（その５３）ではフルヴィッツ・藤原曲線を回転させて，ｘ軸に関して対称になるように変換したつもりであったが，θは極座標（ｒ，θ）のパラメータではないので，θをθ＋３π／２（ｎ−１）で置き換えても回転しない．したがって，二面体群の対称性

　　Ｄ1：Ｆ（ｘ^2＋ｙ^2，ｘ）

　　Ｄ2：Ｆ（ｘ^2＋ｙ^2，ｘ^2）

　　Ｄ3：Ｆ（ｘ^2＋ｙ^2，ｘ（ｘ^2−３ｙ^2））

　　Ｄ4：Ｆ（ｘ^2＋ｙ^2，ｘ^2ｙ^2）

を利用する方法自体があやしくなってきたといえる．

　そこで，畏友・阪本ひろむ氏に検討をお願いしたのだが，

　　ｃｏｓθ＝±（１−ｔ^2）／（１＋ｔ^2）

　　ｓｉｎθ＝２ｔ／（１＋ｔ^2）

と置き換えたあと，グレブナー基底を利用して，フルヴィッツ・藤原曲線の直交座標の式を求める方法がもっとも良いという結論に至った．

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【１】フルヴィッツ・藤原曲線の代数曲線表示

　　ｘ＝（ｎ−１）ｓｉｎ（ｎ−１）θ・ｃｏｓ（θ＋３π／２（ｎ−１））−（ｃｏｓ（ｎ−１）θ＋（ｎ−１）^2−１）・ｓｉｎ（θ＋３π／２（ｎ−１））

　　ｙ＝（ｎ−１）ｓｉｎ（ｎ−１）θ・ｓｉｎ（θ＋３π／２（ｎ−１））＋（ｃｏｓ（ｎ−１）θ＋（ｎ−１）^2−１）・ｃｏｓ（θ＋３π／２（ｎ−１））

を展開して三角関数で表現し，ｔで置き換えて

　　ｘ＝ｘ（ｃｏｓθ，ｓｉｎθ）＝ｘ（ｔ）

　　ｙ＝ｙ（ｃｏｓθ，ｓｉｎθ）＝ｙ（ｔ）

とする．

　たとえば，ｎ＝３の場合，

　　ｘ＝３ｃｏｓθ／２＋ｃｏｓ^2θ／２−３ｓｉｎθ−３ｃｏｓθｓｉｎ^2θ／２

　　ｙ＝３ｃｏｓθ−３ｓｉｎθ／２＋３ｃｏｓ^2θｓｉｎθ−ｓｉｎ^3θ／２

　　（１＋ｔ^2）^3ｘ＝−３−３ｔ^2＋１６ｔ^3＋３ｔ4＋３ｔ^6

　　（１＋ｔ^2）^3ｙ＝２（−１＋３ｔ＋３ｔ^2＋６ｔ^3−３ｔ^4＋３ｔ^5＋ｔ^6）

このあと，グレブナー基底を利用すると直交座標の式

　　−４０９６＋７６８ｘ^2−２１ｘ^4＋ｘ^6−１０８ｘ^3ｙ＋７６８ｙ^2＋６６ｘ^2ｙ^2＋３x^4ｙ^2−１０８ｘｙ^3−２１ｙ^4＋３ｘ^2ｙ^4＋ｙ^6＝０

が求められる（６次式）．

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　ｎ＝４の場合は結果だけを記すが，８次式

　　−１８２２８４２６３＋４９６０１１６ｘ^2−１５１６３２ｘ^3−３２５６２ｘ^4＋４３２０ｘ^5＋３６ｘ^6−１６ｘ^7＋ｘ^8＋４９６０１１６ｙ^2＋４５４８９６ｘｙ^2−６５１２４ｘ^2ｙ^2−８６４０ｘ^3ｙ^2−４６８ｘ^4ｙ^2＋１６ｘ^5ｙ^2＋４ｘ^6ｙ^2−３２５６２ｙ^4−１２９６０ｘｙ^4＋４９６ｘ^2ｙ^4＋８０ｘ^3ｙ^4＋６x^4ｙ^4−２８ｙ^6＋４８ｘｙ^6＋４ｘ^2ｙ^6＋ｙ^8＝０

　以下，式が長くなるので割愛するが，フルヴィッツ・藤原曲線は２ｎ次式になることが確かめられている（Mathematicaを援用によってもｎ＝３からｎ＝８までであるが・・・）．

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