あらためてコラムを読み返してみると，
コラム「デルトイドの平行曲線（その２），（その３）」
コラム「ｎ角の穴をあけるドリル（その３６）、（その３８）」
において，接線極座標から曲線の次数を導き出す過程に誤りがあった．（その５０）ではそのことをお知らせしたのであるが，その誤りにかなり長い間気づかないでいたことになる．
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【１】ｎ尖点ハイポサイクロイドの面積
その話にはいる前にパラメータ表示型の曲線について注意を喚起しておきたいことがあります．
ｎ個の尖点をもつハイポサイクロイドは，パラメータθを用いて
ｘ＝（ｎ−１）ｒｃｏｓθ＋ｒｃｏｓ（ｎ−１）θ
ｙ＝（ｎ−１）ｒｓｉｎθ−ｒｓｉｎ（ｎ−１）θ
と記述されます．θで微分すると
ｘ’＝−（ｎ−１）ｒｓｉｎθ−（ｎ−１）ｒｓｉｎ（ｎ−１）θ
ｙ’＝（ｎ−１）ｒｃｏｓθ−（ｎ−１）ｒｃｏｓ（ｎ−１）θ
ここで注意しなければならないことは，θは極座標（ｒ，θ）のパラメータではないことです．そのため，
Ｓ＝1/2∫ｒ^2ｄθ ｒ^2＝ｘ^2＋ｙ^2
として計算すると
Ｓ＝（ｎ^2−２ｎ＋２）・πｒ^2
となって正しい値が得られません．
計算方法はいくつか考えられるのですが，
Ｓ＝∫ｙｄｘ＝∫ｙｘ’ｄθ
として計算するのが最も簡単なようです．その結果，ハイポサイクロイドの面積は
Ｓ＝（ｎ−１）（ｎ−２）・πｒ^2
で表されることが計算されます．定円の半径をＲ（＝ｎｒ）とした場合は，
Ｓ＝（ｎ−１）（ｎ−２）／ｎ^2・πＲ^2
となります．
デルトイドの場合はｎ＝３，Ｒ＝３ｒですから
Ｓ＝２πｒ^2
となって回転円の面積の２倍に等しくなります．また，ｎ→∞のとき
Ｓ→πＲ^2
となって定円の面積に近づきます．
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【２】接線極座標
卵形線上に原点をとり，曲線上の点Ｐ（ｘ0，ｙ0）における接線とｘ軸とのなす角度をθとすると，
接線方向の単位ベクトル ： ｅ1＝（ｃｏｓθ，ｓｉｎθ）
それと直交する単位ベクトル： ｅ2＝（−ｓｉｎθ，ｃｏｓθ）
となります．
また，接線の方程式は
ｙ−ｙ0＝ｔａｎθ（ｘ−ｘ0）
（ｘ−ｘ0）ｓｉｎθ−（ｙ−ｙ0）ｃｏｓθ＝０
ｘｓｉｎθ−ｙｃｏｓθ＝ｘ0ｓｉｎθ−ｙ0ｃｏｓθ＝ｐ（θ）
と表されます．このとき，右辺はベクトルＰＯと法線ベクトルの内積ですから，原点から接線までの距離は｜ｐ（θ）｜で与えられます．
同様に，法線の方程式は
ｘｃｏｓθ＋ｙｓｉｎθ＝ｘ0ｃｏｓ＋ｙ0ｓｉｎθ＝ｐ’（θ）
原点から法線までの距離は｜ｐ’（θ）｜で与えられます．
連立方程式
ｘｓｉｎθ−ｙｃｏｓθ＝ｐ（θ）
ｘｃｏｓθ＋ｙｓｉｎθ＝ｐ’（θ）
を解くと
ｘ＝ｐ（θ）ｓｉｎθ＋ｐ’（θ）ｃｏｓθ
ｙ＝−ｐ（θ）ｃｏｓθ＋ｐ’（θ）ｓｉｎθ
が得られますが，これにより曲線（ｘ，ｙ）は（ｐ，θ）でパラメトライズされることがわかります．
また，曲線の長さをｓ，曲率半径をρとすると
ｄｓ^2＝ｄｘ^2＋ｄｙ^2＝（ｐ＋ｐ”）ｄθ^2
より，
ρ＝ｄｓ／ｄθ＝ｐ（θ）＋ｐ”（θ）
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【３】フルヴィッツ・藤原曲線
正ｎ角形の枠を（ｎ−２）公転について１回自転させたときの包絡線の方程式は
ｘ＝（ｎ−１）ａｃｏｓ（ｎ−１）θ・ｃｏｓθ＋（ａｓｉｎ（ｎ−１）θ−Ｒ）・ｓｉｎθ
ｙ＝−（ｎ−１）ａｃｏｓ（ｎ−１）θ・ｓｉｎθ＋（ａｓｉｎ（ｎ−１）θ−Ｒ）・ｃｏｓθ
で表されます．
包絡線の方程式
