フルヴィッツ・藤原曲線の次数は２ｎ次式になると思われますが，今回のコラムではフルヴィッツ・藤原曲線の次数のみではなく，直交座標の式を求める方法について考えてみることにします．

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【１】フルヴィッツ・藤原曲線の回転

　正ｎ角形の枠を（ｎ－２）公転について１回自転させたときの包絡線の方程式は

　　ｘ＝（ｎ－１）ａｃｏｓ（ｎ－１）θ・ｃｏｓθ＋（ａｓｉｎ（ｎ－１）θ－Ｒ）・ｓｉｎθ

　　ｙ＝（ｎ－１）ａｃｏｓ（ｎ－１）θ・ｓｉｎθ－（ａｓｉｎ（ｎ－１）θ－Ｒ）・ｃｏｓθ

で表されます．

　ところで，公転に対する自転の向きによって，ペリトロコイド曲線は

　　ｘ＝Ｒｃｏｓθ＋ａｃｏｓ（ｎ－１）θ

　　ｙ＝－Ｒｓｉｎθ－ａｓｉｎ（ｎ－１）θ

または

　　ｘ＝Ｒｃｏｓ（－θ）＋ａｃｏｓ（ｎ－１）θ

　　ｙ＝－Ｒｓｉｎ（－θ）－ａｓｉｎ（ｎ－１）θ

で表されます．いずれの場合でもθ＝０，θ＝πのときｙ＝０となってｘ軸に関して対称であるため都合がよかったのですが，フルヴィッツ・藤原曲線ではθ＝０のときｘ＝ｎ－１，ｙ＝－Ｒですから，そううまくはいきません．

　そこで，曲率が最大となる点を求めてみることにします．

　　ρ（θ）＝ｐ（θ）＋ｐ”（θ）＝－｛（ｎ－１）^2－１｝ａｓｉｎ（ｎ－１）θ－Ｒ

　　ａ＝Ｒ／｛（ｎ－１）^2－１｝

より，

　　ρ（θ）＝－Ｒ｛１＋ｓｉｎ（ｎ－１）θ）

すなわち

　　（ｎ－１）θ＝３π／２＋２ｋπ　　　（ｋ＝０～ｎ－２）

のとき，曲率最大となります．

　このことからθをθ＋３π／２（ｎ－１）で置き換えることにします．

　　ｃｏｓ（ｎ－１）θ→ｓｉｎ（ｎ－１）θ

　　ｓｉｎ（ｎ－１）θ→－ｃｏｓ（ｎ－１）θ

これで

　　ｘ＝（ｎ－１）ｓｉｎ（ｎ－１）θ・ｃｏｓ（θ＋３π／２（ｎ－１））－（ｃｏｓ（ｎ－１）θ＋（ｎ－１）^2－１）・ｓｉｎ（θ＋３π／２（ｎ－１））

　　ｙ＝（ｎ－１）ｓｉｎ（ｎ－１）θ・ｓｉｎ（θ＋３π／２（ｎ－１））＋（ｃｏｓ（ｎ－１）θ＋（ｎ－１）^2－１）・ｃｏｓ（θ＋３π／２（ｎ－１））

はｘ軸に関して対称となります．

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【２】フルヴィッツ・藤原曲線の代数曲線表示

　ここで，

　　Ｄ＝（（ｎ－１）ｓｉｎ（ｎ－１）θ）^2＋（ｃｏｓ（ｎ－１）θ＋（ｎ－１）^2－１）^2

とおくと

　　ｃｏｓ（θ＋３π／２（ｎ－１））＝｛（ｎ－１）ｓｉｎ（ｎ－１）θ・ｘ＋（ｃｏｓ（ｎ－１）θ＋（ｎ－１）^2－１）・ｙ｝／Ｄ

　　ｓｉｎ（θ＋３π／２（ｎ－１））＝｛（ｎ－１）ｓｉｎ（ｎ－１）θ・ｙ－（ｃｏｓ（ｎ－１）θ＋（ｎ－１）^2－１）・ｘ｝／Ｄ

　　Ｄ0：ｘ^2＋ｙ^2＝Ｄ＝｛１－（ｎ－１）^2｝ｃｏｓ^2（ｎ－１）θ＋２｛（ｎ－１）^2－１｝ｃｏｓ（ｎ－１）θ＋｛（（ｎ－１）^2－１）^2＋（ｎ－１）^2｝

Ｄ0はｃｏｓ（ｎ－１）θの２次式で表されることになります．

　ｎ＝３の場合，

　　ｘ＝２ｓｉｎ２θ・ｃｏｓ（θ＋３π／４）－（ｃｏｓ２θ＋３）・ｓｉｎ（θ＋３π／４）

　　ｙ＝２ｓｉｎ２θ・ｓｉｎ（θ＋３π／４）＋（ｃｏｓ２θ＋３）・ｃｏｓ（θ＋３π／４））

　　Ｄ0：ｘ^2＋ｙ^2＝－３ｃｏｓ^2２θ＋６ｃｏｓ２θ＋１３

　　ｃｏｓ２θ＝（３－（４８－３（ｘ^2＋ｙ^2）^1/2）／３＝α

　　ｓｉｎ^2２θ＝１－α^2

　　ｃｏｓ^2θ＝（１＋α）／２

　　ｓｉｎ^2θ＝（１－α）／２

　　ｃｏｓ^2（θ＋３π／４）＝（１＋ｓｉｎ２θ）／２

　　ｓｉｎ^2（θ＋３π／４）＝（１－ｓｉｎ２θ）／２

　　ｓｉｎ（２θ＋３π／２）＝－ｃｏｓ２θ＝－α

　　Ｄ2：ｘ^2＝｛２ｓｉｎ２θ・ｃｏｓ（θ＋３π／４）－（ｃｏｓ２θ＋３）・ｓｉｎ（θ＋３π／４）｝^2

より

　　ｘ^2＝（２ｓｉｎ２θ）^2・ｃｏｓ^2（θ＋３π／４）＋（ｃｏｓ２θ＋３）^2・ｓｉｎ^2（θ＋３π／４）－４ｓｉｎ２θ（ｃｏｓ２θ＋３）・ｃｏｓ（θ＋３π／４）ｓｉｎ（θ＋３π／４）

　　ｘ^2＋１／２（３α^2－６α－１３）＝－１／２（α^2＋６α－５）ｓｉｎ２θ

　　３α^2－６α－１３＝－（ｘ^2＋ｙ^2）

を代入して，両辺を２乗すると

　　（ｘ^2－１／２（ｘ^2＋ｙ^2））^2＝１／４（α^2＋６α－５）^2ｓｉｎ^2２θ＝１／４（α^2＋６α－５）^2（１－α^2）

さらに

　　α^2＝２α＋（１３－ｘ^2－ｙ^2）／３

より

　　（ｘ^2－１／２（ｘ^2＋ｙ^2））^2＝１／４（８α－（２＋ｘ^2＋ｙ^2）／３）^2（－２α－（１０＋ｘ^2＋ｙ^2）／３）

　このあとは根号部分だけを右辺に移行して両辺を２乗，それを整理するとフルヴィッツ・藤原曲線（ｎ＝３）の代数曲線表示が得られることがわかる．６次式ではなく８次式が得られそうであるが，実際の直交座標の式を求めるのは次回の宿題としたい．

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