フルヴィッツ・藤原曲線の次数は２ｎ次式になると思われますが，今回のコラムではフルヴィッツ・藤原曲線の次数のみではなく，直交座標の式を求める方法について考えてみることにします．

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【１】フルヴィッツ・藤原曲線の回転

　正ｎ角形の枠を（ｎ−２）公転について１回自転させたときの包絡線の方程式は

　　ｘ＝（ｎ−１）ａｃｏｓ（ｎ−１）θ・ｃｏｓθ＋（ａｓｉｎ（ｎ−１）θ−Ｒ）・ｓｉｎθ

　　ｙ＝（ｎ−１）ａｃｏｓ（ｎ−１）θ・ｓｉｎθ−（ａｓｉｎ（ｎ−１）θ−Ｒ）・ｃｏｓθ

で表されます．

　ところで，公転に対する自転の向きによって，ペリトロコイド曲線は

　　ｘ＝Ｒｃｏｓθ＋ａｃｏｓ（ｎ−１）θ

　　ｙ＝−Ｒｓｉｎθ−ａｓｉｎ（ｎ−１）θ

または

　　ｘ＝Ｒｃｏｓ（−θ）＋ａｃｏｓ（ｎ−１）θ

　　ｙ＝−Ｒｓｉｎ（−θ）−ａｓｉｎ（ｎ−１）θ

で表されます．いずれの場合でもθ＝０，θ＝πのときｙ＝０となってｘ軸に関して対称であるため都合がよかったのですが，フルヴィッツ・藤原曲線ではθ＝０のときｘ＝ｎ−１，ｙ＝−Ｒですから，そううまくはいきません．

　そこで，曲率が最大となる点を求めてみることにします．

　　ρ（θ）＝ｐ（θ）＋ｐ”（θ）＝−｛（ｎ−１）^2−１｝ａｓｉｎ（ｎ−１）θ−Ｒ

　　ａ＝Ｒ／｛（ｎ−１）^2−１｝

より，

　　ρ（θ）＝−Ｒ｛１＋ｓｉｎ（ｎ−１）θ）

すなわち

　　（ｎ−１）θ＝３π／２＋２ｋπ　　　（ｋ＝０〜ｎ−２）

のとき，曲率最大となります．

　このことからθをθ＋３π／２（ｎ−１）で置き換えることにします．

　　ｃｏｓ（ｎ−１）θ→ｓｉｎ（ｎ−１）θ

　　ｓｉｎ（ｎ−１）θ→−ｃｏｓ（ｎ−１）θ

これで

　　ｘ＝（ｎ−１）ｓｉｎ（ｎ−１）θ・ｃｏｓ（θ＋３π／２（ｎ−１））−（ｃｏｓ（ｎ−１）θ＋（ｎ−１）^2−１）・ｓｉｎ（θ＋３π／２（ｎ−１））

　　ｙ＝（ｎ−１）ｓｉｎ（ｎ−１）θ・ｓｉｎ（θ＋３π／２（ｎ−１））＋（ｃｏｓ（ｎ−１）θ＋（ｎ−１）^2−１）・ｃｏｓ（θ＋３π／２（ｎ−１））

はｘ軸に関して対称となります．

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【２】フルヴィッツ・藤原曲線の代数曲線表示

　ここで，

　　Ｄ＝（（ｎ−１）ｓｉｎ（ｎ−１）θ）^2＋（ｃｏｓ（ｎ−１）θ＋（ｎ−１）^2−１）^2

とおくと

　　ｃｏｓ（θ＋３π／２（ｎ−１））＝｛（ｎ−１）ｓｉｎ（ｎ−１）θ・ｘ＋（ｃｏｓ（ｎ−１）θ＋（ｎ−１）^2−１）・ｙ｝／Ｄ

　　ｓｉｎ（θ＋３π／２（ｎ−１））＝｛（ｎ−１）ｓｉｎ（ｎ−１）θ・ｙ−（ｃｏｓ（ｎ−１）θ＋（ｎ−１）^2−１）・ｘ｝／Ｄ

　　Ｄ0：ｘ^2＋ｙ^2＝Ｄ＝｛１−（ｎ−１）^2｝ｃｏｓ^2（ｎ−１）θ＋２｛（ｎ−１）^2−１｝ｃｏｓ（ｎ−１）θ＋｛（（ｎ−１）^2−１）^2＋（ｎ−１）^2｝

Ｄ0はｃｏｓ（ｎ−１）θの２次式で表されることになります．

　ｎ＝３の場合，

　　ｘ＝２ｓｉｎ２θ・ｃｏｓ（θ＋３π／４）−（ｃｏｓ２θ＋３）・ｓｉｎ（θ＋３π／４）

　　ｙ＝２ｓｉｎ２θ・ｓｉｎ（θ＋３π／４）＋（ｃｏｓ２θ＋３）・ｃｏｓ（θ＋３π／４））

　　Ｄ0：ｘ^2＋ｙ^2＝−３ｃｏｓ^2２θ＋６ｃｏｓ２θ＋１３

　　ｃｏｓ２θ＝（３−（４８−３（ｘ^2＋ｙ^2）^1/2）／３＝α

　　ｓｉｎ^2２θ＝１−α^2

　　ｃｏｓ^2θ＝（１＋α）／２

　　ｓｉｎ^2θ＝（１−α）／２

　　ｃｏｓ^2（θ＋３π／４）＝（１＋ｓｉｎ２θ）／２

　　ｓｉｎ^2（θ＋３π／４）＝（１−ｓｉｎ２θ）／２

　　ｓｉｎ（２θ＋３π／２）＝−ｃｏｓ２θ＝−α

　　Ｄ2：ｘ^2＝｛２ｓｉｎ２θ・ｃｏｓ（θ＋３π／４）−（ｃｏｓ２θ＋３）・ｓｉｎ（θ＋３π／４）｝^2

より

　　ｘ^2＝（２ｓｉｎ２θ）^2・ｃｏｓ^2（θ＋３π／４）＋（ｃｏｓ２θ＋３）^2・ｓｉｎ^2（θ＋３π／４）−４ｓｉｎ２θ（ｃｏｓ２θ＋３）・ｃｏｓ（θ＋３π／４）ｓｉｎ（θ＋３π／４）

　　ｘ^2＋１／２（３α^2−６α−１３）＝−１／２（α^2＋６α−５）ｓｉｎ２θ

　　３α^2−６α−１３＝−（ｘ^2＋ｙ^2）

を代入して，両辺を２乗すると

　　（ｘ^2−１／２（ｘ^2＋ｙ^2））^2＝１／４（α^2＋６α−５）^2ｓｉｎ^2２θ＝１／４（α^2＋６α−５）^2（１−α^2）

さらに

　　α^2＝２α＋（１３−ｘ^2−ｙ^2）／３

より

　　（ｘ^2−１／２（ｘ^2＋ｙ^2））^2＝１／４（８α−（２＋ｘ^2＋ｙ^2）／３）^2（−２α−（１０＋ｘ^2＋ｙ^2）／３）

　このあとは根号部分だけを右辺に移行して両辺を２乗，それを整理するとフルヴィッツ・藤原曲線（ｎ＝３）の代数曲線表示が得られることがわかる．６次式ではなく８次式が得られそうであるが，実際の直交座標の式を求めるのは次回の宿題としたい．

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