ｘ＝（ｎ−１）ａｃｏｓ（ｎ−１）θ・ｃｏｓθ＋（ａｓｉｎ（ｎ−１）θ−Ｒ）・ｓｉｎθ
ｙ＝（ｎ−１）ａｃｏｓ（ｎ−１）θ・ｓｉｎθ−（ａｓｉｎ（ｎ−１）θ−Ｒ）・ｃｏｓθ
において
ｄｘ／ｄθ＝｛−（（ｎ−１）^2＋１）ａｓｉｎ（ｎ−１）θ−Ｒ｝ｃｏｓθ
ｄｙ／ｄθ＝｛−（（ｎ−１）^2＋１）ａｓｉｎ（ｎ−１）θ−Ｒ｝ｓｉｎθ
ｄｙ／ｄｘ＝ｔａｎθ
より，θは接線極座標のパラメータであり，包絡線の方程式を
ｘｓｉｎθ−ｙｃｏｓθ＝ｐ（θ）
に代入すると，包絡線の接線極座標における方程式は
ｐ（θ）＝ａｓｉｎ（ｎ−１）θ−Ｒ
で与えられます．
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【４】デルトイドの平行曲線
デルトイドの平行曲線の方程式
ｘ＝２ａｃｏｓθ（１＋ｃｏｓθ）−ａ＋ｒｓｉｎ（θ／２）
ｙ＝−２ａｓｉｎθ（１−ｃｏｓθ）−ｒｃｏｓ（θ／２）
において，θは接線極座標のパラメータになっているでしょうか？
ｄｘ／ｄθ＝−２ａｓｉｎθ−２ａｓｉｎ２θ＋ｒ／２ｃｏｓ（θ／２）
ｄｙ／ｄθ＝−２ａｃｏｓθ＋２ａｃｏｓ２θ＋ｒ／２ｓｉｎ（θ／２）したがって
ｄｙ／ｄｘ＝ｔａｎθ
とはならず，デルトイドの平行曲線の方程式を
ｘ＝２ａｃｏｓθ（１＋ｃｏｓθ）−ａ＋ｒｓｉｎ（θ／２）
ｙ＝−２ａｓｉｎθ（１−ｃｏｓθ）−ｒｃｏｓ（θ／２）
を
ｘｓｉｎθ−ｙｃｏｓθ＝ｐ（θ）
に代入することはできないのです．
一般に，ハイポサイクロイド
ξ＝ａ（（ｎ−１）ｃｏｓθ＋ｃｏｓ（ｎ−１）θ）
η＝ａ（（ｎ−１）ｓｉｎθ−ｓｉｎ（ｎ−１）θ）
において，
ｄε／ｄθ＝−（ｎ−１）ａ（ｓｉｎθ＋ｓｉｎ（ｎ−１）θ）
ｄη／ｄθ＝（ｎ−１）ａ（ｃｏｓθ−ｃｏｓ（ｎ−１）θ）
（ｄε／ｄθ）^2＋（ｄη／ｄθ）^2＝（ｎ−１）^2ａ^2（２−２ｃｏｓｎθ）＝２（ｎ−１）^2ａ^2（１−ｃｏｓｎθ）
ですから，平行曲線は
ｘ＝ａ（（ｎ−１）ｃｏｓθ＋ｃｏｓ（ｎ−１）＋ｂ（ｃｏｓθ−ｃｏｓ（ｎ−１）θ）／（１−ｃｏｓｎθ）^1/2
ｙ＝ａ（（ｎ−１）ｓｉｎθ−ｓｉｎ（ｎ−１）θ）＋ｂ（ｓｉｎθ＋ｓｉｎ（ｎ−１）θ）／（１−ｃｏｓｎθ）^1/2
のようになりますが，同様に
ｘｓｉｎθ−ｙｃｏｓθ＝ｐ（θ）
に代入することはできません．
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【５】ペリトロコイド曲線
公転に対する自転の向きによって，ペリトロコイド曲線は
ｘ＝Ｒｃｏｓθ＋ａｃｏｓ（ｎ−１）θ
ｙ＝−Ｒｓｉｎθ−ａｓｉｎ（ｎ−１）θ
または
ｘ＝Ｒｃｏｓ（−θ）＋ａｃｏｓ（ｎ−１）θ
ｙ＝−Ｒｓｉｎ（−θ）−ａｓｉｎ（ｎ−１）θ
で表されます．
ｘ＝Ｒｃｏｓθ＋ａｃｏｓ（ｎ−１）θ
ｙ＝−Ｒｓｉｎθ−ａｓｉｎ（ｎ−１）θ
の場合だけ示しますが，
ｄｘ／ｄθ＝−Ｒｓｉｎθ−（ｎ−１）ａｓｉｎ（ｎ−１）θ
ｄｙ／ｄθ＝−ｒｃｏｓθ＋（ｎ−１）ａｃｏｓ（ｎ−１）θ
ですから
ｘｓｉｎθ−ｙｃｏｓθ＝ｐ（θ）
に代入することはできません．
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【６】楕円の平行曲線
同様に，楕円の平行曲線の方程式
ｘ＝ａｃｏｓθ＋ｃｂｃｏｓθ／（ａ^2ｓｉｎ^2θ＋ｂ^2ｃｏｓ^2θ）^(1/2)
ｙ＝−ｂｓｉｎθ−ｃａｓｉｎθ／（ａ^2ｓｉｎ^2θ＋ｂ^2ｃｏｓ^2θ）^(1/2)
も
ｘｓｉｎθ−ｙｃｏｓθ＝ｐ（θ）
に代入することはできません．
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