■n角の穴をあけるドリル(その53)

 フルヴィッツ・藤原曲線の次数は2n次式になると思われますが,今回のコラムではフルヴィッツ・藤原曲線の次数のみではなく,直交座標の式を求める方法について考えてみることにします.

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【1】フルヴィッツ・藤原曲線の回転

 正n角形の枠を(n-2)公転について1回自転させたときの包絡線の方程式は

  x=(n-1)acos(n-1)θ・cosθ+(asin(n-1)θ-R)・sinθ

  y=(n-1)acos(n-1)θ・sinθ-(asin(n-1)θ-R)・cosθ

で表されます.

 ところで,公転に対する自転の向きによって,ペリトロコイド曲線は

  x=Rcosθ+acos(n-1)θ

  y=-Rsinθ-asin(n-1)θ

または

  x=Rcos(-θ)+acos(n-1)θ

  y=-Rsin(-θ)-asin(n-1)θ

で表されます.いずれの場合でもθ=0,θ=πのときy=0となってx軸に関して対称であるため都合がよかったのですが,フルヴィッツ・藤原曲線ではθ=0のときx=n-1,y=-Rですから,そううまくはいきません.

 そこで,曲率が最大となる点を求めてみることにします.

  ρ(θ)=p(θ)+p”(θ)=-{(n-1)^2-1}asin(n-1)θ-R

  a=R/{(n-1)^2-1}

より,

  ρ(θ)=-R{1+sin(n-1)θ)

すなわち

  (n-1)θ=3π/2+2kπ   (k=0~n-2)

のとき,曲率最大となります.

 このことからθをθ+3π/2(n-1)で置き換えることにします.

  cos(n-1)θ→sin(n-1)θ

  sin(n-1)θ→-cos(n-1)θ

これで

  x=(n-1)sin(n-1)θ・cos(θ+3π/2(n-1))-(cos(n-1)θ+(n-1)^2-1)・sin(θ+3π/2(n-1))

  y=(n-1)sin(n-1)θ・sin(θ+3π/2(n-1))+(cos(n-1)θ+(n-1)^2-1)・cos(θ+3π/2(n-1))

はx軸に関して対称となります.

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【2】フルヴィッツ・藤原曲線の代数曲線表示

 ここで,

  D=((n-1)sin(n-1)θ)^2+(cos(n-1)θ+(n-1)^2-1)^2

とおくと

  cos(θ+3π/2(n-1))={(n-1)sin(n-1)θ・x+(cos(n-1)θ+(n-1)^2-1)・y}/D

  sin(θ+3π/2(n-1))={(n-1)sin(n-1)θ・y-(cos(n-1)θ+(n-1)^2-1)・x}/D

  D0:x^2+y^2=D={1-(n-1)^2}cos^2(n-1)θ+2{(n-1)^2-1}cos(n-1)θ+{((n-1)^2-1)^2+(n-1)^2}

D0はcos(n-1)θの2次式で表されることになります.

 n=3の場合,

  x=2sin2θ・cos(θ+3π/4)-(cos2θ+3)・sin(θ+3π/4)

  y=2sin2θ・sin(θ+3π/4)+(cos2θ+3)・cos(θ+3π/4))

  D0:x^2+y^2=-3cos^22θ+6cos2θ+13

  cos2θ=(3-(48-3(x^2+y^2)^1/2)/3=α

  sin^22θ=1-α^2

  cos^2θ=(1+α)/2

  sin^2θ=(1-α)/2

  cos^2(θ+3π/4)=(1+sin2θ)/2

  sin^2(θ+3π/4)=(1-sin2θ)/2

  sin(2θ+3π/2)=-cos2θ=-α

  D2:x^2={2sin2θ・cos(θ+3π/4)-(cos2θ+3)・sin(θ+3π/4)}^2

より

  x^2=(2sin2θ)^2・cos^2(θ+3π/4)+(cos2θ+3)^2・sin^2(θ+3π/4)-4sin2θ(cos2θ+3)・cos(θ+3π/4)sin(θ+3π/4)

  x^2+1/2(3α^2-6α-13)=-1/2(α^2+6α-5)sin2θ

  3α^2-6α-13=-(x^2+y^2)

を代入して,両辺を2乗すると

  (x^2-1/2(x^2+y^2))^2=1/4(α^2+6α-5)^2sin^22θ=1/4(α^2+6α-5)^2(1-α^2)

さらに

  α^2=2α+(13-x^2-y^2)/3

より

  (x^2-1/2(x^2+y^2))^2=1/4(8α-(2+x^2+y^2)/3)^2(-2α-(10+x^2+y^2)/3)

 このあとは根号部分だけを右辺に移行して両辺を2乗,それを整理するとフルヴィッツ・藤原曲線(n=3)の代数曲線表示が得られることがわかる.6次式ではなく8次式が得られそうであるが,実際の直交座標の式を求めるのは次回の宿題としたい.

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