フルヴィッツ・藤原曲線の次数は2n次式になると思われますが,今回のコラムではフルヴィッツ・藤原曲線の次数のみではなく,直交座標の式を求める方法について考えてみることにします.
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【1】フルヴィッツ・藤原曲線の回転
正n角形の枠を(n-2)公転について1回自転させたときの包絡線の方程式は
x=(n-1)acos(n-1)θ・cosθ+(asin(n-1)θ-R)・sinθ
y=(n-1)acos(n-1)θ・sinθ-(asin(n-1)θ-R)・cosθ
で表されます.
ところで,公転に対する自転の向きによって,ペリトロコイド曲線は
x=Rcosθ+acos(n-1)θ
y=-Rsinθ-asin(n-1)θ
または
x=Rcos(-θ)+acos(n-1)θ
y=-Rsin(-θ)-asin(n-1)θ
で表されます.いずれの場合でもθ=0,θ=πのときy=0となってx軸に関して対称であるため都合がよかったのですが,フルヴィッツ・藤原曲線ではθ=0のときx=n-1,y=-Rですから,そううまくはいきません.
そこで,曲率が最大となる点を求めてみることにします.
ρ(θ)=p(θ)+p”(θ)=-{(n-1)^2-1}asin(n-1)θ-R
a=R/{(n-1)^2-1}
より,
ρ(θ)=-R{1+sin(n-1)θ)
すなわち
(n-1)θ=3π/2+2kπ (k=0~n-2)
のとき,曲率最大となります.
このことからθをθ+3π/2(n-1)で置き換えることにします.
cos(n-1)θ→sin(n-1)θ
sin(n-1)θ→-cos(n-1)θ
これで
x=(n-1)sin(n-1)θ・cos(θ+3π/2(n-1))-(cos(n-1)θ+(n-1)^2-1)・sin(θ+3π/2(n-1))
y=(n-1)sin(n-1)θ・sin(θ+3π/2(n-1))+(cos(n-1)θ+(n-1)^2-1)・cos(θ+3π/2(n-1))
はx軸に関して対称となります.
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【2】フルヴィッツ・藤原曲線の代数曲線表示
ここで,
D=((n-1)sin(n-1)θ)^2+(cos(n-1)θ+(n-1)^2-1)^2
とおくと
cos(θ+3π/2(n-1))={(n-1)sin(n-1)θ・x+(cos(n-1)θ+(n-1)^2-1)・y}/D
sin(θ+3π/2(n-1))={(n-1)sin(n-1)θ・y-(cos(n-1)θ+(n-1)^2-1)・x}/D
D0:x^2+y^2=D={1-(n-1)^2}cos^2(n-1)θ+2{(n-1)^2-1}cos(n-1)θ+{((n-1)^2-1)^2+(n-1)^2}
D0はcos(n-1)θの2次式で表されることになります.
n=3の場合,
x=2sin2θ・cos(θ+3π/4)-(cos2θ+3)・sin(θ+3π/4)
y=2sin2θ・sin(θ+3π/4)+(cos2θ+3)・cos(θ+3π/4))
D0:x^2+y^2=-3cos^22θ+6cos2θ+13
cos2θ=(3-(48-3(x^2+y^2)^1/2)/3=α
sin^22θ=1-α^2
cos^2θ=(1+α)/2
sin^2θ=(1-α)/2
cos^2(θ+3π/4)=(1+sin2θ)/2
sin^2(θ+3π/4)=(1-sin2θ)/2
sin(2θ+3π/2)=-cos2θ=-α
D2:x^2={2sin2θ・cos(θ+3π/4)-(cos2θ+3)・sin(θ+3π/4)}^2
より
x^2=(2sin2θ)^2・cos^2(θ+3π/4)+(cos2θ+3)^2・sin^2(θ+3π/4)-4sin2θ(cos2θ+3)・cos(θ+3π/4)sin(θ+3π/4)
x^2+1/2(3α^2-6α-13)=-1/2(α^2+6α-5)sin2θ
3α^2-6α-13=-(x^2+y^2)
を代入して,両辺を2乗すると
(x^2-1/2(x^2+y^2))^2=1/4(α^2+6α-5)^2sin^22θ=1/4(α^2+6α-5)^2(1-α^2)
さらに
α^2=2α+(13-x^2-y^2)/3
より
(x^2-1/2(x^2+y^2))^2=1/4(8α-(2+x^2+y^2)/3)^2(-2α-(10+x^2+y^2)/3)
このあとは根号部分だけを右辺に移行して両辺を2乗,それを整理するとフルヴィッツ・藤原曲線(n=3)の代数曲線表示が得られることがわかる.6次式ではなく8次式が得られそうであるが,実際の直交座標の式を求めるのは次回の宿題としたい.
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