｃｏｓ（π／ｐ））

　したがって，ｐ＝４（立方体）では，この多面体は大菱形立方八面体になりますが

　　ｓ＝１／（４＋√２），ｔ＝３ｓ

ｐ＝５（正１２面体）では大菱形１２・２０面体になりますが

　　ｓ＝１／５，ｔ＝３ｓ

となることがわかります．

　もし，四角形面が黄金長方形になるようにしたいならば

　　ｂ／ｄ＝τまたは１／τ

を解けばよいことも理解されます．

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　切稜優位型（根本で切頂する場合）では，ｙ＝０ですから

　　ｂ＝ａ＋２ｘｃｏｓ（２π／ｐ）−２ｘ

　　ｄ＝２ｘｃｏｓ（π／ｐ）

　準正多面体では，ｂ＝ｄより

　　１＋２ｓｃｏｓ（２π／ｐ）−２ｓ＝２ｓｃｏｓ（π／ｐ）

　　ｓ＝１／（２−２ｃｏｓ（２π／ｐ）＋２ｃｏｓ（π／ｐ））

したがって，ｐ＝４（立方体）では，この多面体は小菱形立方八面体であって

　　ｓ＝１／（２＋√２），ｔ＝２ｓ

ｐ＝５（正１２面体）では，この多面体は小菱形１２・２０面体であって

　　ｓ＝１／３，ｔ＝２ｓ

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　さらに，切頂型多面体では，ｘ＝０（ｓ＝０）とおいて

　　ｂ＝ａ−２ｙ

　　ｃ＝２ｙｃｏｓ（π／ｐ）

　準正多面体では，ｂ＝ｃより

　　１−２ｔ＝２ｔｃｏｓ（π／ｐ）

　　ｔ＝１／（２＋２ｃｏｓ（π／ｐ））

したがって，ｐ＝４（立方体）では

　　ｔ＝１／（２＋√２）

ｐ＝５（正１２面体）では

　　ｔ＝２／（５＋√５）

となることもわかります．

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【２】ｐ＝３の場合

［１］切頂優位型

　　ｓ＝１／６，ｔ＝３ｓ

　　正四面体→切頂八面体

　　正八面体→大菱形立方八面体

　　正二十面体→大菱形１２・２０面体

［２］切稜優位型

　　ｓ＝１／４，ｔ＝２ｓ

　　正四面体→立方八面体

　　正八面体→小菱形立方八面体

　　正二十面体→小菱形１２・２０面体

［３］切頂型

　　ｔ＝１／３

　　正四面体→切頂四面体

　　正八面体→切頂八面体

　　正二十面体→切頂二十面体

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